高考数学总复习专题06数列分项练习(含解析)理(2021学年)(1)

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专题0６ 数列
1。

【2006高考北京理第7题】设4710310()22222()n f n n N +=++++
+∈,则()f n 等于( ）
(Ａ)2(81)7
n -
ﻩﻩ （B)12
(81)7
n +-
（Ｃ）32(81)7n +- ﻩ ﻩﻩ ﻩ（Ｄ)42
(81)7
n +-
【答案】D
【解析】依题意，()f n 为首项为2,公比为８的前n ＋4项求和,根据等比数列的求和公式可得D ２.【2０08高考北京理第6题】已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+,且26a =-,那么10a 等于（ ）
A.165- ﻩ
B.33-ﻩ Ｃ．30- D ． 21-
【答案】Ｃ
考点:数列
3.【20１0高考北京理第2题】在等比数列｛ａn }中，a 1=１,公比|ｑ|≠1。

若a m =a １ａ2ａ３ａ4a 5,则m 等于 ( ）
A.9
B.10
C.11 D ．12 【答案】Ｃ 【解析】
试题分析：a １=1,a m =a 1a 2a 3ａ4ａ5＝53a =51a q １0
=a １q 10
=a １１，∴m ＝11.
考点：等比数列的通项公式．
4. 【2014高考北京理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】
试题分析:对等比数列}{n a ，若1>q ，则当01<a 时数列}{n a 是递减数列;若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ,故当“1>q "是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C 。

考点:等比数列的性质,充分条件与必要条件的判定，容易题.
5。

【２015高考北京,理６】设{}n a 是等差数列。

下列结论中正确的是( ) A ．若120a a +>,则230a a +> Ｂ．若130a a +<,则120a a +< C.若
120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C
【解析】先分析四个答案支，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-,120a a +>而230+<a a ，A 错误，Ｂ举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120+>a a ，B 错误，下面针对C 进行研究，
{}n a 是等差数列,若120a a <<,则10,a >设公差为d ,则0d >,数列各项均为正，由于
22215111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a ad d a ad d =++--=>,则
2113a a a >1a ⇒>
考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法,以等差数列为载体，考查不等关系问题,重 点是对知识本质的考查．
6。

【２0０7高考北京理第10题】若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，,则此数列的通项公式为ﻩﻩ ﻩ;数列{}n na 中数值最小的项是第ﻩ ﻩ项. 【答案】211;3n a n =-
【考点】数列的通项公式,n a 与n S 的关系
7。

【2０08高考北京理第1４题】某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下:第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =,11y =,当2k ≥时,
111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎨
--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =.
按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 ;第2０08棵树种植点的坐标应为 ． 【答案】（1，2） （3, 402)
考点：数列的通项
８。

【2０09高考北京理第１4题】已知数列{}n a 满足:434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =__＿___＿_;2014a =＿_＿＿__＿__. 【答案】1,0 【解析】
试题分析:依题意，得2009450331a a ⨯-==,2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====。

∴应填1，０。

考点：周期数列等基础知识。

9. 【20１１高考北京理第11题】在等比数列{}n a 中，若11
2
a =，44a =-,则公比q =___＿____;12||||||n a a a ++
+=_＿_＿____。

【答案】2- 1122
n --
【解析】由{}n a 是等比数列得341a a q =,又141,4,2
a a ==- 所以31422
q q -=⇒=-，{||}n a 是以12
为首项,以2为公比的等比数列,1121||||||22
n n a a a -++
+=-。

１0。

【2012高考北京理第１0题】已知}{n a 等差数列n S 为其前n 项和。

若2
1
1=a ,32a S =,则2a =_______。

【答案】12=a ,n n S n 4
1412+= 【解析】
试题分析：因为2
12111132132==⇒+=++⇒=+⇒=a d d a d a a a a a a S , 所以112=+=d a a ,n n d n n na S n 4
141)1(21+=-+=. 考点：等差数列的通项公式,前n 项和.
11. 【201３高考北京理第10题】若等比数列{ａn ｝满足a 2＋a 4=2０,a ３＋ａ5=40,则公比ｑ＝＿______＿__;前n 项和Ｓn ＝___＿＿_____。

