数学与应用数学毕业论文-高阶常微分方程的解法
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3.1.1特征根只有单根的情形
设 , , , 是特征方程的 个互不相等的根,则相应地方程(3)有如下 个解： .由于
而最后一个行列式是著名的范德蒙德行列式,它等于 ,由于假设 ,故此行列式不等于零,从而 ,于是解组 线性无关，即 在区间 上线性无关，从而构成方程的基本解组。
如果 均为实数,则方程(3)的通解可表示为
由于一阶常系数齐次线性微分方程 ,有形如 的解,且它的通解就是 .因此，我们对于方程(3)也去试求指数函数形式的解 其中 是待定常数,可以是实数,也可以是复数.
将 代入方程(3)中，有
= ,
其中 是 的n次多项式.可得, 为方程(3)的解的充要条件是 是代数方程 的根.我们称它为方程(3)的特征方程,它的根就称为特征根.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论.
根据非齐次线性微分方程的叠加原理,方程 与 的解之和必为方程(3)的解.
4.2拉普拉斯变换法
常系数线性微分方程还可以应用拉普拉斯变换法进行求解,
由积分 所定义的确定复平面 上的复变数 的函数 ,称为函数 的拉普拉斯变换法,其中 在 有定义,且满足 ,里 为某两个正常数,我们将称 为原函数,而 称为像函数.
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论文使用授权说明
本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定,即：学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.
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指导教师声明书
本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果,已经审阅过论文的全部内容,并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性.
我们讨论如下的 阶线性微分方程
(1)
其中 及 都是区间 上的连续函数.这样的方程我们称它为 阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程.
特别地，当 ,则上述方程变为
(2)
我们称它为 阶齐次线性微分方程,并把这个方程叫做对应与上述非齐次线性微分方程的齐次线性微分方程.
类似于一阶微分方程,高阶微分方程解的存在性及怎样求解是学习高阶微分方程的一个重点.本文就高阶微分方程的解法问题进行讨论.
证明略.
例3 求方程 满足初始条件 的解
解: 设级数 为方程的解,这里 是一个待定常数,由初始条件得: 因而 ;
; .
将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得 ;
; ; ， ; 即 .
因而 也即 对一切正整数 成立.
故方程的解为
4.非齐次线性微分方程的解法
讨论常系数非齐次线性微分方程
的求解问题,这里 是常数,而 为连续函数.
若 .则 .即
因此,对 仿以上做法,
令 .则方程化为关于 的 阶段线性方程Leabharlann 可得上述方程的 个线性无关的解 .
重复以上做法,可降低 阶.
例2 求方程 的通解
解: 令 ,则方程化为
这是一阶方程,其通解为 ,即有 ,
对上式积分4次,得原方程的通解为 .
3.3二阶线性方程的幂级数解法
对二阶变系数齐线性方程 ,求解问题,归结为寻求它的一个非零解.
当 时, ,也就是特征方程的形式为
,而对应的方程(3)变为 ,可见它有 个线性无关的解 ,即特征方程的 个线性无关解 .
当 时,我们作变量变换 ,注意
可得 .于是方程(3)化为
.对应的特征方程为
.
直接计算可得 .因此 ,从而 .
可见特征方程 的根 对应与特征方程 的根 ,而且重数相同.这样,问题就化为前面讨论过的的情形了.
一般形式:
因为
用数学归纳法可得: .将这些表达式代入 ,可得: ,即得新方程 ,它比原方程降低了一阶.
c) 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
这里可以分为两种情形：
情形1：设 是二阶齐线性方程 的非零解.
令 ,则 ; .代入
,得 ,即 .
引入新的未知函数 方程变为 .是一阶线性方程,解得 则 .因而 （ ）
2)若 ,则此时可作变量变换 ,将方程(1)化为
其中 都是常数,而且特征方程 的根 对应于上面所化方程的特征方程的零根,并且重数也相同,因此,利用上面的结果就有如下结论：
在 不是特征方程 的根的情形,所化方程有特解 ,从而方程(1)有特解
；
在 是特征方程 的 重根的情形,所化方程有特解 ,从而方程(1)有特解
指导教师签名：时间：
摘 要
本文首先介绍了高阶常微分方程的定义和性质,并对其进行了分类.继而介绍了高阶齐次线性微分方程和高阶非齐次线性微分方程的求解方法;在求解齐次线性微分方程主要采用了欧拉待定指数函数法、降阶法，还特别阐述了二阶线性微分方程的幂级数解法;在求解非齐次线性微分方程主要采用了比较系数法、拉普拉斯变换法、常数变易法.最后通过一些例子对这些方法的具体应用做了介绍.
