初等数学笔记
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目录7第一章绪论911几个原理9111容斥原理112数学归纳法10113抽屉原理1212坐标变换12121平移12122旋转13123伸缩1313多项式乘幂定理1514无理指数幂的定义问题17第二章函数与方程2121函数概要21211函数概念21212函数的性质2122三次方程与四次方程的解法22221卡当公式与三次方程的解法22222四次方程的解法2223多项式2224函数方程22241柯西方程2225关于指对函数与多项式函数的增长阶2226函数的凸性2427三角函数29271三倍角公式29272两种类型的切比雪夫chebyshev多项式29第三章数列3131数列概要31311数列概念31312等差数列与等比数列31313递推数列的通项3232线性递推数列的通项32目录33正整数的幂和公式3不等式39411绝对值不等式39412排序不等式39413均值不等式40414cauchy不等式42415chebyshev不等式43416琴生不等式44417幂平均值不等式44418赫尔德holder不等式45419闵可夫斯基minkowski不等式454110嵌入不等式45第五章组合4751方程的解的个数4752用数列方法解决错位排列问题4753题选48第六章平面几何5161向量51611定比分点5162几个重要的定理54621张角定理54622menelaus定理55623ceva定理57624斯特瓦尔特stewart定理6163三角形65631内外角平分线定理65632正弦定理和余弦定理66633海伦公式66634一些三角恒等式67635外接圆与外心67636内切圆与内心68637欧拉不等式69638重心70639垂心716310euler定理与欧拉公式726311旁切圆与旁心7364题集73第七章解析几何7771椭圆初步77711焦半径公式77712第一定义与第二定义的等价性78713切线与光学性质79714极点与极线82715纯几何观点下的椭圆84第八章立体几何8981三面角的余弦公式89目录目录第一章绪论本章讲述一些与其它各章节没有太大直接关联的主题
3.4 函数方程······················································ 50 3.4.1 柯西方程 (50) 3.4.2 指数方程与对数方程 (52) 3.4.3 三角方程 (53) 3.4.4 题选 (53)
3.5 三角函数······················································ 55 3.5.1 第一类切比雪夫多项式 (55) 3.5.2 第二类切比雪夫多项式 (56) 3.5.3 两类切比雪夫多项式的关系与它们的根 (57)
I
II
目录
2.3.4 RSA 加密与解密 (34) 2.3.5 一次同余式与中国剩余定理 (34)
第三章 函数、方程与不等式············································35
3.1 函数概要······················································ 35 3.1.1 函数概念 (35) 3.1.2 函数的性质 (35)
4.1 向量························································· 101 4.1.1 概念及运算 (101) 4.1.2 分解定理 (103) 4.1.3 坐标表示 (105) 4.1.4 定比分点 (106) 4.1.5 内积 (111) 4.1.6 外积 (113) 4.1.7 题选 (116)
第二章 初等数论······················································21 2.1 整除理论······················································ 21 2.1.1 整除的概念与带余除法 (21) 2.1.2 最大公因数与辗转相除法 (22) 2.1.3 最小公倍数 (27) 2.1.4 素数与算术基本定理 (28) 2.1.5 高斯函数 (30) 2.2 不定方程······················································ 30 2.2.1 二元一次不定方程 (30) 2.2.2 多元一次不定方程 (31) 2.2.3 勾股方程与费马问题 (32) 2.3 同余·························································· 32 2.3.1 同余及其性质 (34) 2.3.2 剩余类与完全剩余系 (34) 2.3.3 欧拉函数、欧拉定理与费马小定理 (34)
4.7 圆锥曲线····················································· 149 4.7.1 第一定义与第二定义 (149) 4.7.2 焦半径公式 (151) 4.7.3 切线与光学性质 (152) 4.7.4 极点与极线 (155) 4.7.5 纯几何观点下的椭圆 (157)
初等数学笔记
zhcosin 2018-01-23 编译
目录
第一章 绪论··························································· 1 1.1 一些说明······················································· 1 1.1.1 求和符号与求积符号 (1) 1.2 几个原理······················································· 4 1.2.1 容斥原理 (4) 1.2.2 数学归纳法 (5) 1.2.3 抽屉原理 (9) 1.3 坐标变换······················································· 9 1.3.1 平移 (9) 1.3.2 旋转 (9) 1.3.3 伸缩 (10) 1.4 组合与二项式定理·············································· 12 1.4.1 分类计数原理与分步计数原理 (12) 1.4.2 排列、线排列与圆排列 (12) 1.4.3 组合、若干组合模型 (12) 1.4.4 二项式定理 (12) 1.4.5 组合恒等式 (12) 1.4.6 多项式定理 (12) 1.5 无理指数幂的定义问题·········································· 15 1.6 行列式························································ 17 1.6.1 奇排列与偶排列 (17) 1.6.2 行列式的概念 (19) 1.6.3 行列式的性质与计算 (20) 1.6.4 行列式按一行 (列) 展开 (20) 1.6.5 Cramer 法则 (20) 1.6.6 Laplace 定理 (20)
