2017-2018学年广东省佛山市禅城区八年级(下)期末数学试卷

2017-2018学年广东省佛山市禅城区八年级（下）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.已知x-y=1，x+y=3，则y2-x2=（）
A. 1
B. -1
C. 3
D. -3
2.下列命题的逆命题不是真命题的是（）
A. 全等三角形的对应角相等
B. 等边三角形的三个内角相等
C. 直角三角形的两个锐角互余
D. 等边对等角
3.若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）
A. a+c＜b+c
B. ac＜bc
C. 3a＜3b
D. a-b＜0
4.若以下列各组线段为一个三角形的三边，则不能推出直角三角形的是（）
A. 1，2，3
B. 1，，
C. 3，4，5
D. ，2，
5.用不等式可将“a与b和的平方为非负数”表示为（）
A. a2+b2≥0
B. （a+b）2≥0
C. a2+b2＞0
D. （a+b）2＞0
6.如图是一次函数y=kx+b的图象，该直线分别与横轴、
纵轴交于点（2，0）（0，3），则当（）时，y＜3．
A. x＜0
B. x＞0
C. x＜2
D. x＞2
7.若分式有意义，则x的取值范围是（）
A. x=3
B. x＜3
C. x≠0
D. x≠3
8.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
9.下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）
A. 6x（3x-1）=18x2-6x
B. （2x-3）（2x+3）=4x2-9
C. x2-6x+9=（x-3）2
D. 2x2+3x+1=x（2x+3）+1
10.若将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕将这个平行四边形分成两个全等图
形，这样的折法方法共有（）种
A. 1
B. 2
C. 4
D. 无数
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，AB的垂直平分
线DE交AB于D点，交BC于E点，连接AE，则
∠EAC=______．
12.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的角平
分线BD交AC于D点，AD=4，则CD=______．
13.如图，△ABC中，AB=7cm，BC=6cm，AC=5cm，D，E，F分别是AB，BC，AC的
中点，则四边形ADEF的周长等于______cm．
14.若多项式4x2+1与一个单项式M的和是一个完全平方，则所有符合条件的M是：
______．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
15.先化简：（+）÷，然后为x选一个你喜欢又恰当的数求出代数式的值．
16.甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行，图中l1，l2分别
表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系．
（1）分别写出表示l1，l2所反映的函数关系式：l1：S=______；l2：S=______；
（2）求出图中l1和l2的交点O的坐标，当甲车离A地的距离大于乙车离A地的距离时，求t的取值范围．
四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
17.如图，已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC．
（1）按下列步骤用尺规作图（保留作图痕迹，不写出作法）：
作∠BAC的平分线AD交BC于D；
（2）在（1）中，过点D作DE⊥AB交点于E，若CD=4，求
AC的长（直接写出结果）．
18.解方程：=1+
19.某八年级计划用360元购买笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以
打九折，结果买得的笔记本比打折前多10本．
（1）请利用分式方程求出每本笔记本的原来标价；
（2）恰逢文具店周年志庆，每本笔记本可以按原价打8折，这样该校最多可购入本笔记本？
20.解不等式组：（需将各不等式的解集画在同一数轴）
21.如图，已知：四边形ABCD中，AB=DC，AB∥DC；四边形BEFC
中，BC=EF，BE=CF．讨论图共有几个平行四边形？并指出相
应的平行四边形（不须证明）
22.如图，已知：平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线交于点E，且点E刚
好落在AD上，分别延长BE、CD交于F．
（1）AB与AD之间有什么数量关系？并证明你的猜想；
（2）CE与BF之间有什么位置关系？并证明你的猜想．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：∵x-y=1，x+y=3，
∴原式=（y-x）（y+x）=-（x+y）（x-y）=-3，
故选：D．
原式利用平方差公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】
解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，错误，A的逆命题不是真命题；
B、等边三角形的三个内角相等的逆命题是三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，B的逆命题是真命题；
C、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，C的逆命题是真命题；
D、等边对等角的逆命题是等角对等边，正确，D的逆命题是真命题；
故选：A．
根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．
根据不等式的性质，可得答案．
【解答】
解：A、给不等式a＜b两边同时加上c得，a+c＜b+c，故选项A不符合题意；
B、当c＞0时，给不等式a＜b两边同时乘以c得，ac＜bc，
当c＜0时，给不等式a＜b两边同时乘以c得，ac＞bc，
当c=0时，给不等式a＜b两边同时乘以c得，ac=bc，故选项B符合题意；
C、给不等式a＜b两边同时乘以3得，3a＞3b，故选项C不符合题意；
D、给不等式a＜b两边同时减去b得，a-b＜0，故选项D不符合题意，
故选：B．
4.【答案】A
【解析】
解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形；
B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形；
C、32+42=52，能构成直角三角形；
D、（）2+（）2=（2）2，能构成直角三角形．
故选：A．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5.【答案】B
【解析】
解：由题意可得：（a+b）2≥0．
故选：B．
利用非负数的定义以及两数和的平方得出不等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确把握相关定义是解题关键．
6.【答案】B
【解析】
解：当x＜0时，y＜3．
故选：B．
利用函数图象，写出函数值小于3所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b 为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
7.【答案】D
【解析】
解：∵分式有意义，
∴3-x≠0．
∴x≠3．
故选：D．
由分式有意义的条件可知：3-x≠0，从而可求得x的范围．
本题主要考查的是分式有意义的条件，明确分式的分母不为0是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】
解：A、6x（3x-1）=18x2-6x，是单项式乘以多项式运算法则，故此选项错误；
B、（2x-3）（2x+3）=4x2-9，是多项式乘以多项式运算法则，故此选项错误；
C、x2-6x+9=（x-3）2，从左到右的变形是因式分解，故此选项正确；
D、2x2+3x+1=x（2x+3）+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：C．
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．
10.【答案】D
【解析】
解：由于平行四边形为中心对称图形，
其中心为对角线交点
所以过对角线交点的每条折线都能将这个平行四边形分成两个全等图形
这样的折线由无数种
故选：D．
根据中心对称图形性质问题可解．
本题考查了平行四边形的中心对称性质，根据中心对称图形性质解答即可．
11.【答案】50°
【解析】
解：∵DE垂直平分AB
∴AE=BE
∴∠B=∠BAE=20°
∵∠AEC=∠B+∠BAE
∴∠AEC=40°
∵∠C=90°，∠AEC=40°
∴∠EAC=50°
故答案为50°
由DE垂直平分AB，可得AE=BE，则∠B=∠BAE=20°，可求∠AEC=40°，根据三角形内角和定理可求∠EAC的值．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的关键．
12.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线的性质，直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半有关知识，由：∠C=90°，∠A=30°可得∠CBA=60°，由BD平分∠CBA可得
∠CBD=∠DBA=∠A=30°，可得AD=BD=4，根据直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半可得CD=2.
