三角函数经典试题

三角函数公式
题型示例
若A -B =
6
π
,tan A -tan B =332,则cosA ²cos B = .
解 tan(A -B )=
⇒=∙+-33tan tan 1tan tan B A B A (1+tan A ²tan B )²⇒=332331+⇒=∙∙2cos cos sin sin B
A B
A
cos A ²cos B +sin A ²sin B =2cos A ²cos B cos A ²cos B =
21cos(A -B )= 4
3. 答案
4
3 点评 “化切为弦”是三角变换的常用方法.若把1+B
A B
A cos cos sin sin ∙∙=2化为
B A B
A c o s
c o s s i n s i n ∙∙=1⇒cos A ·cos B =sin A ·sin B ,解题便陷入困境，不易求解.
一、选择题 (9³3′＝27′)
1．tan 15°+cot 15°等于 ( ) A.2 B.2+3 C.4 D.3
3
4 2．当x ≠
2πk (k ∈Z )时，x
x x x cot cos tan sin ++的值是 ( ) A.恒正 B.恒负 C.非负 D.无法确定
3．若cot α=2,则sin 2α+sin 2α的值是 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.以上都不对
4．若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是 ( )
A. log cos C B A sin cos >0
B.log cos C B A
cos cos >0
C.log sin C B
A sin sin >0 D.log sin C
B A
cos sin >0
5．设tan α=71,tan β=3
1
,α、β均为锐角，则α+2β的值是 ( )
A.
4π B. 43π C.45π D. 4
3
4或ππ 6．如果角θ满足条件,则θ是 ( ) A.第二象限角 B.第二或第四象限角 C.第四象限角 D.第一或第三角限角
7．若cot θ=3,则cos 2θ-21
sin 2θ的值是 ( )
A.-65
B.-54
C.5
3
D.54
8．若α∈［0,2π］,且
,2
cos 2sin 2cos 12cos 1α
-α=α-+α+则α的取值范围是 ( ) A.［0，2π］ B.［2
π
,π］ C.［0,π］ D.［π,2π］ 9．在△ABC 中，若sin(
4π+A )cos(A +C -4
3
π)=1,则△ABC 为 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形 二、填空题 (5³3′＝15′)
10．化简α
-α-α
-α-4
466sin cos 1sin cos 1= . 11．tan20°+tan40°+3tan20°tan40°的值是 . 12．若sin α+sin β=
21,cos α+cos β=2
3,则sin(α+3π)的值为 . 13．已知α=求得,8
π
,
2
tan
2cot cos 2α-αα
的值为 .
14．若a ≠0，且sin x +sin y =a ，cos x +cos y =a ,则sin x +cos x = . 三、解答题(2³10′＋6′＋10′＝36′)
15．已知tan α、cot α是关于x 的方程x 2-kx +k 2-3=0的两实根，且3π<α<
2
7
π， 求cos(3π+α)+sin(π+α)的值. 16．已知tan 2
14
=
⎪⎭⎫
⎝⎛α+π. (1)求tan α的值;
(2)求α
+α-α2cos 1cos 2sin 2的值.
17．已知sin α+cos β=
2
1
,求cos α+sin β的取值范围. 18．已知6sin 2α+sin αcos α-2cos 2α=0,α∈[2π,π）,求sin(2α+3
π
)的值. 四、思考与讨论(12′＋10′＝22′)
19．已知关于x 的方程2x 2-(3+1)x +m =0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)
θ
-θ
+
θ-θtan 1cos cot 1sin 的值； (2)m 的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
20．设α、β、γ是锐角,且tan 2
tan 23γ=a ,tan β=21
tan γ,求证：α、β、γ成等差数列.
参考答案
1．C tan 15°+cot 15°=tan 15°+︒︒
+=
︒15tan 15tan 115tan 12 .430sin 2
30csc 215tan 215tan 122=︒
=︒=︒︒+∙=
2． A x ≠2πk ,k ∈Z , 0sin 1cos 1tan sin sin 1cos cos 1tan sin 11cos 11cos sin cot cos tan sin 2>++∙=++∙=+
+
∙
=++x x x x
x x x
x x x x x x x x x . 3．A cot α=2⇒sin α=
.5
5
2cos ,552112
±=α∴±
=+± 又由cot α=2>0知 sin α、cos α同号. ∴sin2α+sin 2
α=2³2
5555255⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯=1. 4．A ∵A +B >
2π,∴A >2π-B,cos A <cos(2π-B )=sinB ，∴0<B
A
sin cos <1,又0<cos C <1, ∴log cos C
B
A
sin cos >0. 5．A tan β=3
1⇒tan 2β=
43)3
1(131
22
=-⨯
又
71<1, 3
1
<1,则0<α<4π,0<β<4π,∴0<α+2β<43π,
又tan(α+2β)=7
1+
4
37114371⨯-+
=1,∴α+2β=4π. 6．B ∵sin 2
θ+cos 2
θ=1,∴⇒=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1524532
2k k k k k =0或8．k =0时，sin θ=-53，cos θ=54，θ
在第四象限；k =8时，sin θ=
135，cos θ=13
12
-,θ在第二象限． 7． C cot θ=3,则tan θ=31,∴sin 2θ=533113122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯,cos 2θ=.543113112
2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-
cos 2θ-.5
35321254
12sin 2
1
22cos 12sin 21=⨯-+
=θ-θ+=
θ 8．D α∈［0,2π］,则
2
α
∈［0,π］.
,2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 12cos 122α+α=α+α=α-+α+ 由已知得 sin 2α≥0,cos 2α≤0,∴2
α∈［2π
,π］,∴α∈［π,2π］.