目录
III
3.8.11 舒尔不等式 (96) 3.8.12 嵌入不等式 (96) 3.8.13 一些例子 (96) 3.8.14 题选 (98)
3.9 题集························································· 100
第四章 初等几何·····················································101
xi，二
i=1
∑n xi = x1 + x2 + · · · + xn
i=1
求和符号中的 xi 就是求和的通项，通项中的 i 称为求和指标，而上下标 i = 1 和 n 分别给出了求和指标的上下限，即求和范围。
例 1.1.1 二项式定理利用求和符号就可以写成
∑n (a + b)n = Cni an−ibi
3.2 方程的求解···················································· 36 3.2.1 Cardano 公式与 Vieta 替换 (36) 3.2.2 三次方程的三角解法 (38) 3.2.3 四次方程的解法 (39) 3.2.4 牛顿迭代法 (39) 3.2.5 题选 (39)
3.8 不等式························································ 87 3.8.1 绝对值不等式 (87) 3.8.2 伯努利不等式 (88) 3.8.3 排序不等式 (89) 3.8.4 均值不等式 (90) 3.8.5 柯西 (Cauchy) 不等式 (93) 3.8.6 切比雪夫 (Chebyshev) 不等式 (94) 3.8.7 琴生不等式 (95) 3.8.8 幂平均值不等式 (95) 3.8.9 赫尔德 (Holder) 不等式 (95) 3.8.10 闵可夫斯基 (Minkowski) 不等式 (96)
4.5 圆··························································· 147 4.5.1 圆幂 (147) 4.5.2 反演变换 (148) 4.5.3 极点与极线 (148) 4.5.4 根轴与根心 (148)
4.6 圆锥曲线····················································· 148
3.3 多项式························································ 39 3.3.1 数域 (39) 3.3.2 一元多项式 (40) 3.3.3 整除的概念与带余除法 (40) 3.3.4 最大公因式与辗转相除法 (41) 3.3.5 因式分解定理 (45) 3.3.6 重因式 (48) 3.3.7 多项式函数 (48) 3.3.8 对称多项式 (49) 3.3.9 插值多项式 (49) 3.3.10 题选 (49)
第一章 绪论
本章讲述一些与其它各章节没有太大直接关联的主题。
1.1 一些说明
1.1.1 求和符号与求积符号
今后会经常遇到类似于 x1 + x2 + · · · + xn 这样的求和，每次都写成这样长不免
浪费篇幅，也显得累赘，因为这求和中实际上只有两个要素，一是求和通项 是求和的下标范围 1 到 n，因此把这个求和简记为 ∑n xi，即
i=0
而等比数列的求和公式则可以写成 (公比不为 1)
∑ n−1 qi
=
1
−
qn
1−q
i=0
在有求和符号参与的运算过程中，常常对求和指标进行变换，比如把上式的求 和顺序倒过来，写成
xn + xn−1 + · · · + x1 + x0
这时利用求和符号可以写成 ∑1 xi，意义不变，也可以写成 ∑n xn+1−i，仍然没有本
3.6 函数的凸性···················································· 58
3.7 数列·························································· 63 3.7.1 数列概念 (63) 3.7.2 等差数列与等比数列 (64) 3.7.3 差分与高阶等差数列 (69) 3.7.4 线性递推数列 (72) 3.7.5 分式型递推数列 (75) 3.7.6 递推方法的应用 (75) 3.7.7 题选 (77)
4.8 抛物线······················································· 161
4.9 题集························································· 163
IV
目录
参考文献·····························································169
i=n
i=1
质上的不同，因为当 i 从 1 到 n 取值时，n + 1 − i 便依次依次取值 n, n − 1, . . . , 2, 1。
4.2 曲线、曲面与方程············································· 116 4.2.1 曲线与曲面的方程、方程的曲线或曲面 (116) 4.2.2 直线和平面的方程 (117) 4.2.3 圆和球面的方程 (119)
4.3 几个重要的定理··············································· 121 4.3.1 张角定理 (121) 4.3.2 梅涅劳斯 (Menelaus) 定理 (122) 4.3.3 塞瓦 (Ceva) 定理 (125) 4.3.4 斯特瓦尔特 (Stewart) 定理 (132) 4.3.5 托勒密定理与托勒密不等式 (136) 4.3.6 西姆松定理 (136) 4.3.7 帕普斯 (Pappus) 定理 (136) 4.3.8 笛沙格定理 (136)
