优秀资料（2021-2022年收藏）小学奥数平面几何五大定律

小学奥数平面几何五大定律
教学目标：
1． 熟练掌握五大面积模型
2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD
BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B A
图⑴ 图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①22
13::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =；
③S 的对应份数为()2
a b +．
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
b
a
S 2S 1D
C B
A S 4
S 3
S 2
S 1O D
C
B
A A
B
C
D O
b
a
S 3
S 2S 1
S 4
G
F E A
B
C
D
A
B C
D
E
F G
①
AD AE DE AF
AB AC BC AG
===
； ②2
2
:ADE ABC S S AF AG =△△：．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着
广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．
【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．
三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．
【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四
边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．
∵在正方形ABCD 中，G 1
2
AB S AB AB =
⨯⨯△边上的高， _
H
_
G
_ F
_
E
_
D
_
C
_
B
_ A _
A
_
B
_
C
_
D
_
E
_ F
_ G
_
H
_ A _ B
_ G
_ C _ E _ F _ D
_ A _ B
_ G
_ C _ E
_ F _ D O F E
D C B
A
∴1
2
ABG
ABCD
S S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)
同理，1
2
ABG EFGB S S =
△． ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．
【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积
是多少？
E
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：
E
可得：1
2
EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=
即11
()361822
EHB
BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；
而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111
()()36 4.522228
EBF S BE BF AB BC ∆=
⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=． 所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，
那么图形就可变成右图：
G
E (H )
这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：
1111111
3636363613.52222222
ABCD AED BEF CFD
S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分
别与P 点连接,求阴影部分面积．
【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部
分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和1
6
，所以阴影部分的面
积为211
6()1546
⨯+=平方厘米．
（法2）连接PA 、PC ．
由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和
等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1
6，
所以阴影部分的面积为211
6()1546
⨯+=平方厘米．
【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积
为 ．
B
【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE
和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．
由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1
120304
⨯=，所以三角形AOE 和
DOG 的面积之和为3
12070204
⨯-=；
又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫
⨯-= ⎪⎝⎭
，所以四边形EFGO 的面积为
302010-=．
另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．
A
B
A
B
【解析】 如图，连接OE ．
根据蝴蝶定理，1
:::1:12
COE CDE CAE CDE
ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1
:::1:42
BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM
OEA S S ∆∆=． 又11
334OED
ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725
⨯+⨯=．
【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，
求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC
)
B
【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平
行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．
根据图形的容斥关系，有ABC
ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，
即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙
．
又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1
143400434
ADF S S S S S ∆=++-=-
⨯=乙甲丙阴影．
【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，
右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．
G
F
E D
C B
A
A
B
C D
E F
G
【解析】 连接AF ，BD ．
根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；
所以，15
27BE CBF F
S S ∆∆=
，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128
AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115
652827
ADG CBF
S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．
【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘
米，求ABC △的面积．
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE
S S AD AB ===⨯⨯△△，
::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三
角形ABC 的面积是多少？
E
D
C
B
A A
B C
D
E
【解析】 连接BE ．
∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =
∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积
是甲部分面积的几倍？
乙
甲
E D
C
B
A
A B
C
D
E
甲
乙
【解析】 连接AD ．
∵3BE =，6AE =
∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，
∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE
S S
=，5S S =乙甲．
【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
E
D
C
B
A
E
D
C
B A
【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△
[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，
所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要
的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面
积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
H
G
A
B C
D E
F
H
G
A
B C
D E
F
【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理
∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，
∴111133
ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．
同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．
所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．
所以213618
ABCD EFGH S S ==．
【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？
D
C
B
13
13
12
12
【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)
【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，
中心为O ，求OBC ∆的面积．
【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．
由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．
由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它
的面积为21
8164
⨯=．
根据面积比例模型，OBC ∆的面积为5
16108
⨯=．
【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已
知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．
D
【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．
那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，
所以梯形AFBE 的面积为：
()1
353122
+⨯⨯=(2cm )．
又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以
21
172
ABD S AB ∆=
=(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1
2.52
OBE BDE S S ∆∆=
=(2cm )．
【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，
BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？
F
E
A
B
D
C
G
F
E
A
B
D
C
【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重
合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．
【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于
点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．
F
E
D C
B
A
3332
1F E D
C B
A
A
B
C
D
E
F
【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，
12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE
S EC
==△△, 设1BDF
S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标
所以551212
DCEF ABC S S =
=△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到11
33
ABD ABC S S =
=△△， 11212233
ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以
11ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111
22323212
DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，
而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512
． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方
厘米?
y B C
D E
G
E D C
B
A
E
D
C
B A
【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示55
1212
BCD S S =
=△阴影平方厘米.
