2021版高考文科数学人教A版一轮复习滚动评估检测(三)(第一至第八章)

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滚动评估检测(三)(第一至第八章)
(120分钟150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|x(x-2)<0},B={x|x+1<2),则A∩B= ( )
A.(-∞,2)
B.(0,1)
C.(0,+∞)
D.(1,2)
【解析】选B.因为A={x|0<x<2},B={x|x<1},所以A∩B=(0,1).
2.(2019·大庆模拟)已知i是虚数单位,若z(1+i)=,则z的虚部为( )
A. B.-
C.i
D.-i
【解析】选B.由z(1+i)=,得z====--i,
所以z的虚部为-.
3.已知向量a=(-1,2),b=(3,1),c=(x,4),若(a-b)⊥c,则x= ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.a-b=(-4,1),c=(x,4),
且(a-b)⊥c;所以(a-b)·c=-4x+4=0.所以x=1.
4.已知m∈R,若p:m≤0;q:∃x∈R,m≤sin x.那么p是q的( )
A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件
【解析】选C.因为y=sin x具有有界性质即sin x∈[-1,1],
所以由p:m≤0能推出q:∃x∈R,m≤sin x成立,充分性满足;
反之,由q:∃x∈R,m≤sin x成立,不一定能推出p:m≤0成立,即必要性不满足,
故由充分条件必要条件的定义可知p是q的充分不必要条件.
5.(2020·三明模拟)观察下列算
式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128, 28=256……用你所发现的规律可得22 019的末位数字是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选D.通过观察可知,末尾数字周期为 4,2 019=4×504+3,故 22 019的末位数字与 23末尾数字相同,都是8.
6.若a=20.2,b=logπ3,c=log2,则( )
A.c>a>b
B.b>a>c
C.a>b>c
D.b>c>a
【解析】选C.因为20.2>20=1,0<logπ3<logππ=1,log2<log21=0,所以
a>b>c.
7.等差数列有如下性质:若数列{a n}为等差数列,则当b n=
时,数列{b n}也是等差数列;类比上述性质,相应地,若数列{c n}是正项等比数列,当d n=________时,数列{d n}也是等比数列,则d n的表达式为( )
A.d n=
B.d n=
C.d n=
D.d n=
【解析】选C.在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数等,故我们可以由数列{a n}是等差数列,则当b n=时,数列{b n}也是等差数列.类比推断:若数列{c n}是各项均为正数的等比数列,则当d n=时,数列{d n}也是等比数列.
8.已知函数f(x)=sin,将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为( )
A. B. C. D.
【解析】选B.函数f(x)=sin=sin,将其图象向右
平移φ(φ>0)个单位后得到的函数
g(x)=sin=sin为偶函数,可得:-2φ=k π+,k∈Z,即:φ=-kπ-,k∈Z,由于:φ>0,故φ的最小值为. 9.(2020·临沂模拟)已知x,y满足约束条件且不等式2x-y+m
≥0恒成立,则实数m的取值范围为( )
A.m≥3
B.m≥1
C.m≥0
D.m≥-3
【解析】选A.由约束条件作出可行域如图,
令t=2x-y,则当直线t=2x-y过点A(0,3)时,t有最小值-3,由不等式
2x-y+m≥0恒成立,得-3+m≥0,即m≥3.
10.(2019·宁波模拟)设数列{a n}的前n项和为S n,=(n ∈N*),且a1=-,则= ( )
A.2 019
B.-2 019
C.2 020
D.-2 020
【解析】选D.==(n∈N*),化为:-=-1. 所以数列是等差数列,首项为-2,公差为-1.
所以=-2-(n-1)=-1-n.
则=-1-2 019=-2 020.
11.已知函数f(x)=+ln-1,若定义在R上的奇函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x),且g(1)=f(log2 25)+f(lo),则g(2 019)= 世纪金榜导学号( )
A.2
B.0
C.-1
D.-2
【解析】选A.
因为f(x)+f(-x)=++
ln+ln-2
=++0-2=-2,
f(x)+f(-x)=-2,
因为log 225=log2(52)=2·log25,lo=lo(5-1)=-2·log25,
所以g(1)=f(log225)+f(lo)
=f(2·log25)+f(-2·log25)=-2.
又因为g(1-x)=g(1+x),
即g(x)=g(2-x),且g(x)为奇函数,
所以g(x)=-g(-x),所以g(2-x)=-g(-x),
可知函数g(x)的周期T=4.所以g(2 019)=g(505×
4-1)=g(-1)=-g(1)=2.
12.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数,而函数y=在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上“缓减函数”,区间I叫做“缓减区间”.若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则下列区间中为函数f(x)的“缓减区间”的是世纪金榜导学号( )
A.(-∞,2]
B.[0,]
C.[,2]
D.[1,]
【解析】选C.根据题意,对于f(x)=x2-2x+1,是二次函数,其对称轴为x=2,在区间(-∞,2]上为减函数,
对于y==+-2,在区间[-,0)和(0,]上为减函数,在区间(-∞,-]和[,+∞)为增函数,
若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上“缓减函数”,则f(x)在区间I上是减函数,函数y==+-2在区间I上是增函数,
区间I为(-∞,-]或[,2];
分析选项可得[,2]为I的子集.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.执行程序框图,如果输入的n是4,则输出的p=________.
【解析】第一次:p=1,s=1,t=1,k=2;
第二次:p=2,s=1,t=2,k=3;
第三次:p=3,s=2,t=3,k=4;
第四次:此时不满足k<4.所以输出p=3.
答案:3
14.(2019·驻马店模拟)已知等比数列{a n}满足a1=1,a4a6=4(a5-1),则a3=________.
【解析】等比数列{a n}满足a1=1,a4a6=4(a5-1),
所以q3q5=4(q4-1),解得q2=,
所以a3=q2=.
答案:
15.(2020·运城模拟)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin ∠BAC =,AB=3,AD=,则BD的长为________. 世纪金榜导学号
【解析】因为AD⊥AC,所以∠DAC=90°,
所以∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°,
所以sin∠BAC=sin(∠BAD+90°)
=cos∠BAD=,
在△ABD中,AB=3,AD=,
根据余弦定理得:
BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD
=9+3-2×3××=6,
则BD=.
答案:
16.已知正实数a,b满足a+b=1,则+的最小值为________.
世纪金榜导学号
【解析】因为a+b=1,
所以+=2a+2b++
=2++,因为+=(a+b)=1+4++