【答案】２ ２n +1
-2
考点:等比数列的通项公式,前n 项和.
１２。

【20１4高考北京理第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<,则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大。

【答案】8
【解析】
试题分析:由等差数列的性质,89873a a a a =++，08>a ,又因为0107<+a a ,所以098<+a a 所以09<a ,所以78S S >，98S S >，故数列}{n a 的前8项最大. 考点:等差数列的性质,前n 项和的最值,容易题。

13。

【２017高考北京理第10题】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=ｂ１=–1,a 4＝b 4＝8，则
2
2
a b ＝_______＿___． 【答案】1 【解析】
试题分析:设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=,求得
2,3q d =-=，那么
221312
a b -+==。

【考点】等差数列和等比数列
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法。

14。

【20０5高考北京理第19题】(本小题共１2分）
设数列⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=≠=+.
,41,,21
,4
1
}{1
1为奇数为偶数且的首项n a n a a a a a n n
n n 记.,3,2,1,4
112 =-=-n a b n n
（Ⅰ）求a 2，a 3;
(Ⅱ)判断数列}{n b 是否为等比数列，并证明你的结论； (Ⅲ)求).(lim 21n n b b b +++∞
→
【答案】
(II ）
因为43113428a a a =+
=+,所以54113.2416
a a a ==+ 所以1
b =11233511111111
0,(),().44424444
b a a b a a b a a =-=-≠=-=-=-=-
猜想：{}n b 是公比为1
2
的等比数列。

证明如下: 因为 121214
14n n n b a a ++=-=-1 2
2121*111)24411
()
241,()
2
n n n a a b n N --=+-
=-=∈ （ 所以{}n b 是首项为14a -,公比为12
的等比数列。

(ＩII ）11121(1)
12lim(...)lim
2().1141122
n n x x b b b b b a →∞
→∞
-
+++===--- 1５。

【2００6高考北京理第20题】(本小题共14分) 在数列{}n a 中,若12,a a 是正整数，且12||,3,4,5,
n n n a a a n --=-=,则称{}n a 为“绝对差数列”。

(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列＂(只要求写出前十项）；
（Ⅱ)若“绝对差数列”{}n a 中,20213,0a a ==，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++,1,2,3,
n =,分
别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在,如果存在,求出其极限值; （Ⅲ)证明:任何 “绝对差数列"中总含有无穷多个为零的项． 【答案】
即自第 20 项开始。

每三个相邻的项周期地取值 3，０，3。

所以当n →∞时,n a 的极限 不存在。

当20n ≥时， 126n n n n b a a a ++=++=,所以lim 6n n b →∞
=ﻫ(Ⅲ）证明:根据定义,数列{}n a 必在有限项
后出现零项。

证明如下
假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-，所以对于任意的n ，都有1n a ≥，从而 当12n n a a -->时, 1211(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥;ﻫ 当 12n n a a --<时，
2121(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥ﻫ 即n a 的值要么比1n a -至少小1,要么比2n a -至少小１.
令212122212(),
(),
n n n n n n n a a a C a a a --->⎧=⎨<⎩1,2,3,,n =⋅⋅⋅
则101(2,3,4,).A n C C n -<≤-=⋅⋅⋅
由于1C 是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 10C <，这与0n C >（1,2,3,,n =⋅⋅⋅)ﻫ矛盾。

从而{}n a 必有零项．
若第一次出现的零项为第n 项,记1(0)n a A A -=≠,则自第n 项开始,每三个相邻的项周期地取值 0,A , A , 即
331320,,0,1,2,3,,,
n k n k n k a a A k a
A +++++=⎧⎪
==⋅⋅⋅⎨⎪=⎩ﻫ所以绝对差数列{}n a 中有无穷多个为零的项。

16。

【２007高考北京理第15题】（本小题共13分)数列{}n a 中,12a =， 1n n a a cn +=+（c 是
常数，123n =，
，，)，且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．
（I)求c 的值; （ＩI)求{}n a 的通项公式.
所以()()
1112 (12)
n n n a a n c c --=+++-=
⎡⎤⎣⎦， 又12,2a c ==，故()()22122,3...n a n n n n n =+-=-+= , 当1n =时,上式也成立,所以()221,2...n a n n n =-+= 。