【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面
积的1
3
，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．
A
B
C
D
O
H G
A B
C
D O
【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知
条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．
解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．
∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13
AH CG =，∴13AOD
DOC S S ∆∆=， ∴1
3
AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？
B
【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC
S
⨯=⨯，那么6BGC
S
=；
⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．
【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、
4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．
O
G
F E
D
C
B
A
【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以
OCF △的面积为844-=；
⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，
根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==， 那么11221233
GCE
CEF S S ∆∆=
=⨯=+．
【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方
形ABCD 的面积．
A
B
C
D E
F G
A
B
C
D E
F G
【解析】 连接AE ，FE ．
因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111
()53210
DEF
ABCD ABCD S S S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AED ABCD S
S =长方形，11
::5:1210
AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD
S
=平方厘米．因为16
AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．
【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．
C
B
A
【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道
22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△
份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以
1S =阴影平方厘米．
【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘
米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．
A B
C
D
E
F
【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝴蝶定理得
2
129S =+=梯形（）(平方厘米)，
3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD
S
=(平方厘米)．
【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是
平方厘米．
B
B
【解析】 连接AC ．
由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，
根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE
AOC
DOE
AOD
S
S
S
S
=⨯⨯=，所以6AOC
S
=(平
方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又6915ABC
ACD
S S
==+=(平方厘米)，阴影部分面积为
61521+=(平方厘米)．
【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分
的面积是
平方厘米．
B
B
【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．
根据蝴蝶定理，4936OCD OAE OCE OAD
S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故2
36OCD S ∆=， 所以6OCD
S ∆=(平方厘米)．
【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分
的面积是
平方厘米．
B
B
【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．
根据蝴蝶定理，
2816
OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故
216OCD S ∆=，所以
4OCD S ∆=(平方厘米)．
另解：在平行四边形ABED 中，()1
1
168122
2
ADE ABED
S S ∆=
=⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．
【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余
下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．
?
8
5
2O A B C D E
F
?
8
5
2O A B
C
D E
F
【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC
S S
∆=，又根据蝴蝶定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，
所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那
么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．
【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的
面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？
B
B
【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和
ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11
134
=+，那么BDK ∆的
面积也是ABC ∆面积的1
4
．
由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．
那么BDK ∆的面积为1
48124
⨯=．
【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中
点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m
n
，那么，()m n +的值等
于 ．
B
E
E
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都
比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．
左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的1
4
，所以三角形AMD 的面积为
21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为11
1482
-⨯=．
B
E
E
如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的
1
4
，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113
288
-=．
在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：
221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为311
8122424
⨯=
+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463
-⨯=． 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即3
2
m n =，
那么325m n +=+=．
【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，
则::ADE
DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．
E
G
F A D C
B
【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，
所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，
因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，
进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形
【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．
A E
D C
B
AD DF FM MP PB ====，则
::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．
【解析】 设1ADE
S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，
同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．
所以有
::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形
【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF
与BE 相交于点G ，求ABG S △
G
F
A
E
D
C B
M G
F
A
E
D
C
B
G
F
A
E
D
C
B
【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，
因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以
4432(442)471111
ABG ABE S S =
=⨯⨯÷=+△△． 方法二：连接,AE EF ，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝴蝶定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111
ABG ABE S S =
=⨯⨯÷=+△△．
【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG
∆的面积．
M
H
G
F E D C
B
A
A
【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，
::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==， 并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以
::2:3BG EF BM MF ==，所以2
5
BM BF =，1111
222
4
BFD
ABD ABCD
S S S ∆∆==⨯=
； 又因为1
3
BG BD =，所以1212113535430BMG BFD
S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，
可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，
::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，1
3
BG BD =(鸟头定理)，
可得212111
53534
30
BMG BDF ABCD
S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=
【例 25】如图，ABCD为正方形，1cm
AM NB DE FC
====且2cm
MN=，请问四边形PQRS的面积为多少？
C
A
C
A
【解析】(法1)由//
AB CD，有
MP PC
MN DC
=，所以2
PC PM
=，又
MQ MB
QC EC
=，所以
1
2
MQ QC MC
==，所以
111
236
PQ MC MC MC
=-=，所以
SPQR
S占
AMCF
S的
1
6
，
所以
12
1(112)
63
SPQR
S=⨯⨯++=2
(cm)．
(法2)如图，连结AE，则
1
448
2
ABE
S
∆
=⨯⨯=(2
cm)，
而
RB ER
AB EF
=，所以2
RB AB
EF EF
==，
2216
8
333
ABR ABE
S S
∆∆
==⨯=(2
cm)．
而
11
343
22
MBQ ANS
S S
∆∆
==⨯⨯⨯=(2
cm)，因为
MN MP
DC PC
=，
所以
1
3
MP MC
=，则
114
24
233
MNP
S
∆
=⨯⨯⨯=(2
cm)，阴影部分面积等于
1642
33
333
ABR ANS MBQ MNP
S S S S
∆∆∆∆
--+=--+=(2
cm)．
【例 26】如右图，三角形ABC中，:4:9
BD DC=，:4:3
CE EA=，求:
AF FB．
O
F
E
D C
B
A
【解析】根据燕尾定理得::4:912:27
AOB AOC
S S BD CD
===
△△
::3:412:16
AOB BOC
S S AE CE
===
△△
（都有AOB
△的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以:27:16:
AOC BOC
S S AF FB
==
△△
【点评】本题关键是把AOB
△的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4
BD DC=，:5:6
AE CE=，求:
AF FB.