4.4 三角形······················································· 136 4.4.1 内外角平分线定理 (136) 4.4.2 正弦定理和余弦定理 (138) 4.4.3 海伦公式 (138) 4.4.4 一些三角恒等式 (138) 4.4.5 重心 (139) 4.4.6 外接圆与外心 (139) 4.4.7 内切圆与内心 (140) 4.4.8 欧拉不等式 (142) 4.4.9 垂心与垂心组 (143) 4.4.10 欧拉 (Euler) 定理与欧拉公式 (144) 4.4.11 旁切圆与旁心 (145) 4.4.12 费马点 (145) 4.4.13 内接三角形的最小周长 (145) 4.4.14 九点圆定理 (145) 4.4.15 题选 (145)
3.4 函数方程······················································ 50 3.4.1 柯西方程 (50) 3.4.2 指数方程与对数方程 (52) 3.4.3 三角方程 (53) 3.4.4 题选 (53)
3.5 三角函数······················································ 55 3.5.1 第一类切比雪夫多项式 (55) 3.5.2 第二类切比雪夫多项式 (56) 3.5.3 两类切比雪夫多项式的关系与它们的根 (57)
I
II
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2.3.4 RSA 加密与解密 (34) 2.3.5 一次同余式与中国剩余定理 (34)
第三章 函数、方程与不等式············································35
3.1 函数概要······················································ 35 3.1.1 函数概念 (35) 3.1.2 函数的性质 (35)
4.1 向量························································· 101 4.1.1 概念及运算 (101) 4.1.2 分解定理 (103) 4.1.3 坐标表示 (105) 4.1.4 定比分点 (106) 4.1.5 内积 (111) 4.1.6 外积 (113) 4.1.7 题选 (116)
第二章 初等数论······················································21 2.1 整除理论······················································ 21 2.1.1 整除的概念与带余除法 (21) 2.1.2 最大公因数与辗转相除法 (22) 2.1.3 最小公倍数 (27) 2.1.4 素数与算术基本定理 (28) 2.1.5 高斯函数 (30) 2.2 不定方程······················································ 30 2.2.1 二元一次不定方程 (30) 2.2.2 多元一次不定方程 (31) 2.2.3 勾股方程与费马问题 (32) 2.3 同余·························································· 32 2.3.1 同余及其性质 (34) 2.3.2 剩余类与完全剩余系 (34) 2.3.3 欧拉函数、欧拉定理与费马小定理 (34)
4.7 圆锥曲线····················································· 149 4.7.1 第一定义与第二定义 (149) 4.7.2 焦半径公式 (151) 4.7.3 切线与光学性质 (152) 4.7.4 极点与极线 (155) 4.7.5 纯几何观点下的椭圆 (157)
初等数学笔记
zhcosin 2018-01-23 编译
目录
第一章 绪论··························································· 1 1.1 一些说明······················································· 1 1.1.1 求和符号与求积符号 (1) 1.2 几个原理······················································· 4 1.2.1 容斥原理 (4) 1.2.2 数学归纳法 (5) 1.2.3 抽屉原理 (9) 1.3 坐标变换······················································· 9 1.3.1 平移 (9) 1.3.2 旋转 (9) 1.3.3 伸缩 (10) 1.4 组合与二项式定理·············································· 12 1.4.1 分类计数原理与分步计数原理 (12) 1.4.2 排列、线排列与圆排列 (12) 1.4.3 组合、若干组合模型 (12) 1.4.4 二项式定理 (12) 1.4.5 组合恒等式 (12) 1.4.6 多项式定理 (12) 1.5 无理指数幂的定义问题·········································· 15 1.6 行列式························································ 17 1.6.1 奇排列与偶排列 (17) 1.6.2 行列式的概念 (19) 1.6.3 行列式的性质与计算 (20) 1.6.4 行列式按一行 (列) 展开 (20) 1.6.5 Cramer 法则 (20) 1.6.6 Laplace 定理 (20)
目录
III
3.8.11 舒尔不等式 (96) 3.8.12 嵌入不等式 (96) 3.8.13 一些例子 (96) 3.8.14 题选 (98)
3.9 题集························································· 100
