2020-2021学年江苏省徐州市运河中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2020-2021学年江苏省徐州市运河中学高三数学理下学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法错误的是（）
A．回归直线过样本点的中心（，）
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
D．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时预报变量平均增加0.2个单位参考答案：
C
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】利用线性回归的有关知识即可判断出．
【解答】解：A．回归直线过样本点的中心（，），正确；
B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；
C．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确；
D．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确．综上可知：只有C不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于中档题．
2. 设函数,若,则点所形成的区域的面积为 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
D 3. 已知函数，则方程（为正实数）的根的个数不可能为
A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个
参考答案：
A
4. 已知四个命题：
①如果向量与共线，则或；
②是的必要不充分条件；
③命题：，的否定：，；
④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”
此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.
以上命题正确的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
D
①错，如果向量与共线，则=λ (λ∈R)；
②是的必要不充分条件；正确，由可以得到，但由不能得到
，如；
③命题p：，的否定：，；
正确
④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”
此三段论大前提错误，但推理形式是正确的，正确.
故选D.
5. 已知O是△ABC内一点，的面积的比值为（）
A． B． C．1 D．
参考答案：
答案：A
6. 设函数y=的定义域为M，集合N={y|y=x2,x∈R}，则M∩N= （）
A． B．N C．[1,+∞） D．M
参考答案：
B
7. 某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为（）
A．30B．24
C．18D．12
参考答案：
B
略
8. 复数等于（）
A. B. C.
D. 参考答案：
A
9. 已知各项均为正数的等比数列满足,若存在两项使得
的最小值为（）
A． B． C. D．9
参考答案：
A
略
10. 已知实数满足则的最大值为
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
C
【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等．
【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为
，把三个点分别代入检验得：当时，取得最大值1，故选D.【错选原因】错选A：误把的最大值当成的最大值；
错选B：误把的最小值当成的最大值；
错选C：误把的最小值当成的最大值.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式组的解集用区间表示为．
参考答案：
(－5,0)
由是定义在上的奇函数，当时，解得
12. 设函数，，若这两个函数的图象有3个交点，则
_________.
.
参考答案：
【知识点】函数与方程B9
【答案解析】a=1 作出的图像，根据图像找出只有在a=1处有三个交点，故答案为a=1.
【思路点拨】作出图像观察交点个数确定a 的值。

13. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A的大小为．
参考答案：
75°
由，根据正弦定理得，即，，又，，故答案为75°. 14. 某四面体的三视图如上图所示，该四面体四个面的面积中最大的
是
参考答案：
10
由三视图还原几何体如下图，8,6,，10显然面积的最大值为10．该四面体四个面的面积
中最大的是PAC，面积为10。