类型Ⅱ
设 ,其中 为常数,而 是带实系数的 的多项式,其中一个的次数为 ,而另一个的次数不超过 ,那么我们有如下结论：方程(1)有形如 的特解,这里 为特征方程 的根 的重数,而 均为待定的带实系数的次数不高于 的 的多项式,可以通过比较系数的方法来确定.
根据类型Ⅰ的讨论过程,当 不是实数,而是复数时,有关结论仍然正确.现将 表为指数形式
学生诚信承诺书
本人郑重声明：所呈交的论文《高阶常微分方程解法》是我个人在导师徐河苗指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.
我们知道方程 的 重根 对应于方程 的 个解 ，因而对应于方程 的 重根 ,方程(3)有 个解
(4)
同样,假设特征方程 的其他根
的重数依次为 （单根 相当于 ）,而且 ,则方程(3)对应有解
(5)
可以证明以上(4)和(5)全部 个解线性无关,从而构成方程(3)的基本解组.
设特征方程有复重根时,假设 是 重特征根,则 也是 重特征根,则可得到方程(3)的 个实值解
2.预备知识
定理1：如果 是齐次线性微分方程的 个解,则它们的线性组合 也是它的解,其中 是任意常数. 这个定理通常被称为叠加原理.
定理2：方程 任一组 个线性无关的解称为方程的一个基本解组,基本解组的以任意常数为系数的线性组合构成齐次线性微分方程的通解.
定理3：设 为方程
的基本解组,而 是方程 的特解,
这里 ,这些待定常数 可以从该方程唯一地逐个确定出来.
第二种情况： 是 重特征根的情况,即 ,而 ,也就是 ,方程(1)将变为
令 ,则上述方程化为 对该方程来说,由于 已不是它的特征根,它有形如 的特解,因而前面所述方程有特解 满足 .
这表明 是 的 次多项式,其中 的幂次 的项带有任意常数,但因我们只需要知道一个特解就够了,特别地取这些任意常数均为零,于是我们得到方程 的一个特解 这里 是已确定了的常数.
Keyword:Laplacetransform; Constant variation; Reduction Method; Power Series
高阶常微分方程的解法
08404228数学与应用数学
指导教师徐
1.
常微分方程在数学占据着重要的位置，它的求解问题是学习这门课程的重点也是难点，它的解存在很多的性质，这就引导我们可以通过不同的性质对它的解进行研究，出现了很多种不同的解法。
例1 求解方程
解: 特征方程 有根 ,
因此,通解为 ,其中 为任意常数.
3．2降阶法
可降阶的一些方程类型:n阶微分方程的一般形式,即 .
a)含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方
程是
.若能求得该方程的通解： ，即
对上式进行 次积分,即得 的通解 这里 为常数
b)不显含自变量 的方程
例4 求方程 满足初值条件 的解.
解: 对方程两端施行拉普拉斯变换,得到方程的解的像函数所应满足的方程 ,
设给定微分方程 及初始条件
,其中 是常数,而 在 上连续且满足原函数的条件.
注意,如果 是给定微分方程的任意解,则 及其各阶导数 均是原函数,记 和
那么,按原函数微分性质有 ,
,
于是,对给定微分方程两端施行拉普拉斯变换,并利用线性性质就得到
即
或 ,
其中 和 都是已知多项式,由此 ,
这就是给定微分方程的满足所给初始条件的解 的像函数.而 可直接查拉普拉斯变换表（附表）或由反变换公式计算求得.
4.1比较系数法.
对于 的不同形式,可以分为两种类型进行分析.
类型Ⅰ
设 ,其中 及 为实常数那么方程(1)有形如 的特解,其中 为特征方程 的根 的重数（单根相当于 ；当 不是特征根时,取 ）,而 是待定常数,可以通过比较系数来确定.
1)若 ,则
现在分两种情况进行讨论:
第一种情况： 不是特征根的情况,即 ,则 ,这时取 ,将 代入方程(3),并比较 的同次幂的系数,得到常数 必须满足的方程
则方程 的通解可表为
其中 为任意常数,
即：非齐次线性微分方程的通解可表为它的一个特解与对应齐次线性微分
方程的通解之和.
