高三数学3月模拟考试试题 理含解析 试题 2

卜人入州八九几市潮王学校同煤二中联盟体2021届高三数学3月模拟考试试题理〔含解
析〕
一、选择题〔每一小题5分，一共12小题60分〕
{}22|540,|1A x x x B x x ⎧⎫
=-+>=<⎨⎬⎩⎭
，那么A B =〔〕
A.(,1)(2,)-∞⋃+∞
B.(,0)
(4,)-∞+∞ C.(2,4) D.(4,)+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
化简集合A ,B ，求交集即可.
【详解】
{}2|540{|1A x x x x x =-+>=<或者4}x >，2|1={|0B x x x x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
或者
2}x >，
{|0A B x x ∴⋂=<或者4}x >.
应选：B
【点睛】此题主要考察了不等式的解法，交集运算，属于中档题.
()1z ai a R =+∈〔i 是虚数单位〕，
34
55
z i z =-+，那么a =〔〕 A.2 B.2- C.2± D.
1
2
【答案】B 【解析】
【详解】试题分析：由题意可得，即，
，.应选B ．
考点：复数的概念及运算.
C ：()3
3f x x x =-，直线l ：3y ax a =，那么6a =是直线l 与曲线C 相切的〔〕
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由直线l 与曲线C 相切，明确a 的取值，再结合充分必要性作出判断. 【详解】解:()2 '33f x x =-，直线:3l y ax a =-
过定点
)3,0
，且曲线C 也过点)3,0
.假设
直线
l
与曲线
C
相切，设切点横坐标为
o
x ，那么切线为
()23
00332y x x x =--，那么
2
03
03323x a x a
⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解之036x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩或者03
34x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，所以6a =是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条
件. 应选：A
【点睛】此题考察充要条件的判断，涉及直线与三次函数相切问题，考察计算才能与转化才能，属于中档题.
{}n a 的前n 项和为2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，那么该三角形
最大角为 A.60 B.84
C.90
D.
120
【答案】D
试
题
分
析
：
2n S n =2213324433,5,7
a S S a S S a S S ∴=-==-==-=925491
cos 1202352
θθ+-∴=
=-∴=⨯⨯
考点：1．数列求通项；2．解三角形
,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，且5cos 24
παα⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，那么tan α等于〔〕
A.43
-
B.13
-
C.34
-
D.3-
【答案】A 【解析】
试题分析：由
5cos 2,
4παα⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
那么
225(cos sin )cos sin αααα
-=-，所以
1
cos sin 5
αα+=
，又由三角函数的根本关系式
22
cos sin 1αα
+=，且,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，解得
43cos ,sin 55αα==-，所以sin 4
tan cos 3
ααα==-，应选A.
考点：三角函数的根本关系式及余弦的倍角公式.
6.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制大衍历中创造了一种二次不等距插值算法:假设函数
()y f x =在123,,x x x x x x ===()123x x x <<处的函数值分别为
()()()112233,,y f x y f x y f x ===，那么在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数来近似代
替:
()()()11121f x y k x x k x x =+-+-()2x x -，其中32211
12213231
,,y y y y k k k k k x x x x x x ---=
==---.
假设令120,2
x x π
==
，3
x π
=，请根据上述算法，估算sin
5
π
的值是() A.
1425
B.
35
C.
1625
D.
1725
【解析】 【分析】 设
()sin y f x x ==，利用120,2
x x π
==
，3
x π
=然后分别求出
1230,1,0y y y ===，进而代入
32211
12213231
,,y y y y k k k k k x x x x x x ---=
==---，求出k ，最后即可求解sin
5
π
的值 【详解】设
()sin y f x x ==，120,2
x x π
==
，3
x π
=，那么有
1230,1,0y y y ===，
那么
110
2
2
k π
π
-=
=-，
01
2
2
k π
π
π-=
=-
-
，2
24
k π=-
，
由
()()()()21112122
4
4
f x y k x x k x x x x x x π
π
≈+-+--=-
+
，
可得22
4
4
sin x
x x π
π
≈-
+
16
sin
5
25
π
≈
，答案选C 【点睛】此题考察函数近似值的求解，代入运算即可，属于难题
的图象在点
(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，假设数列1()f n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的
前n 项和为n S ，那么2017S 的值是〔〕
A.
