山东省德州市宁津镇第一中学2019年高三数学理联考试卷含解析

山东省德州市宁津镇第一中学2019年高三数学理联考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列{a n}满足a2=2，a6=0，则数列{a n}的公差为（）
A．B．2 C．﹣D．﹣2
参考答案：
C
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程求出公差d即可．
【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，a6=0，
∴a6﹣a2=4d=﹣2，
解得d=﹣，
∴数列{a n}的公差为﹣．
故选：C．
2. 某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据(x,y)分别为(2,1.5)，(3,4.5)，(4,5.5)，(5,6.5)，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（）
A. 8年
B. 9年
C. 10年
D. 11年
参考答案：
D
【分析】
根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案.
【详解】依题意在回归直线上，
，
由，
估计第11年维修费用超过15万元.
故选:D.
【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.
3. 6个人站成一排,甲,乙,丙三人必须站在一起的排列的种数为（）
参考答案：
D
4. 分别是双曲线的左右焦点，P为双曲线C右支上一点，且
，则
A．4 B．3 C．D．2
参考答案：
A
5. 已知函数f（x）=log a x（0＜a＜1），则函数y=f（|x|+1）的图象大致为（）A．B．C．
D．
参考答案：
A
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】利用特殊点代入计算，排除即可得出结论．
【解答】解：由题意，x=0，y=f（1）=0，排除C，D．
x=1，y=f（2）＜0，排除B，
故选A．
6. 设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax-y=0上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）
A. B. C.[1,2] D.[2,3]
参考答案：
B
【分析】
由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线ax-y=0上存在区域D上的点时的a的范围．
【详解】解：由不等式组作出可行域如图，
∵直线ax-y=0过定点O（0，0），要使直线ax-y=0上存在区域D上的点，
则直线ax-y=0的斜率a∈[k OB，k OA]，
联立，得A（1，3），
联立，得B（2，1），
∴．
∴a，
故选：B．
7. 首项为1，公比为2的等比数列的前10项和
A．1022 B．1023 C．1024 D．1025
参考答案：
B
8. 设集合，则满足的集合B的个数为
A．1 B．3 C．4 D．8
参考答案：
C
略
9. 如图所示y=sin（ωx+φ）的图象可以由y=sinωx的图象沿x轴经怎样的平移得到的
（）
A．沿x轴向左平移个单位B．沿x轴向左平移个单位
C．沿x轴向右平移个单位D．沿x轴向右平移个单位
参考答案：
A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：如图所示，∵﹣=，
故y=sin（ωx+φ）的图象可以由y=sinωx的图象沿x轴向左平移个单位得到的，故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
10. 已知方程，则下列结论正确的
是（）A．它是奇函数
B．把它图象的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍后的方程是
C．它的图象是一个封闭图形，且面积小于；
D．它的图象是一个封闭图形，且面积大于；
参考答案：
答案：D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设若，则=
参考答案：
1
本题考查了分段函数的求值以及定积分的有关计算问题，难度一般。

，而，
所以
12. 对于定义在R上的函数，若实数满足，则称是函数的一个不动点．若函数没有不动点，则实数的取值范围是．
参考答案：
.
试题分析：由题意得，问题等价于方程无解，
∴，故填：.
考点：二次函数综合题.
13. 已知向量、的夹角为,，则_____________.
参考答案：
略
14. 若函数为奇函数，则= 。

参考答案：
15. .已知复数（，i是虚数单位）的对应点z在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____
参考答案：
π
【分析】
先把复数分母有理化，再根据z在第四象限和，可得关于x，y的不等式组，进而可得点P在平面上形成的区域面积。

【详解】由题得，z在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：
则其面积.
【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性。