3.齐次线性微分方程的解法
若齐次线性微分方程(2)中所有系数都是常数,则方程有如下形式
(3)
其中 , ,…, 为常数.我们称它为 阶常系数齐次线性微分方程.
3.1欧拉待定指数函数法
阶常系数齐次线性微分方程的求解问题可以归结为代数方程求根问题.下面介绍基本解组的欧拉待定指数函数法（又称为特征根法）.
关键词：拉普拉斯变换；常数变易法；降阶法；幂级数
Abstract
This paper first introduces the high order ordinary differential equation of the definition and properties,and analyses the classification.And then introduces the high order homogeneous linear differential equation and the homogeneous linear differential equation solution;In solving the homogeneous linear differential equation mainly adopts backlog index function method,euler reduced order method.Also is especially expounds two erder linear differential equation of the power series solution;In the solution of a homogeneous linear differential equation mainly adopts more coefficient method,Laolace transform method,the variation of constant.Finally through some examples of the specific application of these methods are introduced.
,其中 为任意常数.
如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭地出现,设 是一个特征根,则 也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程(3)有两个复值解 和 .
这样一来,对应于特征方程一对共轭复根 ,我们可求得方程(3)的两个实值解 , .
3.1.2特征根有重根的情形
设特征方程有 重根 ,则 , .
因它与 之比不等于常数,故 线形无关.因此 的通解为 （这里 是任意常数）
情形2：一般已知齐线性方程 的 个线性无关解 ,显然
令 , ; ; ;
.
代入上面已知齐线性方程得
已知齐线性方程 故 的系数恒为零,化为不含 的方程.
令 ,则在 的区间上方程变为 .且 是上述方程 .
已知线性方程的解及以上变换知 或 .因此 是 的解.
下面考虑该方程在初始条件 下的特解(不失去一般性,可设 ).
定理4[2]:若方程上述方程中系数 和 都可展成 的幂级数,且收敛区间为 ,则该方程有形如 的特解,也以 为级数的收敛区间.
定理5[2]:若上述方程中系数 和 都具有这样的性质,即 和 均可展成 的幂级数,且收敛区间为 ,则该方程有形如
的特解,这里 , 是一个待定常数,级数 也以 为收敛区间.
设 , , , 是特征方程的 个互不相等的根,则相应地方程(3)有如下 个解： .由于
而最后一个行列式是著名的范德蒙德行列式,它等于 ,由于假设 ,故此行列式不等于零,从而 ,于是解组 线性无关，即 在区间 上线性无关，从而构成方程的基本解组。
如果 均为实数,则方程(3)的通解可表示为
由于一阶常系数齐次线性微分方程 ,有形如 的解,且它的通解就是 .因此，我们对于方程(3)也去试求指数函数形式的解 其中 是待定常数,可以是实数,也可以是复数.
将 代入方程(3)中，有
= ,
其中 是 的n次多项式.可得, 为方程(3)的解的充要条件是 是代数方程 的根.我们称它为方程(3)的特征方程,它的根就称为特征根.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论.
根据非齐次线性微分方程的叠加原理,方程 与 的解之和必为方程(3)的解.
4.2拉普拉斯变换法
常系数线性微分方程还可以应用拉普拉斯变换法进行求解,
由积分 所定义的确定复平面 上的复变数 的函数 ,称为函数 的拉普拉斯变换法,其中 在 有定义,且满足 ,里 为某两个正常数,我们将称 为原函数,而 称为像函数.
签名：日期：
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本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定,即：学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.
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我们讨论如下的 阶线性微分方程
(1)
其中 及 都是区间 上的连续函数.这样的方程我们称它为 阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程.
特别地，当 ,则上述方程变为
(2)
我们称它为 阶齐次线性微分方程,并把这个方程叫做对应与上述非齐次线性微分方程的齐次线性微分方程.
类似于一阶微分方程,高阶微分方程解的存在性及怎样求解是学习高阶微分方程的一个重点.本文就高阶微分方程的解法问题进行讨论.
证明略.
例3 求方程 满足初始条件 的解
解: 设级数 为方程的解,这里 是一个待定常数,由初始条件得: 因而 ;
; .
将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得 ;
; ; ， ; 即 .
因而 也即 对一切正整数 成立.
