福建省龙岩高中2018-2019学年高二(上)期中理科数学试卷(解析版)

2018-2019学年福建省龙岩高中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合2，，，则等于
A. B.
C. 1，2，
D. 0，1，2，
【答案】C
【解析】解：集合2，，
，
1，2，．
故选：C．
先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出的值．
本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．
2.下列四个命题，真命题的个数是
若，则
的充分不必要条件是
命题“，”的否定为“，”
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【答案】B
【解析】解：对于，当时，，
时，无意义，
时，，错误；
对于，时，不能得出，即充分性不成立；
时，能得出，即必要性成立；
是必要不充分条件，错误；
对于，命题“，”的否定为
“，”，正确．
综上，正确的命题序号是．
故选：B．
讨论、和时，对应的取值范围即可；
判断充分性与必要性是否成立即可；
根据特称命题的否定为全称命题，判断即可．
本题利用命题真假的判断考查了简易逻辑的应用问题，是基础题．
3.已知命题p：对，总有；命题q：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真
命题的是
A. B. ￢ C. ￢ D. ￢
【答案】D
【解析】解：命题p：对，总有为真命题；
由，不能得到，由，能够得到，
“”是“”的必要不充分条件，故q为假命题．
为假命题，￢为假命题，￢为假命题，￢为真命题．
故选：D．
由指数函数的性质可得p为真命题，由充分必要条件的判定方法可知q为假命题，再由复合命题的真假判断得答案．
本题考查充分必要条件的判定，考查复合命题的真假判断，是基础题．
4.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有
一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是
A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里
【答案】A
【解析】解：如图，由已知可得，，，
，从而．
在中，由正弦定理，
得．
故选：A．
先根据题意画出图象确定、的值，进而可得到的值，最后根据正弦定理可得到BC的值．
本题主要考查正弦定理的应用考查对基础知识的掌握程度．
5.钝角三角形ABC的面积是，，，则
A. 5
B.
C. 2
D. 1
【答案】B
【解析】解：钝角三角形ABC的面积是，，，
，即，
当B为钝角时，，
利用余弦定理得：，即，
当B为锐角时，，
利用余弦定理得：，即，
此时，即为直角三角形，不合题意，舍去，
则．
故选：B．
利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，利用余弦定理求出AC的值即可．
此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6.已知等比数列满足，，则
A. 21
B. 42
C. 63
D. 84
【答案】B
【解析】解：，，
，
，
，
，
．
故选：B．
由已知，，，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．
7.已知等差数列的前5项和为15，，则数列的前100项和为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：等差数列的前5项和为15，，设首项为，公差为d，
则：，
解得：，
所以：．
所以：，
则：，
，
所以：，
故选：D．
首先根据已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8.设x，y满足约束条件，则的最大值为
A. 10
B. 8
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．
由得，
平移直线，
由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最
小，
此时z最大．
由，解得，即
代入目标函数，
得．
故选：B．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
9.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，
B是椭圆与y轴正半轴的交点，且是坐标原点，则该椭圆的离心率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：依题意，设，
则，
，
，
又，，，
，即，
．
设该椭圆的离心率为e，则，
椭圆的离心率．
故选：C．
依题意，可求得点P的坐标，由，从而可得答案．
本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
10.设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且丨丨：丨丨：1，则的面积
为
A. 4
B. 6
C.
D.
【答案】A
【解析】解：设丨丨，则丨丨，依题意，丨丨丨丨，，，
即丨丨，丨丨，又丨，
，
为直角三角形，
的面积为丨丨丨丨．
故选：A．
依题意可设丨丨，则丨丨，利用椭圆的定义与其标准方程可求得x的值，从而可知丨丨与丨丨，并能判断的形状，从而可求得的面积．
本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义与其标准方程，判断为直角三角形是关键，属于中档题．
11.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，若，
则该双曲线曲离心率为
A. 8
B.
C. 3
D.