2014
2015
B.
2015
2016
C.2016
2017
D.
2017
2018
【答案】D 【解析】 试题分析：因为，所以，所以
的图像在点
处的切
线斜率
．因为切线与直线
320x y ++=垂直，所以
，即
，
，所以，所以，所以
，故应选
．
考点：1、导数的几何意义；2、裂项相消法． 8.执行如下列图的程序框图，那么输出的k 的值是〔〕 A.10 B.11
C.12
D.13
【答案】A 【解析】
解：第1次执行循环体后，S=2，k=2，不满足退出循环的条件， 第2次执行循环体后，S=6，k=3，不满足退出循环的条件， 第3次执行循环体后，S=14，k=4，不满足退出循环的条件， 第4次执行循环体后，S=30，k=5，不满足退出循环的条件， 第5次执行循环体后，S=62，k=6，不满足退出循环的条件， 第6次执行循环体后，S=126，k=7，不满足退出循环的条件， 第7次执行循环体后，S=510，k=8，不满足退出循环的条件， 第8次执行循环体后，S=1022，k=9，不满足退出循环的条件， 第9次执行循环体后，S=2046，k=10，满足退出循环的条件， 故输出的k 值为10， 应选A
【点评】此题考察的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或者有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 9.几何体的三视图如下列图，那么该几何体的外表积为() A.46+ B.66C.22
26+ D.22
36+【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：如图，这是三棱锥
A BCD -的三视图，平面ABC ⊥平面BCD ，尺寸见三视图，
Δ1
2
ABC S =⨯=，
Δ1
22
BCD S =⨯=，2
AD AC DC ===，所以
1
222
ABD ADC S S ∆∆==
⨯=，所以2226表S =++=B ． 考点：三视图，外表积．
0,1,2,3,
,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数
为〔〕 A.180 B.196 C.210 D.224
【答案】C 【解析】 【分析】
首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案． 【详解】分两种情况：
〔1〕个位与百位填入0与8，那么有2228A A 个；
〔2〕个位与百位填入1与9，那么有722711A A A 个.
那么一共有22211
28277210A A A A A +=个.
应选：C
【点睛】此题考察排列、组合的综合运用，注意分类讨论的运用．
11.圆的任何一对平行切线间的间隔总是相等的，即圆在任意方向都有一样的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线〞．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯〔Reuleaux 〕命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法〔如图1〕：画一个等边三角形
,,,ABC A B C 分别以为圆心，
边长为半径，作圆弧,,BC CA AB ,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内〔如图2〕.在图2中的正方形内随机取一点，那么这点落在鲁列斯曲边三角形内的概率是
A.
32π-
B.
233
4
π- C.22
π-
D.
8
π 【答案】A 【解析】
【详解】设正方形的边长为1，那么正方形的面积为1，鲁列斯曲边三角形的面积为
1332242
ππ--⨯=，应选A.
222
21(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222
4a x y +=的切线，切点为E ，延长
FE 交双曲线右支于点P ，假设OF OP
=，那么双曲线的离心率为
A.
10
2
B.
105
C.
10
D.
2
【答案】A 【解析】
试题分析：设双曲线的右焦点为
，由于
，
，因此是
的中点，由于是的中点，
，由双曲线的定义得
，得
，在
，
得，，故答案为A.
考点：双曲线的简单几何性质.