故方程的解为
4.非齐次线性微分方程的解法
讨论常系数非齐次线性微分方程
的求解问题,这里 是常数,而 为连续函数.
若 .则 .即
因此,对 仿以上做法,
令 .则方程化为关于 的 阶段线性方程Leabharlann 可得上述方程的 个线性无关的解 .
重复以上做法,可降低 阶.
例2 求方程 的通解
解: 令 ,则方程化为
这是一阶方程,其通解为 ,即有 ,
对上式积分4次,得原方程的通解为 .
3.3二阶线性方程的幂级数解法
对二阶变系数齐线性方程 ,求解问题,归结为寻求它的一个非零解.
当 时, ,也就是特征方程的形式为
,而对应的方程(3)变为 ,可见它有 个线性无关的解 ,即特征方程的 个线性无关解 .
当 时,我们作变量变换 ,注意
可得 .于是方程(3)化为
.对应的特征方程为
.
直接计算可得 .因此 ,从而 .
可见特征方程 的根 对应与特征方程 的根 ,而且重数相同.这样,问题就化为前面讨论过的的情形了.
一般形式:
因为
用数学归纳法可得: .将这些表达式代入 ,可得: ,即得新方程 ,它比原方程降低了一阶.
c) 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
这里可以分为两种情形：
情形1：设 是二阶齐线性方程 的非零解.
令 ,则 ; .代入
,得 ,即 .
引入新的未知函数 方程变为 .是一阶线性方程,解得 则 .因而 （ ）
2)若 ,则此时可作变量变换 ,将方程(1)化为
其中 都是常数,而且特征方程 的根 对应于上面所化方程的特征方程的零根,并且重数也相同,因此,利用上面的结果就有如下结论：
在 不是特征方程 的根的情形,所化方程有特解 ,从而方程(1)有特解
；
在 是特征方程 的 重根的情形,所化方程有特解 ,从而方程(1)有特解
指导教师签名：时间：
摘 要
本文首先介绍了高阶常微分方程的定义和性质,并对其进行了分类.继而介绍了高阶齐次线性微分方程和高阶非齐次线性微分方程的求解方法;在求解齐次线性微分方程主要采用了欧拉待定指数函数法、降阶法，还特别阐述了二阶线性微分方程的幂级数解法;在求解非齐次线性微分方程主要采用了比较系数法、拉普拉斯变换法、常数变易法.最后通过一些例子对这些方法的具体应用做了介绍.
类型Ⅱ
设 ,其中 为常数,而 是带实系数的 的多项式,其中一个的次数为 ,而另一个的次数不超过 ,那么我们有如下结论：方程(1)有形如 的特解,这里 为特征方程 的根 的重数,而 均为待定的带实系数的次数不高于 的 的多项式,可以通过比较系数的方法来确定.
根据类型Ⅰ的讨论过程,当 不是实数,而是复数时,有关结论仍然正确.现将 表为指数形式
学生诚信承诺书
本人郑重声明：所呈交的论文《高阶常微分方程解法》是我个人在导师徐河苗指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.
我们知道方程 的 重根 对应于方程 的 个解 ，因而对应于方程 的 重根 ,方程(3)有 个解
(4)
同样,假设特征方程 的其他根
的重数依次为 （单根 相当于 ）,而且 ,则方程(3)对应有解
(5)
可以证明以上(4)和(5)全部 个解线性无关,从而构成方程(3)的基本解组.
设特征方程有复重根时,假设 是 重特征根,则 也是 重特征根,则可得到方程(3)的 个实值解
2.预备知识
定理1：如果 是齐次线性微分方程的 个解,则它们的线性组合 也是它的解,其中 是任意常数. 这个定理通常被称为叠加原理.
定理2：方程 任一组 个线性无关的解称为方程的一个基本解组,基本解组的以任意常数为系数的线性组合构成齐次线性微分方程的通解.
定理3：设 为方程
的基本解组,而 是方程 的特解,
这里 ,这些待定常数 可以从该方程唯一地逐个确定出来.
第二种情况： 是 重特征根的情况,即 ,而 ,也就是 ,方程(1)将变为
令 ,则上述方程化为 对该方程来说,由于 已不是它的特征根,它有形如 的特解,因而前面所述方程有特解 满足 .
这表明 是 的 次多项式,其中 的幂次 的项带有任意常数,但因我们只需要知道一个特解就够了,特别地取这些任意常数均为零,于是我们得到方程 的一个特解 这里 是已确定了的常数.