【考点】等比数列的定义,等差数列的求和，叠加法求数列的通项. 17. 【2009高考北京理第2０题】（本小题共13分） 已知数集{}()1212,,
1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ;对任意的
(),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与
j i
a a 两数中至少有一个属于A 。

(Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ,并说明理由； （Ⅱ)证明:11a =，且
12111
12n
n n
a a a a a a a ---+++=+++； （Ⅲ)证明:当5n =时,12345,,,,a a a a a 成等比数列。

(Ⅱ)∵{}12,,n A a a a =具有性质P,∴n n a a 与
n
n
a a 中至少有一个属于A, 由于121n a a a ≤<<
<,∴n n n a a a >,故n n a a A ∉.
从而1n
n
a A a =
∈,∴11a =。

∵121n a a a =<<
<, ∴k n n a a a >，故()2,3,
,k n a a A k n ∉=。

由Ａ具有性质P 可知
()1,2,3,,n
k
a A k n a ∈=.
又∵1
21
n n n n
n n a a a a a a a a -<<<
<， ∴
211
21
1,,,n n n n n n n n a a
a a
a a a a a a a --====, 从而
1211
21
n n n n
n n n n a a
a a a a a a a a a a --=++
+=++++，
∴
12111
12n
n n
a a a a a a a ---+++=+++． （Ⅲ)由(Ⅱ）知,当5n =时,有552343
,a a a a a a ==，即2
5243
a a a a ==， ∵1251a a a =<<
<,∴34245a a a a a >=,∴34a a A ∉,
由A 具有性质P 可知
4
3
a A a ∈. 由2
243a a a =,得
3423a a A a a =∈，且3221a a a <=,∴34232
a a
a a a ==， ∴
5342
24321
a a a a a a a a a ====,即12345,,,,a a a a a 是首项为１，公比为2a 成等比数列.. １8. 【2013高考北京理第20题】(本小题共13分)已知{a n ｝是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A ｎ,第ｎ项之后各项ａn +1，ａn ＋2,…的最小值记为Ｂn ,ｄn =Ａｎ－B n 。

（１）若｛ａn ｝为2,1,4,3，2,1,4,3，…,是一个周期为4的数列（即对任意n ∈N ＊
,a n +4＝a n ),写出d 1,d 2,d ３,d 4的值;
(２)设ｄ是非负整数,证明：ｄn =-d (n ＝1，2,3,…)的充分必要条件为{a ｎ}是公差为d 的等差数列；
(3)证明:若a 1＝2,d n ＝1（n =1，2,３,…),则｛ａn ｝的项只能是1或者2,且有无穷多项为1。

所以A n=B n＋d n≤Bｎ。

又因为a n≤A n,a n＋1≥B n，所以a n≤a n＋1.
于是，Ａn=a n，Ｂn＝aｎ＋1，
因此a n+1－aｎ＝B n－A n＝-d n＝d,
即{a n}是公差为d的等差数列．
(3)因为a1=2，d1＝１,
所以Ａ1=a1=2，B１=A１-d1＝1.
故对任意n≥１，aｎ≥B1=１。

假设｛a n}(n≥２)中存在大于2的项．
设m为满足ａm>2的最小正整数，
则ｍ≥2，并且对任意1≤ｋ<m，a k≤２。

又因为a１=2,所以Aｍ－1=２，且Aｍ=a m>2。

于是,Bｍ＝A m－dｍ>2－１＝1，B m－1=miｎ{a m，Bｍ}≥２．
故ｄm－1＝A m－１－B m－１≤2-2＝0,与dｍ－1＝１矛盾.
所以对于任意n≥１，有aｎ≤2，即非负整数列{a n｝的各项只能为1或2。

因为对任意n≥１，a n≤２=a1，
所以A n=２.
故Bｎ＝Aｎ－d n=2-1＝１。

因此对于任意正整数n,存在m满足m>ｎ,且a m=1，即数列｛a n}有无穷多项为1．
以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

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