第四章 初等几何·····················································101
xi，二
i=1
∑n xi = x1 + x2 + · · · + xn
i=1
求和符号中的 xi 就是求和的通项，通项中的 i 称为求和指标，而上下标 i = 1 和 n 分别给出了求和指标的上下限，即求和范围。
例 1.1.1 二项式定理利用求和符号就可以写成
∑n (a + b)n = Cni an−ibi
3.2 方程的求解···················································· 36 3.2.1 Cardano 公式与 Vieta 替换 (36) 3.2.2 三次方程的三角解法 (38) 3.2.3 四次方程的解法 (39) 3.2.4 牛顿迭代法 (39) 3.2.5 题选 (39)
3.8 不等式························································ 87 3.8.1 绝对值不等式 (87) 3.8.2 伯努利不等式 (88) 3.8.3 排序不等式 (89) 3.8.4 均值不等式 (90) 3.8.5 柯西 (Cauchy) 不等式 (93) 3.8.6 切比雪夫 (Chebyshev) 不等式 (94) 3.8.7 琴生不等式 (95) 3.8.8 幂平均值不等式 (95) 3.8.9 赫尔德 (Holder) 不等式 (95) 3.8.10 闵可夫斯基 (Minkowski) 不等式 (96)
4.5 圆··························································· 147 4.5.1 圆幂 (147) 4.5.2 反演变换 (148) 4.5.3 极点与极线 (148) 4.5.4 根轴与根心 (148)
4.6 圆锥曲线····················································· 148
3.3 多项式························································ 39 3.3.1 数域 (39) 3.3.2 一元多项式 (40) 3.3.3 整除的概念与带余除法 (40) 3.3.4 最大公因式与辗转相除法 (41) 3.3.5 因式分解定理 (45) 3.3.6 重因式 (48) 3.3.7 多项式函数 (48) 3.3.8 对称多项式 (49) 3.3.9 插值多项式 (49) 3.3.10 题选 (49)
第一章 绪论
本章讲述一些与其它各章节没有太大直接关联的主题。
1.1 一些说明
1.1.1 求和符号与求积符号
今后会经常遇到类似于 x1 + x2 + · · · + xn 这样的求和，每次都写成这样长不免
浪费篇幅，也显得累赘，因为这求和中实际上只有两个要素，一是求和通项 是求和的下标范围 1 到 n，因此把这个求和简记为 ∑n xi，即
i=0
而等比数列的求和公式则可以写成 (公比不为 1)
∑ n−1 qi
=
1
−
qn
1−q
i=0
在有求和符号参与的运算过程中，常常对求和指标进行变换，比如把上式的求 和顺序倒过来，写成
xn + xn−1 + · · · + x1 + x0
这时利用求和符号可以写成 ∑1 xi，意义不变，也可以写成 ∑n xn+1−i，仍然没有本
3.6 函数的凸性···················································· 58
3.7 数列·························································· 63 3.7.1 数列概念 (63) 3.7.2 等差数列与等比数列 (64) 3.7.3 差分与高阶等差数列 (69) 3.7.4 线性递推数列 (72) 3.7.5 分式型递推数列 (75) 3.7.6 递推方法的应用 (75) 3.7.7 题选 (77)
4.8 抛物线······················································· 161
4.9 题集························································· 163
IV
目录
参考文献·····························································169
i=n
i=1
质上的不同，因为当 i 从 1 到 n 取值时，n + 1 − i 便依次依次取值 n, n − 1, . . . , 2, 1。
4.2 曲线、曲面与方程············································· 116 4.2.1 曲线与曲面的方程、方程的曲线或曲面 (116) 4.2.2 直线和平面的方程 (117) 4.2.3 圆和球面的方程 (119)
4.3 几个重要的定理··············································· 121 4.3.1 张角定理 (121) 4.3.2 梅涅劳斯 (Menelaus) 定理 (122) 4.3.3 塞瓦 (Ceva) 定理 (125) 4.3.4 斯特瓦尔特 (Stewart) 定理 (132) 4.3.5 托勒密定理与托勒密不等式 (136) 4.3.6 西姆松定理 (136) 4.3.7 帕普斯 (Pappus) 定理 (136) 4.3.8 笛沙格定理 (136)
4.4 三角形······················································· 136 4.4.1 内外角平分线定理 (136) 4.4.2 正弦定理和余弦定理 (138) 4.4.3 海伦公式 (138) 4.4.4 一些三角恒等式 (138) 4.4.5 重心 (139) 4.4.6 外接圆与外心 (139) 4.4.7 内切圆与内心 (140) 4.4.8 欧拉不等式 (142) 4.4.9 垂心与垂心组 (143) 4.4.10 欧拉 (Euler) 定理与欧拉公式 (144) 4.4.11 旁切圆与旁心 (145) 4.4.12 费马点 (145) 4.4.13 内接三角形的最小周长 (145) 4.4.14 九点圆定理 (145) 4.4.15 题选 (145)