O
F
E
D C
B
A
【解析】根据燕尾定理得::3:415:20
AOB AOC
S S BD CD
===
△△
::5:615:18
AOB BOC
S S AE CE
===
△△
（都有AOB
△的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△
【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .
O F E
D
C
B
A
【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△
::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△
（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△
【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能
掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE
的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．
I H
G
F
E
D
C B
A
I H
G F
E
D
C
B
A
【分析】 连接AH 、BI 、CG ．
由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =
，故22
55
ABE ABC S S ∆∆==； 根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以
::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，9
19
BCG S ∆=；
那么2248
551995
AGE AGC S S ∆∆==⨯=；
同样分析可得9
19
ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以
::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，
所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，5511
1919519
GHI BIE S S ∆∆==⨯=．
【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC
的面积．
I
H G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B
A
【解析】 连接BG ，AGC S △=6份
根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△
得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此6
19
AGC ABC S S =△△,
同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以196661
1919GHI ABC S S ---==
△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19
【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的
倍．
B
C
C
B
【分析】 如图，连接AI ．
根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，
所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，22
1247
BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．
同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的2
7
，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的
21
1377
-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．
【巩固】如图在ABC △中，1
2
DC EA FB DB EC FA ===,求
GHI ABC △的面积△的面积的值． I
H
G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B A
【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得
2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此2
7
AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得
27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以72221
77GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出
这9部分的面积各是多少?
G
F
E D C
B
A
N M
Q
P
G
F E
D
C
B
A
【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，
CM ，CN ．
根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则
1225ABC S =++=△(份)，所以1
5
ABP S =△
同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，121
3721AQG S =-=△．
同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239
273570PQMN S =--=
四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115
321642
GFNQ S =--=四边形
【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形
JKIH 的面积是多少？
K J
I H
A
B
C D E
F G
K
J
I H
A B
C
D E
F
G
【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．
根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==，
所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11
321
AGK ACK S S ∆∆==．
类似分析可得2
15
AGI S ∆=．
又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得1
4
ACJ S ∆=．
那么，1117
42184
CGKJ S =-=．
根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为17
84
，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为
172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为619
17070
-=．
【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与
BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？
N M G
A B
C
D E F
N
M
G
A B
C
D E
F
【解析】 连接CM 、CN ．
根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以1
5
ABM ABC S S =△△；
再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以
:4:3AN NF =，那么
1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫
=-=⨯= ⎪⎝⎭
△△△．
根据题意，有1
5
7.25
28
ABC
ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)
【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面
积
.
C B
A
G
C
B
【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP
⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△
设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),
所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,1
12AIM ABC S S =△△,
所以111
()12126
ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的1
6
⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理
::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,
所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理1
21
BEQ ABC S S =△△
在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△
所以15ABP ABC S S =△△，所以11
11152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--=
⎪⎝⎭
△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105
，所以11113
133610570S =-⨯-⨯=
阴影
【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形
面积.
G
C
B
A
G
C
B
A
【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR
在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,
::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△
所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,2
7CQB ABC S S =△△
所以222117777RQS S =---=△，同理1
7
MNP S =△
根据容斥原理，和上题结果11131
777010
S =+-=六边形
课后练习：
练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．
F
E
D C
B
A
【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，
:():()(13):(24)3:8
CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△
设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米
练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD
的面积．
H G
E
D C
B
A A B
C
D
E
F
G
H
【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF
S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△
同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△
所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形
5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形
所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米
练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是
平方厘米．
H G
F
E
D
C B
A
M
H G
F
E
D
C
B
A
【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．
由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：1
3
EBG BCE S S ∆∆=
将AB 、DF 延长交于M 点，可得： :::1:1BM DC MF FD BF FC ===，
而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得2
5
CH CE =，
而12CF BC =，所以121
255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=
111
12030224
BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=
1177
3014
51515
EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．
EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，同样也能解出．
练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++=
2cm ．
D
C
E
B
A
B
C
A'
C'E
D
A
【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，
显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．
所以2'''11
101050cm 22
ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．
练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面
积是_____平方厘米．。