【答案】C
【解析】解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为，
，圆的半径为3
圆心到渐近线的距离为，
即，解得
，
双曲线的离心率为．
故选：C．
先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为，进而表示出圆心到渐
近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．
本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．
12.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别
为M，若为直角三角形，则
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
【解析】解：双曲线C：的渐近线方程为：，渐近线的夹角为：，不妨设过的直线为：，
则：解得，
解得：，
则．
故选：B．
求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.在中，，，，则B等于______．
【答案】45度
【解析】解：在中，，，，
由正弦定理得：
，
又，
，
．
故答案为：．
利用正弦定理即可求得，再由知，从而可得答案．
本题考查正弦定理，在中，知是关键，属于基础题．
14.已知数列的前n项和，则数列的通项______．
【答案】
【解析】解：，
当时，
又当时
故
故答案为：
由已知中数列的前n项和，我们可以根据求出数列的通项公式，但最后要验证时，是否满足时所得的式子，如果不满足，则写成分段函数的形式．
本题考查的知识点是由前n项和公式，求数列的通项公式，其中掌握，及解答此类问题的步骤是关键．
15.已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则l的方程是______．
【答案】
【解析】解：设直线l与椭圆交于、，
将、两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率
．
由点斜式可得l的方程为．
设直线l与椭圆交于、，由“点差法”可求出直线l的斜率
再由由点斜式可得l的方程．
本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．
16.函数，若对任意，存在，使得，则实数m的
取值范围是______．
【答案】
【解析】解：时，是减函数，
所以，即，
所以的值域为；
时，是增函数，
所以，即，
所以值域为，
根据题意可得
所以，
故实数m的取值范围是
先分别求出和的值域，再根据列式可解得．
本题考查了指数函数、二次函数的单调性、最值属中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.设p：，q：，且￢是￢的必要不充分条件，求实数a的取值范
围．
【答案】解：由p：，得，即；
若￢是￢的必要不充分条件，则￢￢，￢不能推出￢，
即，但q不能推出p．
是不等式的解集的真子集．
由，得．
，解得．
实数a的取值范围是．
【解析】求解绝对值的不等式化简p，由￢是￢的必要不充分条件，可得，但q不能推出p，则是
不等式的解集的真子集，由此列关于a的不等式组求解．
本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是中档题．
18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
Ⅰ求C；
Ⅱ若，的面积为，求的周长．
【答案】解：Ⅰ在中，，
已知等式利用正弦定理化简得：，
整理得：，
即
，
；
Ⅱ由余弦定理得，
，
，
，
，
，
的周长为．
【解析】Ⅰ已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为0求出的值，即可确定出出C的度数；
利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．
此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
19.已知数列的前n项和为，且，，
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和．
【答案】解：，，，
即，，
两式相减，得，即，
又，，
即数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以；
设，则，
，
，
两式相减，得：
．
【解析】通过，得，，两式相减即得数列是首项为2，公比为2的等比数列，计算即可；
由得，计算出、，两式相减即可．
本题考查数列的递推关系，通项公式，前n项和，错位相减法，利用错位相减法是解决本题的关键，属于中档题．
20.设x，y满足约束条件，目标函数的最大
值为2．
作出可行域；
求的值；
若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范
围．
【答案】解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示；
由图形知，当直线过直线与的交点时，目标函数取得最大2，
即；
由题意，
；
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是；
不等式对任意恒成立，
等价于对任意恒成立；
即，
，
解得实数m的取值范围是．
【解析】画出不等式组表示的平面区域即可；
由图形知目标函数过直线与的交点时，z取得最大值，
由此求得的值；
由题意求得的最小值，把命题转化为关于m的一元二次不等式恒成立问题，
利用判别式求出m的取值范围．
本题考查了简单的线性规划问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．
21.已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点．
求双曲线C的标准方程；
是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】解：双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，
设双曲线方程为：，过点．
可得，
所求双曲线方程为：．
假设直线l存在．
设是弦MN的中点，
且，，则，．
，N在双曲线上，
，
，
，
，
直线l的方程为，即，
联立方程组，得
，
直线l与双曲线无交点，
直线l不存在．
【解析】设出双曲线方程，利用双曲线经过P，求解即可．
假设直线l存在由已知条件利用点差法求出直线l的方程为，联立方程组，得，由，推导出直线l不存在．
本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．
22.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，过椭圆由焦点F作两条互相垂
直的弦AB与当直线AB斜率为0时，弦AB长4．
求椭圆的方程；
若求直线AB的方程．
【答案】解：由题意知，，又，解得：，所以椭圆方程为：--------分
当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知，不满足条件；
当两弦斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，
则直线CD的方程为．
将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得，
则，所以．
同理，．
所以
解得，所以直线AB方程为或-------分
【解析】，，又，解得：，即可求出椭圆的方程；
分类讨论，将直线AB，CD方程代入椭圆方程中，求出，，利用，求出k，即可求直线AB的方程．
本题考查椭圆非常，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。