一种古塔变形的定量分析方法

一种古塔变形的定量分析方法
童强;文晖
【摘要】在合理假设的前提下，采用重心法作为确定古塔各层中心位置的通用方法、并以此运用Matlab和Visual C ＋＋6.0编程计算确定了4次观测的古塔各层的中心位置，从Matlab图形和中心数据分析可以看出重心法求得的中心位置较为理想；在确定了古塔各层中心位置的基础上，确定了塔体的中心位置和中心线，为分析塔体的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况提供了必要的基础；定量分析了在不同时期的古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，得到了古塔的倾斜度、弯曲度和扭曲度随时间的变化趋势。

%In the premise of reasonable assumptions,gravity method for determining the center position of the layers of some ancient pagoda is used as the general method,and central location is identified with the use of Matlab and Visual C + +6 .0 programming calculations.The center of gravity method is proved preferable;after the center position of each layer is determined,the center of the pagoda and the center line are determined,which provides the basis for further analysis of the tower tilt,bend,twist,etc.The bending,twisting of the pagoda are analyzed with quantitative method.The variation trend of bending and twisting degree is obtained.
【期刊名称】《兰州石化职业技术学院学报》
【年(卷),期】2013(000)003
【总页数】3页(P29-31)
【关键词】中心位置;重心;倾斜度;弯曲度;扭曲度
【作者】童强;文晖
【作者单位】兰州石化职业技术学院信息中心，甘肃兰州730060;兰州石化职业技术学院信息中心，甘肃兰州730060
【正文语种】中文
【中图分类】TU311.4
古塔长期受到多种因素的作用易产生诸如倾斜、弯曲、扭曲等变形，根据观测数据定量分析各种变形量对于制定必要的保护措施尤为重要。

某古塔已有上千年历史，管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测，每次的观测数据主要有塔尖和古塔每层的八个定点的位置坐标，根据这4次的观测数据，需要定量分析该塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

1 预分析
测绘公司对古塔的观测数据显示的是古塔各层上相对古塔固定的8个点的观测数据，1996年的各层观测数据应用Matlab得到图像如图1所示。

可以发现每一层的编号相同的点几乎在同一直线上，且同一层的点几乎在同一平面上。

由于古塔形状未知，为了便于分析和计算，我们对古塔的形状进行合理的假设:假设古塔是标准的八角塔，每层的八个观测点即是古塔的八个角，且古塔的每一层是每层的八个观测点依次线性连接后所围成的八边形。

图1 各层观测数据Matlab图
2 确定古塔中心位置
考虑到自重也是造成古塔变形的重要因素，且可以把各层都抽象成质量均匀的薄片，所以将各层的中心位置定义成重心位置更为合理。

为了便于重心的计算，需要将每层上的八个观测点近似归结到同一平面上，然后求这个平面上八个点围成的八边形的重心，以此作为每层的中心。

具体的做法是:以每层八个观测点z轴坐标值的平
均值作为中心的z轴坐标值(假设该值为m)，然后将这八个点投影到z=m的平面上，求出投影到这个平面上的八个点围成八边形区域的重心的x和y轴坐标值，
以此作为中心的x和y轴坐标值［1］。

八边形重心的求法采用计算几何中介绍的方法，基本原理如下［2］:
三角形的重心:x=(xa+xb+xc)/3，y=(ya+yb+yc)/3，其中xa、xb、xc为三角形
各顶点横坐标，ya、yb、yc为三角形各顶点纵坐标，x、y表示重心横纵坐标。

四边形的重心［3］:作一对角线，将它分成两个三角形分别求出重心与面积(x1，
y1)，s1;(x2，y2)，s2，则该四边形的重心为x=(x1*s1+x2*s2)/(s1+s2)，
y=(y1*s1+y2*s2)/(s1+s2)。

五边形则分为一个三角形与一个四边形，……，依次类推，任意多边形中直接取任一点(一般为原点)把多边形分为n－2个三角形分别求重心(xi，yi)和面积si，那么任意多边形的重心可表示为［4］:
为了便于计算，在Visual studio6.0环境中用C++语言依据此方法编写程序进行
计算，对于各层上的观测点的x、y轴坐标值组成的矩阵数据运行程序1次即可得到该层的中心x、y轴坐标值。

