高中数学人教a版高一必修一_第三章_函数的应用_学业分层测评23 有答案

高中数学人教a版高一必修一_第三章_函数的应用_学业分层测评23 有答案学业分层测评（二十三）函数模型的应用实例
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为() A．200副B．400副
C．600副D．800副
【解析】由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．【答案】 D
2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()
【导学号：97030143】
A.p＋q
2 B.
(p＋1)(q＋1)－1
2
C.pq
D.(p＋1)(q＋1)－1
【解析】设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，
解得x＝(1＋p)(1＋q)－1.
【答案】 D
3．某种细胞在正常培养过程中，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下表：
) A．200 B．220
C．240 D．260
【解析】由表中数据可以看出，n与t的函数关系式为n＝2
t
20
，令n＝1 000，则
2t
20＝1 000，而210＝1 024，所以繁殖到1 000个细胞时，时刻t 最接近200分钟，故应选A.
【答案】 A
4．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )
A ．y ＝()0.957 6x
100
B ．y ＝(0.957 6)100x
C ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0.957 9100x
D ．y ＝1－(0.042 4)x
100
【解析】 设镭一年放射掉其质量的t %，则有95.76%＝1·(1－t )100
，t ＝(0.957 6)1
100，
∴y ＝(1－t )x ＝(0.957 6)x
100.
【答案】 A
5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
c x ，x <A ，c A ，x ≥A
(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品
用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )
A ．75,25
B ．75,16
C ．60,25
D ．60,16
【解析】 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c
A ＝15，故组装第4件产品所
需时间为
c 4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入c
A
＝15，得A ＝16. 【答案】 D 二、填空题
6．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一
次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
【解析】 设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
9，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，
8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，
由y ＝22.6，解得x ＝9. 【答案】 9
7．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，
经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t
h ，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降到40 ℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，还需要________分钟．
【解析】 设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0
－T a )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t
h ，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降到40 ℃需要20分钟，可得T a ＝24，T 0＝88，T ＝40，
可得：40－24＝(88－24)⎝ ⎛⎭⎪⎫1220
h ，解得h ＝10，此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，可得：
32－24＝(40－24)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t
10，解得t ＝10.
【答案】 10
8．州模拟)为了在“十一”黄金周期间降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为________元．
【解析】 依题意，价值为x 元商品和实际付款数f (x )之间的函数关系式为 f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ，0≤x ≤200，0.9x ，200<x ≤500，
500×0.9＋(x －500)×0.7，x >500.
当f(x)＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x＝168；当f(x)＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x＝470.∴两次共购得价值为470＋168＝638(元)的商品，∴500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6(元)，故若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．
【答案】546.6
三、解答题
9．安模拟)如图3-2-10所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
图3-2-10
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
【解】(1)作PQ⊥AF于Q，
所以PQ＝(8－y)米，
EQ＝(x－4)米．
又△EPQ∽△EDF，
所以
EQ PQ ＝EF
FD ，即x －48－y ＝42
. 所以y ＝－1
2x ＋10，
定义域为{x |4≤x ≤8}．
(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米， 则S (x )＝xy ＝x ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，
S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．
所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米． 10．有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
0.1＋15ln a a －x
，x ≤6，x －4.4
x －4，x >6，
描述学习某学科知识的掌握程
度．其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.
【导学号：97030144】
(1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．
【解】 (1)证明：当x ≥7时，f (x ＋1)－f (x )＝0.4
(x －3)(x －4)
，
而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)＞0，故函数f (x ＋1)－f (x )单调递减，所以当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降．
(2)由题意可知0.1＋15ln
a a －6＝0.85，整理得a a －6
＝e 0.05， 解得a ＝e 0.05
e 0.05－1
·6＝20.50×6＝123,123∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科．
[能力提升]
1．一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图3-2-11所示，现以均匀速度往水
瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )
图3-2-11
【解析】 水深h 越大，水的体积V 就越大，故函数V ＝f (h )是一个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的．
【答案】 D
2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
4x ，1≤x ＜10，x ∈N ，2x ＋10，10≤x ＜100，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试
人数为60，则该公司拟录用人数为( )
【导学号：97030145】 A ．15 B ．40 C ．25
D ．130
【解析】 若4x ＝60，则x ＝15＞10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40＜100，不合题意．故拟录用人数为25人．
【答案】 C
3．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
地震强度(x )和震级(y )的模拟函数关系可以选用y ＝a lg x ＋b (其中a ，b 为常数)．利用散点图可知a 的值等于________．(取lg 2＝0.3进行计算)
图3-2-12
【解析】 由记录的部分数据可知 x ＝1.6×1019时，y ＝5.0， x ＝3.2×1019时，y ＝5.2. 所以5.0＝a lg (1.6×1019)＋b ，① 5．2＝a lg (3.2×1019)＋b ，②
②－①得0.2＝a lg 3.2×1019
1.6×1019，0.2＝a lg
2.
所以a ＝
0.2lg 2＝0.20.3＝23
. 【答案】
2
3
4．某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)
决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
(1)求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；
(2)如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．
【解】(1)y1＝10x－(20＋mx)＝(10－m)x－20,0≤x≤200，且x∈N，
y2＝18x－(8x＋40)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40，0≤x≤120且x∈N.
(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，∴y1＝(10－m)x－20为增函数，又0≤x≤200，x∈N.
∴x＝200时，生产A产品有最大利润(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美元)，y2＝－0.05x2＋10x－40＝－0.05(x－100)2＋4 60,0≤x≤120，x∈N.
∴x＝100时，生产B产品有最大利润460(万美元)，
(y1)max－(y2)max＝1 980－200m－460＝1 520－200m，
当6≤m＜7.6时，(y1)max－(y2)max＞0，
当m＝7.6时，(y1)max－(y2)max＝0，
当7.6＜m≤8时，(y1)max－(y2)max＜0，
∴当6≤m＜7.6，投资A产品200件可获得最大利润，
当7.6＜m≤8，投资B产品100件可获得最大利润，
m＝7.6生产A产品与B产品均可获得最大年利润．。