Keyword:Laplacetransform; Constant variation; Reduction Method; Power Series
高阶常微分方程的解法
08404228数学与应用数学
指导教师徐
1.
常微分方程在数学占据着重要的位置，它的求解问题是学习这门课程的重点也是难点，它的解存在很多的性质，这就引导我们可以通过不同的性质对它的解进行研究，出现了很多种不同的解法。
例1 求解方程
解: 特征方程 有根 ,
因此,通解为 ,其中 为任意常数.
3．2降阶法
可降阶的一些方程类型:n阶微分方程的一般形式,即 .
a)含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方
程是
.若能求得该方程的通解： ，即
对上式进行 次积分,即得 的通解 这里 为常数
b)不显含自变量 的方程
例4 求方程 满足初值条件 的解.
解: 对方程两端施行拉普拉斯变换,得到方程的解的像函数所应满足的方程 ,
设给定微分方程 及初始条件
,其中 是常数,而 在 上连续且满足原函数的条件.
注意,如果 是给定微分方程的任意解,则 及其各阶导数 均是原函数,记 和
那么,按原函数微分性质有 ,
,
于是,对给定微分方程两端施行拉普拉斯变换,并利用线性性质就得到
即
或 ,
其中 和 都是已知多项式,由此 ,
这就是给定微分方程的满足所给初始条件的解 的像函数.而 可直接查拉普拉斯变换表（附表）或由反变换公式计算求得.
4.1比较系数法.
对于 的不同形式,可以分为两种类型进行分析.
类型Ⅰ
设 ,其中 及 为实常数那么方程(1)有形如 的特解,其中 为特征方程 的根 的重数（单根相当于 ；当 不是特征根时,取 ）,而 是待定常数,可以通过比较系数来确定.
1)若 ,则
现在分两种情况进行讨论:
第一种情况： 不是特征根的情况,即 ,则 ,这时取 ,将 代入方程(3),并比较 的同次幂的系数,得到常数 必须满足的方程
则方程 的通解可表为
其中 为任意常数,
即：非齐次线性微分方程的通解可表为它的一个特解与对应齐次线性微分
方程的通解之和.
3.齐次线性微分方程的解法
若齐次线性微分方程(2)中所有系数都是常数,则方程有如下形式
(3)
其中 , ,…, 为常数.我们称它为 阶常系数齐次线性微分方程.
3.1欧拉待定指数函数法
阶常系数齐次线性微分方程的求解问题可以归结为代数方程求根问题.下面介绍基本解组的欧拉待定指数函数法（又称为特征根法）.
关键词：拉普拉斯变换；常数变易法；降阶法；幂级数
Abstract
This paper first introduces the high order ordinary differential equation of the definition and properties,and analyses the classification.And then introduces the high order homogeneous linear differential equation and the homogeneous linear differential equation solution;In solving the homogeneous linear differential equation mainly adopts backlog index function method,euler reduced order method.Also is especially expounds two erder linear differential equation of the power series solution;In the solution of a homogeneous linear differential equation mainly adopts more coefficient method,Laolace transform method,the variation of constant.Finally through some examples of the specific application of these methods are introduced.
,其中 为任意常数.
如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭地出现,设 是一个特征根,则 也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程(3)有两个复值解 和 .
这样一来,对应于特征方程一对共轭复根 ,我们可求得方程(3)的两个实值解 , .
3.1.2特征根有重根的情形
设特征方程有 重根 ,则 , .
因它与 之比不等于常数,故 线形无关.因此 的通解为 （这里 是任意常数）
情形2：一般已知齐线性方程 的 个线性无关解 ,显然
令 , ; ; ;
.
代入上面已知齐线性方程得
已知齐线性方程 故 的系数恒为零,化为不含 的方程.
令 ,则在 的区间上方程变为 .且 是上述方程 .
已知线性方程的解及以上变换知 或 .因此 是 的解.
下面考虑该方程在初始条件 下的特解(不失去一般性,可设 ).
定理4[2]:若方程上述方程中系数 和 都可展成 的幂级数,且收敛区间为 ,则该方程有形如 的特解,也以 为级数的收敛区间.
定理5[2]:若上述方程中系数 和 都具有这样的性质,即 和 均可展成 的幂级数,且收敛区间为 ,则该方程有形如
的特解,这里 , 是一个待定常数,级数 也以 为收敛区间.