如:程序计算得到的1986年7月第一层中心x、y
轴坐标值为(566.665，522.709)，如图2所示，与前面采用均值计算得到的z轴
坐标值(1.787375)合并到一起即可得到最终的中心坐标(566.665，522.709，
1.787375)。

图2 程序运行结果
以此计算得到1986年古塔各层中心的散点图如图3所示，由图3可见用重心法求得的各层中心较为理想。

图3 1986年古塔各层中心的散点图
依据此方法可得到古塔各次观测时各层中心位置的坐标值。

3 定量分析倾斜、弯曲、扭曲变形
假设古塔的第一层是水平的，未发生倾斜、弯曲、扭曲等变形;古塔在发生倾斜、弯曲、扭曲等变形的过程中，第一层未发生变形或变形量极小可以忽略;古塔未发生倾斜、弯曲、扭曲等变形前各层中心在同一条直线上，且各层中心连线垂直于x －y平面(地平面)［5］。

在这些假设的前提下，古塔整体的倾斜、弯曲、扭曲等情况，可以采用塔体重心和第一层中心(重心)连线相对于坐标平面及各层中心的夹角来表述。

将塔体重心和第一层中心(重心)连线取名为塔体中心线，整个塔体中心位置的坐标值由各层中心位置坐标值和塔尖位置坐标值采用取均值的方法来确定，多次测量的塔尖坐标数据采用取均值的方法确定当年的塔尖位置数据。

设第一层中心和塔体中心连线(塔体中心线)与x－y平面(即水平面)的夹角为α，把π/2－α定义为塔体的倾斜角度，设塔体中心坐标为(xc，yc，zc)，第一层中心坐标为(xd，yd，zd)，则有:
因此，1986年塔体的倾斜角度为:
照此计算可得到其他年份的塔体倾斜角度，倾斜度趋势线如图4所示。

从图4中我们可以看出随着时间的推移古塔倾斜度在增大，但是增大的速度有所减缓。

图4 倾斜度趋势线
将古塔各层中心点的z轴坐标值偏离第一层中心和塔体中心连线(塔体中心线)的长度中的最大值定义为塔体的弯曲度(用w表示)，各层中心点的y轴坐标值偏离塔体
中心线的长度中的最大值定义为塔体的扭曲度(用n表示)。

以1986年的观测数据为例进行计算。

首先根据空间直线的两点式方程，确定塔体中心线的方程式:
将各层中心的x轴坐标值带入上述直线方程后，得到塔体未发生扭曲和弯曲情况下的y值和z值，如表1所示。

表1 塔体未发生扭曲和弯曲情况下的y值和z值中心x坐标值 566.665 566.722 566.778……y 522.709 522.672 522.635 ……z 1.787375 7.32024 12.75523……各层中心的y轴坐标值减去表1中数据，计算得到的相应各层y值取其中的最大值即为弯曲度，其值为:0.027;各层中心的z轴坐标值减去上表1中数值，计算得到的相应各层z值取其中的最大值即为扭曲度，其值为:0.03625。

照此计算可得到其他年份的塔体弯曲度和扭曲度，并运用Matlab绘制弯曲度和扭曲度趋势线图，从趋势线可以看出，随着时间的推移古塔的倾斜度、弯曲度和扭曲度在增大，但是增大的速度都有所减缓。

4 结束语
本文中用到的求古塔各层中心的方法——重心法、塔体中心和塔体中心线确立的方法、Matlab和Visual C++6.0编写的计算中心的程序，以及塔体倾斜度、弯曲度、扭曲度的定量分析方法，可以推广到普遍的建筑物变形分析当中，对建筑物变形分析、变形趋势分析及预报具有重要的意义。

参考文献:
［1］毕秀芝，吕同富.任意N边形重心计算机算法［J］.佳木斯大学学报(自然科学版)，2003，(01):77－79.
［2］常胜利.多边形重心坐标的求法［J］.高等数学研究，2005，(02):23 －25. ［3］郭幼操.从四边形重心到多边形的重心［J］.浙江农村技术师专学报，1996，(11):32－35.
［4］鹿利军，杜子涛.灰色系统理论在建筑物变形分析中的应用［J］.测绘与空间地理信息，2006，(01):103－105.
［5］崔国宏，徐礼华.土木工程建筑物变形分析与预报技术研究［J］.地理空间信息，2004，(03):12－14.。