第6讲 幂函数与二次函数

第6讲 幂函数与二次函数

一、选择题

1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝

⎛

⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( )

A.1

4 B ．4 C.22

D. 2

解析 设f (x )＝x α，因为图像过点⎝

⎛⎭⎪⎫4，

12，代入解析式得：α＝－1

2

，∴f (2)＝2－12＝2

2.

答案 C

2．若函数f (x )是幂函数，且满足

f

4f 2＝3，则f (1

2

)的值为( )

A ．－3

B ．－1

3

C ．3

D.1

3

解析 设f (x )＝x α，则由

f 4f 2＝3，得4α

2

α＝3.

∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝1

3.

答案 D

3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为

( )．

A ．[2－2，2＋2]

B ．(2－2，2＋2)

C ．[1,3]

D ．(1,3)

解析 f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2

4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

2x ，x >0，

x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )．

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎨⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎨⎧

a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3. 答案 A

5 .函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－

b

2a

对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )．

A ．{1,2}

B ．{1,4}

C ．{1,2,3,4}

D ．{1,4,16,64} 解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2.

而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－

b

2a

对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642

. 答案 D

6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是

( )．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝1

2，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，

a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5. 答案 C 二、填空题

7．对于函数y ＝x 2

，y ＝x 12

有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．

其中正确的有________．

解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案 ①②⑤⑥

8．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．

解析 由已知得⎩⎪⎨⎪

⎧

a >0，

4ac －16

4a ＝0⇒⎩

⎨⎧

a >0，ac －4＝0. 答案 a >0，ac ＝4

9．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________． 解析 ∵⎩⎨

⎧

α＋β＝m ，

α·β＝1，

∴m ＝β＋1

β

.

∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋

1

β

在(1,2)上是增函数，

∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈

⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，52. 答案 ⎝

⎛

⎭⎪⎫2，52

10．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则m 的取值范围是________．

解析 当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是

2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎨⎧

m <0，

2m <－(m ＋3)，2m <－4，

－(m ＋3)<1

或⎩⎨⎧

m <0，

－(m ＋3)<2m ，2m <1，

－(m ＋3)<－4，

解第

一个不等式组得－4

4，－2)． 答案 (－4，－2) 三、解答题

11．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达

式．

解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n

，由点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，18在函数图象上，求得n ＝3.

令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)， ∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，

∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )． 12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．

解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，