16. 已知是等比数列，，则的值范围是_______________
参考答案：
[8，)
略
17. 下面给出四种说法：
①用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；
②命题P：“?x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是￢P：“?x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；
③设随机变量X服从正态分布N（0，1），若P（x＞1）=p，则P（﹣1＜X＜0）=﹣p
④回归直线一定过样本点的中心（，）．
其中正确的说法有（请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上）
参考答案：
②③④
【考点】BS：相关系数．
【分析】①用相关指数R2来刻画回归效果时，R2越大，模型的拟合效果越好；
②根据特称命题的否定的全称命题，写出P的否定￢P即可；
③根据正态分布N（0，1）的性质，由P（X＞1）=p求出P（﹣1＜X＜0）的值；
④回归直线一定过样本点的中心（，）．
【解答】解：对于①，用相关指数R2来刻画回归效果时，
R2越大，说明模型的拟合效果越好，∴①错误；
对于②，命题P：“?x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是
￢P：“?x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，②正确；
对于③，根据正态分布N（0，1）的性质可得，
若P（X＞1）=p，则P（X＜﹣1）=p，
∴P（﹣1＜X＜1）=1﹣2p，
∴P（﹣1＜X＜0）=﹣p，③正确；
对于④，回归直线一定过样本点的中心（，），正确；
综上，正确的说法是②③④．
故答案为：②③④．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间．
参考答案：
考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的概念及应用．
分析：（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣2处取得极值，所以f′（﹣2）=0，又因为函数与直线在点（1，0 ）处相切，所以f′（1）=﹣3，代入求得两个关于a与b的二元一次方程，求出解集得到a和b，又因为函数过点（1，0），代入求出c的值即可．
（2）由（1）求出的值可得导函数的解析式，分别令其大于、小于0可求增、减区间．
解答：解：（1）∵f′（x）=3x2+2ax+b，
∴f′（﹣2）=3×（﹣2）2+2a×（﹣2）+b=0
∴12﹣4a+b=0 ①又f′（1）=3+2a+b=﹣3 ②，由①②解得a=1，b=﹣8
又f（x）过点（1，0），
∴13+a×12+b×1+c=0，∴c=6
所以f（x）的解析式为：f（x）=x3+x2﹣8x+6
（2）由（1）知：f（x）=x3+x2﹣8x+6，所以f′（x）=3x2+2x﹣8
令3x2+2x﹣8＜0解得，令3x2+2x﹣8＞0解得x＜﹣2，或
故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（，+∞），
f（x）的单调递减区间为（﹣2，）
点评：考本题查学生利用导数研究函数极值的能力，及会求二元一次方程组解集和一元二次不等式解集的能力，属中档题．
19. (本小题满分14分)设函数，
（1）求函数的极大值；
（2）记的导函数为，若时，恒有成立，试确定实数的取值范围.
参考答案：
20. 已知椭圆过点，且离心率为.设A、B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆上异于A、B的一点，直线AP、BP分别与直线相交于M、N两点，且直线MB与椭圆C交于另一点H.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线AP与BP的斜率之积为定值；
（Ⅲ）判断三点A、H、N是否共线，并证明你的结论.
参考答案：
（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）三点共线
【分析】
（Ⅰ）根据已知条件列a、b、c的方程组，求a、b、c的值，可得椭圆标准方程（Ⅱ）设点P坐标为（x0，y0），将点P的坐标代入椭圆方程可得x0与y0的等量关系，然后利用斜率公式，结合等量关系可证出结论；（Ⅲ）设直线AP的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），得直线BP方程，与直线x＝2联立，分别求点M、N坐标，然后求直线MN斜率，写直线HM的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理可求点H坐标，计算AH和AN的斜率，利用这两直线斜率相等来证明结论成立．
【详解】解：（Ⅰ）根据题意可知解得
所以椭圆的方程.
（Ⅱ）根据题意，直线的斜率都存在且不为零.
设，则.
则.
因为，所以.
所以
所以直线与的斜率之积为定值.
(III)三点共线.证明如下：
设直线的方程为，则直线的方程为. 所以，,.
设直线，
联立方程组消去整理得，. 设，则所以,.
所以.
因为，,
,.
所以，所以三点共线.
【点睛】本题考查椭圆方程的求法和椭圆性质的应用，考查韦达定理在椭圆综合的应用，考查计算能力与推理能力，综合性较强．
21. 已知点M是椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2分别为C的左右焦点，
|F1F2|=2，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过椭圆右焦点F2的直线l和椭圆交于两点A，B，是否存在直线l，使得△OAF2的面积与△OBF2的面积的比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）在△F1MF2中，△F1MF2的面积为．推出|MF1||MF2|=．由余弦定理，得到|MF1|+|MF2|=4．求出a，b即可求解椭圆的标准方程．
（Ⅱ）△OAF2的面积与△OBF2的面积的比值为2等价于，则．设A
（x1，y1），B（x2，y2），推出y1=﹣2y2．（1）设直线l的方程为：x=ky+，由，利用韦达定理，求出k，即可推出结果．
【解答】解：（Ⅰ）在△F1MF2中，△F1MF2的面积为．
可得，
得|MF1|?|MF2|=．
由余弦定理，
=，
则|MF1|+|MF2|=4．
故2a=|MF1||MF2|，即a=2，b2=a2﹣c2=1，
椭圆C的标准方程为：．
（Ⅱ）△OAF2的面积与△OBF2的面积的比值为2等价于，则．设A（x1，y1），B（x2，y2），故（x1，﹣y1）=2（x2﹣，y2），
则y1=﹣2y2．（1）
设直线l的方程为：x=ky+，
由，消x并整理得（4+k2）y2+2﹣1=0，
则y1+y2=﹣，（2）
y1y2=﹣（3）
由（1）（2）（3）得，k=±，
即存在直线x=±y+，使得△OAF2的面积与△OBF2的面积之比为2．
22. 已知下列两个命题：函数上单调递增；关于的不等式的解集为R，为假命题，为真命题，求的取值范围。

参考答案：
解：，
由题知一真一假，若真假，则，若假真，则，
综上，的取值范围是
略。