二、填空题〔每一小题5分，一共4小题20分〕
()a 1,3
=，()b 3,m .=假设向量b 在a 方向上的投影为3，那么实数m =______．
【答案】3
【解析】 【分析】
由投影的定义列m 的关系式，解出m 即可．
【详解】根据投影的概念：
a b 33m
b cos a,b 3a 2
⋅+=
==；m 3∴=． 故答案为
3．
【点睛】此题考察投影的概念，两向量夹角余弦公式的坐标运算，数量积的坐标运算，根据向量坐标求其长度，是根底题
28y x =，过点(1,0)M 的直线交抛物线于,A B 两点，F 为抛物线的焦点，假设||6AF =，O 为坐标
原点，那么OAB ∆的面积是__________.
【答案】
52
2
【解析】 【分析】
由抛物线的性质到焦点的间隔等于到准线的间隔求出A 的坐标，又过M 点进而求出直线AB 的方程，与抛物线联立求出B 的坐标，由面积公式求出三角形AOB 的面积． 【详解】抛物线28y x =的准线方程为2x =-，
设
()()1122,,,A x y B x y ，过点A 作准线的垂线AH ，如图，
由抛物线的定义可知，||||6AF AH ==，
∴1
26x +=，∴114,42x y ==，
设直线
AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，
由2
(1)8y k x y x
=-⎧⎨
=⎩，得()
2222
280k x k x k -++=， ∴122111
1,4
x x x x ==
=
，∴2y = ∴OAB ∆
的面积12111112222
OAB
AOM BOM S
S S y y ∆∆∆=+=
⨯+⨯=⨯=
.
故答案为：
2
【点睛】考察抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
32n
x ⎛- ⎝
的展开式中二项式系数的和为128，那么展开式中有理项的个数为__________.
【答案】4 【解析】 【分析】
利用二项式系数的性质求得n 的值，再根据二项展开式的通项公式求得有理项个数.
【详解】因为32n
x ⎛- ⎝
的展开式中二项式系数的和为128，
所以2128n
=，即7n =，
所以32n
x ⎛- ⎝
的展开式的通项为(
)
7
2173721
7722(1)r
r r
r
r r r r T C x
C x
---+⎛==- ⎝
， 当0,2,4,6r
=时，7
212
r -为自然数，
所以有理项的个数为4. 故答案为：4
【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于根底题．
3()22f x ax x =-+在[2,4]有()0f x ≤恒成立，那么a 的取值范围为__________
【答案】(,0]-∞ 【解析】 【分析】
别离参数，转化为23
112a x x ≤
-在[2,4]上恒成立，利用导数求函数的最小值即可.
【详解】
()0f x ≤恒成立即23
11
2a x x ≤-在[2,4]上恒成立，
令23
11
()2g x x x =
-， 那么344133()
x g x x x x
-'=-
+=， ∴()g x 在(2,3)递增，在(3,4)上递减，
11111
(2)0,(4)88326464
g g =-==-=，
故在[2,4]上min ()(2)0g x g ==，
∴0a ≤.
故答案为：(,0]-∞
【点睛】此题主要考察了不等式的恒成立问题，利用导数求函数的最小值，属于中档题. 三、解答题〔第17题~第21题，每小12分，第22题10分，一共6小题70分〕
17.,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2sin cos b B b A =+，4c =.
〔1〕求
A ；
〔2〕假设D 是BC 的中点，AD =ABC ∆的面积.
【答案】(1)3
A π
=;(2)
【解析】
试题分析：
〔1〕利用正弦定理把等式中的边的关系化为角的关系，约去sin B 可得
A 的三角函数式，上两角和的正弦公式化简后可求得A ；
〔2〕D 为BC 中点，因此设BD DC x ==，在ABC ∆应用余弦定理得出,x b 的一个方程，在ABD
∆和CDA ∆中利用180ADB ADC ∠+∠=︒，即cos cos 0ADB ADC ∠+∠=分别应用余弦定理把
这两个余弦用,b x 表示又得一个方程，联立后可解得,b x ，选用公式
1sin 2bc A 可求得面积． 试题解析：
〔1〕由2sin cos b B b A =+可得2cos A A =+， 即有sin 16A π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
， 因为0A π<
<， ∴
7666A πππ<+<， ∴
62A ππ+=， ∴3A π
=.