15. 定义运算法则如下：
则M＋N＝。

参考答案：
5
16. 如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，为坐标原点，则的取值范围
是
.
参考答案：
17. 等差数列{a n}的公差d∈(0,1)，且，当n＝10时，数列{a n}的前n项和S n取得最小值，则首项a1的取值范围为________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某学校为了加强学生的安全教育，对学校旁边A，B两个路口进行了8天的监测调查，得到每天路口不按交通规则过马路的学生人数（如茎叶图所示），且A路口数据的平均数比B路口数据的平均数小2．
（1）求出A路口8个数据的中位数和茎叶图中m的值；
（2）在B路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的两个数据中至少有一个不小于40的概率．参考答案：
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；BA：茎叶图．
【分析】（1）由茎叶图可得A路口8个数据中34，35为最中间2个数，由此计算中位数，又A路口8个数据的平均数为34，得到B路口的平均数，求出m的值即可；
（2）B路口的数据中任取2个大于35的数据，有10种可能，其中“至少有一个不小于40”的情况有7种，求出满足条件的概率即可．
【解答】解：（1）A路口8年数据的中位数是=34.5，
∵A路口8年数据的平均数是：
=34，
∴B路口8个数据的平均数是36，
∴=36，解得：m=4；
（2）B在路口的数据中取2个大于35的数据，有如下10中可能结果：
（36，37），（36，36），（36，42），（36，45），（37，38），
（37，42），（37，45），（38，42），（38，45），（42，45），
其中“至少有一个抽取的数据不小于40”的情况如下7种：
（36，42），（36，45），（37，42），（37，45），
（38，42），（38，45），（42，45），
故所求的概率p=．
19. 已知等比数列{a n}满足
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项的和．
参考答案：
【考点】数列的求和；等比数列的性质．
【分析】（I）利用等比数列的通项公式及已知即可解得a1及q，即可得到a n；
（II）对于b n提取n+1，再利用裂项求和即可得出b n，即可得到=n?（﹣3）1﹣n．再利用错位相减法及等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）设a n=a1q n﹣1，依题意，有解得a1=1，q=﹣．
∴a n=（﹣）n﹣1．
（Ⅱ）b n=++…+
=（n+1）[++…+]
=（n+1）[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]
=n．
∴=n?（﹣3）1﹣n．
记数列{}的前n项的和为S n，则
S n=1+2×（﹣3）﹣1+3×（﹣3）﹣2+…+n×（﹣3）1﹣n，
（﹣3）﹣1S n=（﹣3）﹣1+2×（﹣3）﹣2+3×（﹣3）﹣3+…+（n﹣1）×（﹣3）1﹣n+n×（﹣3）﹣n，
两式相减，得
S n=1+（﹣3）﹣1+（﹣3）﹣2+…+（﹣3）1﹣n﹣n×（﹣3）﹣n=﹣n×（﹣3）﹣
n=﹣n×（﹣3）﹣n，
故S n=．
20. 已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．
（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．
（3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．参考答案：
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）把a=﹣4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a≥0和a＜0讨论打哦函数的单调性，特别是当a＜0时，求出函数f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x∈[1，e]时，方程f（x）=0根的个数；
（3）a＞0判出函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，在规定x1＜x2后把
转化为f（x2）+＜f（x1）+，构造辅助函数G（x）=f
（x）+，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a后利用函数单调性求a的范围．
解答：解：（1）当a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2，函数的定义域为（0，+∞）．
．
当x∈时，f′（x）0，
所以函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，
由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，
所以函数f（x）在[1，e]上的最大值为e2﹣4，相应的x值为e；
（2）由f（x）=alnx+x2，得．
若a≥0，则在[1，e]上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；
若a＜0，由f′（x）=0，得x=（舍），或x=．
若，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；
若，即a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为减函数，
由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，
所以方程f（x）=0在[1，e]上有1个实数根；
若，即﹣2e2＜a＜﹣2，
f（x）在上为减函数，在上为增函数，
由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．
=．
当，即﹣2e＜a＜﹣2时，，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是0．当a=﹣2e时，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1．
当﹣e2≤a＜﹣2e时，，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是2．
当﹣2e2＜a＜﹣e2时，，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1；
（3）若a＞0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，不妨设x1＜x2，则变为f（x2）+＜f（x1）+，由此说明函数G（x）=f（x）+在[1，e]单调递减，所以G′（x）=≤0对x∈[1，e]恒成立，即
a对x∈[1，e]恒成立，
而在[1，e]单调递减，所以a．
所以，满足a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有成立的实数a的取值范围不存在．
点评：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，此题是有一定难度题目．
21. （本小题满分12分）
已知实数，命题：在区间上为减函数；命题：方程在有解。

若为真，为假，求实数的取值范围。

参考答案：
解析：，为上的减函数.
又在区间上为减函数，……………………2分
又在上恒成立，，即
…………………………………………………………………………4分对于，有解，即在上有解.
令
当时，
，即
………………………………………………………………8分又为真，为假
或……………………………………………………12分
略
22. （本小题14分）已知等比数列满足，且是，的等差中项. （Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求使成立的正整数的最小值.
参考答案：
（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，有即
由得，解得或.
当时，不合题意舍；
当时，代入(2)得，所以， . （Ⅱ）.
所以
因为，所以，即，解得或.
因为，故使成立的正整数的最小值为10 .。