≥5+2=5+4=9,
当且仅当=时即a=,b=时取等号,
故+≥2+9=11.
答案:11
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a∈R).
(1)若不等式的解集为(x1,x2),且x2-x1=,求实数a的值.
(2)若a<0,解关于x的不等式.
【解析】(1)根据题意,不等式的解集为(x1,x2),
则方程x2-2ax-8a2=0的两根为x1,x2,
则x1+x2=2a,x1x2=-8a2,又由x2-x1=,
则(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=36a2=6,
解得a=±.
(2)根据题意,方程x2-2ax-8a2=0的两根为x=4a,或x=-2a,
若a<0,则4a<-2a,
则x2-2ax-8a2<0的解集为(4a,-2a).
18.(12分)(2020·达州模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,关于x 的不等式a1x2-S3x+5<0的解集为(1,5).
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)若数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项和T n.
【解析】(1)设公差为d,关于x的不等式a1x2-S3x+5<0的解集为(1,5).即:1和5为关于x的方程a1x2-S3x+5=0的解,所以=5,=1+5=6,
解得a1=1,S3=6,所以d=1,故a n=1+n-1=n.
(2)由于a n=n,
所以数列{b n}满足b n==2n,
则T n=21+22+23+…+2n==2n+1-2.
19.(12分)(2019·六安模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A.
(1)求角B的大小.
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求△ABC面积的取值范围.
【解析】(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A,
可得2sin Ccos B-sin Acos B=sin Bcos A,
即2sin Ccos B-sin(A+B)=0,
可得cos B=,所以B=60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC= a.
由正弦定理得a===+1.
由于△ABC为锐角三角形,
故0°<A<90°,0°<C<90°,
由(1)知A+C=120°,
所以30°<C<90°,
故1<a<4,从而<S△ABC<2.
因此,△ABC面积的取值范围是.
20.(12分)(2020·泉州模拟)已知复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d ∈R).
(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,求|z1|,|z2|,|z1·z2|.
(2)根据(1)的计算结果猜想|z1|·|z2|与|z1·z2|的关系,并证明该关系的一般性.
【解析】(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,
|z1|=|1+2i|=,|z2|=|3+4i|=5,|z1·z2|=|(1+2i)(3+4i)|=|-5+10i| =5.
(2)由(1)猜测,|z1|·|z2|=|z1·z2|.
证明如下:因为z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).
所以|z1|=,|z2|=,
|z1|·|z2|=
=;
z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,
所以|z1·z2|=
=.
所以|z1|·|z2|=|z1·z2|.
21.(12分)已知函数f(x)=ln x-ax+1. 世纪金榜导学号
(1)当a=1时,证明:f(x)≤0.
(2)若f(x)在[2,3]的最大值为2,求a的值.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=ln x-x+1,
f′(x)=-1=(x>0),
当x∈(0,1)时,f′(x)>0,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以f(x)max=f(1)=0,即f(x)≤0.
(2)由f(x)=ln x-ax+1,得f′(x)=-a=(x>0),若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在[2,3]上为增函数,由f(x)max=f(3)=ln 3-3a+1=2,得
a=,与a≤0矛盾;
若a>0,由f′(x)=0,得x=.所以f(x)在上为增函数,在
上为减函数.
若0<≤2,即a≥,则f(x)在[2,3]上单调递减,f(x)max=f(2)=ln
2-2a+1=2,即a=(舍去);
若≥3,即0<a≤,则f(x)在[2,3]上单调递增,f(x)max=f(3)=ln
3-3a+1=2,
即a=;
若2<<3,即<a<,f(x)max=f=-ln a=2,即a=(舍).
综上,a=.
22.(12分)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,则称函数f(x)在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”. 世纪金榜导学号
(1)判断函数f(x)=log2x是否是“2-利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由.
(2)若函数f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希兹条件函数”,求常数k的最小值.
(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1-利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤1.
【解析】(1)函数f(x)=log2x不是“2-利普希兹条件函数”;
理由如下:
f(x)=log2x的定义域为(0,+∞),
令x1=,x2=,则
==|-1-(-2)|=1,
而2|x1-x2|=,所以|f(x1)-f(x2)|
>2|x1-x2|,所以函数f(x)=log2x 不是“2-利普希兹条件函数”. (2)若函数f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希兹条件函数”,
则对于定义域[1,4]上任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤
k|x1-x2|成立,
不妨设x1>x2,则k≥
=恒成立.
因为1≤x2<x1≤4,所以<<,
所以k的最小值为.
(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期内f(a)=M,f(b)=m, 则|f(x1)-f(x2)|≤M-m=f(a)-f(b)
≤|a-b|.
若|a-b|≤1,显然有|f(x1)-f(x2)|≤|a-b|≤1.
若|a-b|>1,不妨设a>b,则0<b+2-a<1,
所以|f(x1)-f(x2)|≤M-m=f(a)-f(b+2)≤|a-b-2|<1.
综上,对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤1.
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莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。

这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。

加油！！。