〔2〕设BD CD x ==，那么2BC x =，
由()
2
21621cos 82
b x A b +-==， 可推出224416x b b =-+①，
因为0180ADB
ADC ∠=-∠，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=， 222
=可推出2222x b =+②， 联立①②得24120b b +-=，故2b =，
因此11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=
()12ln f x x x
=+. 〔1〕求函数
()f x 的最小值； 〔2〕假设()12f x t x ≤-
对任意的[]1,x e ∈恒成立，务实数t 的取值范围. 【答案】〔1〕22ln2-；〔2〕11t e
≥+ 【解析】
试题分析：〔1〕先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号，确定单调性，进而确定最小值取法，代入即得最小值；〔2〕先别离得1ln t x x ≥+，再利用导数研究函数()[]1ln 1,g x x e x
=+在上单调性，进而确定最小值，即得实数t 的取值范围.
试题解析：〔1〕函数的定义域为()0,+∞，()222121'x f x x
x x -=-=， ()f x 在110,+22⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
上递减，在（，）上递增， 所以当12
x =时，()f x 取最小值且为122ln22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 〔2〕问题等价于：1ln t
x x
≥+对[]1,x e ∀∈恒成立， 令()1ln g x x x =+，那么()21'x g x x -=， 因为[]1,x e ∈
，所以()0g x '>，
所以()g x 在[]1,e 上单调递增， 所以()()max
11g x g e e ==+，所以11t e ≥+ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或者存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可别离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
19.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAD 是边长为2的正三角形，
AB BD ==3PB =.
〔Ⅰ〕求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
〔Ⅱ〕设Q 是棱PC 上的点，当PA 平面BDQ 时，求二面角A BD Q --的余弦值.
【答案】〔Ⅰ〕见解析;〔Ⅱ〕3
-. 【解析】
【分析】
〔1〕取AD 中点O ，连结OP ，OB ，可得OP =OP ⊥AD ，OB ⊥AD ，且OB ==OB 2+OP 2＝9＝PB 2，从而OP ⊥面ABCD ，即面PAD ⊥面ABCD ．
〔2〕连结AC 交BD 于E ，那么E 为AC 的中点，连结EQ ，当PA ∥面BDQ 时，PA ∥EQ ，所以Q 是BC 中点．由〔1〕知OA ，OB ，OP 两两垂直，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量求解．
【详解】解：〔1〕取AD 中点O ，连结OP ，OB ，
∵△PAD 是边长为2的正三角形，∴OP =
OP ⊥AD ，
又AB ＝AD =
OB ⊥AD ，且OB == 于是OB 2+OP 2＝9＝PB 2，从而OP ⊥OB ．
所以OP ⊥面ABCD ，而OP ⊂面PAD ，所以面PAD ⊥面ABCD ．
〔2〕连结AC 交BD 于E ，那么E 为AC 的中点，连结EQ ，当PA ∥面BDQ 时，PA ∥EQ ，所以Q 是BC 中点． 由〔1〕知OA ，OB ，OP 两两垂直，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
那么B 〔0，0〕，C 〔﹣2，0〕，D 〔﹣1，0，0〕，P 〔0，0〕，Q 〔﹣1〕，
()1DB =，，022DQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，．
设面BDQ 的法向量为()n x y z =，，
，由06022n DB x n DQ y
z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取(61n =-，．
面ABD 的法向量是()001m =，，，∴cos 2
3m n =-＜，＞．
∵二面角A ﹣BD ﹣Q 是钝角，∴二面角A ﹣BD ﹣Q 的余弦值为
C 过点M 〔1，32
〕，两个焦点为A 〔﹣1，0〕，B 〔1，0〕，O 为坐标原点． 〔1〕求椭圆C 的方程；
〔2〕直线l 过点A 〔﹣1，0〕，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△BPQ 面积的最大值．
【答案】〔1〕22
143
x y +=；〔2〕3. 【解析】
【分析】
〔1〕由中焦点坐标，可得c 值，进而根据椭圆过M 点，代入求出a ，b 可得椭圆的HY 方程； 〔2〕联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及根本不等式，求出三角形面积的最大值． 【详解】〔1〕∵椭圆C 的两个焦点为A 〔﹣1，0〕，B 〔1，0〕，