【解答】
解：∵∠C=90°，∠A=30°
∴∠CBA=60°
∵BD平分∠CBA
∴∠DBA=30°=∠CBD
∴∠DBA=∠A
∴BD=AD=4
∵∠C=90°，∠CBD=30°
∴BD=2CD
∴CD=2
故答案为2.
13.【答案】12
【解析】
解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC=2.5cm，
同理，EF∥AB，EF=AB=3.5cm，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长=2×（2.5+3.5）=12（cm），
故答案为：12．
根据三角形中位线定理得到DE∥AC，DE=AC，EF∥AB，EF=AB，得到四边形ADEF是平行四边形，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】±4x，4x2
【解析】
解：若多项式4x2+1与一个单项式M的和是一个完全平方，则所有符合条件的M是±4x，4x2，
故答案为：±4x，4x2
利用完全平方公式的结构特征判断即可．
此题考查了完全平方式，以及单项式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15.【答案】解：原式=[+]•
=•
=，
当x=0时，原式=
【解析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】；-40t+20
【解析】
解：（1）由图可得：l1：S=；
把（0，20），（0.5，0）代入s=kt+b中，
可得：，
解得：，
所以l2：S=-40t+20；
故答案为：；-40t+20；
（2）根据题意可得：，
解得：，
所以t的取值范围为：，
（1）根据图象的信息解答即可；
（2）根据题意列出不等式解答即可．
本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，相遇问题的等量关系，从图形中准确获取信息是解题的关键．
17.【答案】解：（1）如图，AD为所作；
（2）∵AD平分∠BAC，AC⊥CD，CE⊥AB，
∴DC=DE=4，
设AC=BC=x，则BD=x-4，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BD=DE，即x-4=4，
∴x=4+4，
即AC的长为4+4．
【解析】
（1）利用基本作图作AD平分∠BAC；
（2）根据角平分线的性质得DC=DE=4，设AC=BC=x，则BD=x-4，利用等腰直角三角形的性质得到BD=DE，即x-4=4，然后解方程求出x即可．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18.【答案】解：去分母得：
x-1=x2-9-x（x+3）
则4x=-8，
解得：x=-2，
经检验，x=-2是分式方程的解．
【解析】
直接去分母，进而解方程，再检验得出答案．
此题主要考查了分式方程的解法，正确解分式方程是解题关键．
19.【答案】解：（1）设笔打折前售价为x元，则打折后售价为0.9x元，
由题意得：+10=，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的根．
答：打折前每支笔的售价是4元；
（2）购入笔记本的数量为：360÷（4×0.8）=112.5（元）．
故该校最多可购入112本笔记本．
【解析】
（1）根据打折后购买的数量比打折前多10本，进而得出等式求出答案；（2）先求出打8折后的标价，再根据数量=总价÷单价，列式计算即可求解．此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
20.【答案】解：解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x＞3，
两个不等式的解集在数轴上表示如下：
即原不等式组的解集为：x＞3．
【解析】
分别解两个不等式，得到两个不等式的解集，再将两个不等式的解集在同一数轴上表示出来，找其公共部分就是不等式组的解集，即可得到答案．
本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握找不等式组解集的方法：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了”是解题的关键．
21.【答案】解：∵AB=DC，AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
∵BC=EF，BE=CF
∴四边形BEFC是平行四边形
∴BC∥EF，EF=BC
∴AD∥EF，AD=EF
∴四边形AEFD是平行四边形
当A，B，E三点共线时，平行四边形有3个，分别是▱ABCD，▱BEFC，▱AEFD；
当A，B，E三点不共线时，平行四边形有2个，分别是▱ABCD，▱BEFC．
【解析】
由题意可证四边形ABCD，四边形BEFC是平行四边形，分A，B，E共线和不共线讨论，可得结论．
本题考查了平行四边形的判定，分类思想，利用分类思想解决问题是本题的关键．
22.【答案】解：（1）结论：AD=2AB．
理由：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠FBC=∠AEB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，同理可证：CD=DE，
∴AD=AE+ED=AB+CD=2AB．
（2）结论：CE⊥BF．
理由：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCD=2∠BCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴2∠EBC+2∠BCE=180°，
∴∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠BEC=90°，即CE⊥BF．
【解析】
（1）结论：AD=2AB．只要证明AB=AE，CD=DE即可解决问题；
（2）结论：CE⊥BF．只要证明∠EBC+∠BCE=90°即可；
本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。