故c ＝1，且椭圆的坐标在x 轴上
设椭圆C 的方程为：22
2211x y b b
+=+ ∵椭圆C 过点M 〔1，
32〕， ∴2219114b b
+=+ 解得b 2＝3，或者b 234
=- ∴椭圆C 的方程为：22
143
x y += 〔2〕设直线l 的方程为：x ＝ky ﹣1，P 〔x 1，y 1〕，Q 〔x 2，y 2〕，那么
由22
1143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：〔4+3k 2〕y 2
﹣6ky ﹣9＝0 那么y 1+y 22634k k =+，y 1•y 2
2934k -=+ ∴S 12=•2c •|y 1﹣y 2
|234
k =+ 令
t =t ≥1〕
那么S
12
13t t =+，
∵y 13t t
=+在[1，+∞〕上单调递增，故当t ＝1时，y 取最小值，此时S 取最大值3， 当t=1时取等号，即当k=0时，△BPQ 的面积最大值为3.
【点睛】此题考察了椭圆的HY 方程及椭圆内三角形面积的最值问题，其中“联立方程，设而不求，韦达定理〞是常用步骤，综合运用了对勾函数的单调性求最值，属于中档题．
21.某根据学生的兴趣爱好，分别创立了“书法〞、“诗词〞、“理学〞三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否互相HY ．2021年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法〞、“诗词〞、“理学〞三个社团的概率依次为m 、13、n ，己知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34
，且m n >. 〔1〕求m 与n 的值；
〔2〕该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法〞社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词〞社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学〞社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
【答案】〔1〕11,24
m n =
=；〔2〕16. 【解析】
〔1〕根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法〞、“诗词〞、“理学〞三个社团的概率依次为m 、13、n ，三个社团都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >，利用相关公式建立方程组，即可求得m 与n 的值；
〔2〕根据题意，可知不低于44分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.
【详解】〔1〕依题()()1132413111134mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 〔2〕由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为
i X ， 获得本选修课学分分数不低于4分为事件
A ， 那么()4121123412P X =
⨯⨯=；()5111123424P X =⨯⨯=；()6111123424
P X =⨯⨯=. 故()11111224246P A =++=. 【点睛】该题考察的是有关概率的问题，涉及到的知识点有互相HY 事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键.
xOy 中，曲线1C 的参数方程为24,4x t y t =⎧⎨=⎩
〔t 为参数〕，假设以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 2sin 40(0)ρθρθρ++=≥.
〔1〕求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
〔2〕假设A 是曲线1C 上的任意一点，B 是曲线2C 上的任意一点，求线段AB 的最小值.
【答案】〔1〕曲线1C 的普通方程为24x y =，曲线2C 的直角坐标方程为240x y ++=；
〔2
〕min ||10
AB =.
【分析】
〔1曲线1C 消去参数t 即可得普通方程，曲线2C 利用ρsinθ=y ，ρcosθ=x 可得2C 的直角坐标方程； 〔2〕可设点()24,4A t t ，利用点到直线的间隔公式及二次函数最值即可求解.
【详解】〔1〕由24,4x t y t =⎧⎨
=⎩，消去参数t ，得曲线1C 的普通方程为24x y =. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
代入到cos 2sin 40(0)ρθρθρ++=≥中，得240x y ++=， 即曲线2C 的直角坐标方程为240x y ++=.
〔2〕因为
A 是曲线1C 上的任意一点，
B 是曲线2
C 上的任意一点，所以可设点()24,4A t t ， 线段AB 的最小值即点A 到直线2C 的间隔d 的最小值，
所以d ==， 当14t =-
时，min d =
，即min ||AB =. 【点睛】此题主要考察了曲线的参数方程，极坐标方程，点到直线的间隔，属于中档题.。