9．C sin （4π+A ）cos (A +C -43π)=1⇒sin(4π+A )=1,cos (A +C -43π)=1⇒A =4π,A +C =4
3
π. 10．
2
3
[
][].
2
3c o s s i n 2c o s s i n 3c o s s i n 2)
s i n (c o s 1c o s s i n 3)s i n (c o s 1)
s i n (c o s 1)c o s s i n s i n (c o s 1s i n c o s 1)s i n c o s s i n )(c o s s i n (c o s 12
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4422444
4422422=αααα=αα-α+α-α
α-α+α-=
α+α-αα-α+α-=α--α+αα-αα+α-=a 原式
11．3 3=tan60°=
⇒︒
︒-︒
+︒40tan 20tan 140tan 20tan tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.
12．
21 由已知sin β=21-sin α,cos β=23-cos α,两式平方相加得1=2-sin α-3cos α=2-2sin(α+3π)，∴sin(α+3
π)=21.
13．82 ααα=
ααα-αα=αα-ααα=α-ααs i n 21c o s c o s 2
c o s 2s i n 2s i n
2c o s c o s 2c o s 2s i n 2s i n 2c o s c o s 2t a n 2c o t c o s 222222
.8
2
4s i n 412s i n 412c o s s i n =π=α=αα=
14．a ∵sin 2y +cos 2y =1,∴(a -sin x )2+(a -cos x )2=1,得2a 2-2a (sin x +cos x )+1=1,∴sin x +cos x =a ． 15．解,1
3cot tan cot tan 2
⎩⎨
⎧=-=αα=α+αk k
得k =±2,tan α=±1,又3π<α<27π,∴tan α=1,α=413
π. cos(3π+α)+sin(π+α)=-cos α-sin α=2.
16．分析 （1）将已知用两角和的正切公式展开即可.
(2)将所求式子化简成只含tan α的形式，再代入数便可求解.
解 (1)tan .tan 1tan 1tan 4
tan 1tan 4tan
4α-α+=απ-α
+π
=⎪⎭⎫ ⎝⎛α+π
由tan .3
1tan ,21tan 1tan 1,214
-=α=α-α+=
⎪⎭
⎫
⎝⎛α+π解得有 (2)方法1.65
213121tan cos 2cos sin 21cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 2
22-=--=-α=αα-α=-α+α-αα=α+α-α 方法2 由(1),tan α=-31,得sin α=-3
1
cos α.
∴sin 2α=91cos 2α,1-cos 2α=9
1
cos 2α. ∴cos 2α=
109,于是cos 2α=2cos 2α-1=54,sin 2α=2sin αcos α=-32cos 2α=-5
3. 代入得.65
5
41109
532cos 1cos 2sin 2
-=+-
-=α+α-α
点评 本题考查了两角和的正切公式，倍角的正余弦公式等一些基本三角公式，进而考查了学生灵活运用公式的能力及运算能力.
17．解 设cos α+sin β=t ,则⎪⎩⎪⎨⎧
=β+α=
β+αt
sin cos 21cos sin ①2+②2,得:2+2sin(α+β)=
41+t 2,∴sin(α+β)=8
7
212-t 由sin(α+β)∈［-1,1］得-1≤8
7
212-t ≤1
即215
215≤≤-
t ,从而cos α+sin β的取值范围是⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-215,215.
点评 如果已知sin α+cos β=m ,cos α+sin β=n ,则两边平方出现sin 2
α+cos 2
α=1,sin 2
β
+cos 2
β=1,可以求出sin(α+β)的值，同样已知sin α+sin β=m ,cos α+cos β=n 平方可求出cos(α-β)的值. 18．解 方法1 由已知得(3sin α+2cos α)(2sin α-cos α)=0⇔3sin α+2cos α=0或2sin α-cos α=0.
由已知条件可知cos α≠0，所以α≠2π,即α∈ (2
π
,π).
于是tan α<0,∴tan α=-3
2
. sin(2α+
3π)=sin2αcos 3π+cos2αsin 3π
=sin αcos α+2
3 (cos 2α-sin 2α) =
,tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin 222222222α+α
-⨯+α+α-α+αα-α⨯+α
+ααα 将tan α=-32代入上式得.3265136321321233213232sin 22
2+-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-
=⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α ①
②
方法2 由已知条件可知cos α≠0,则α≠2
π
,所以原式可化为6tan 2α+tan α-2=0. 即(3tan α+2)(2tan-1)=0.
又∵α∈⎪⎭⎫
⎝⎛ππ,2
,∴tan α<0.∴tan α=-3
2. 下同方法1.
19．解 (1)由根与系数的关系，知⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=θθ+=θ+θ2cos sin 213cos sin m 原式=
.2
1
3cos sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin 2222+=θ+θ=θ
-θθ
-θ=θ-θθ+θ-θθ (2)由①式平方，得(sin θ+cos θ)2=232+，即1+2sin θcos θ=2
3
2+． ∴sin θcos θ=43.由②，得2m =43,∴m =2
3
.
(3)当m =
23时，原方程为2x 2-(3+1)x +23=0,解得x 1=2
3
,x 2=21.
∴.23
cos 21
sin 21cos 23sin ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=θ=θ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=θ=θ或又x ∈(0，2π)，∴θ=.63π=θπ或 20．解 tan β=.2
tan 2
tan
2tan 12tan
2tan )2tan 1)(2tan 1()2tan 1(2tan 2tan 12
tan
tan 212222α+γ=∙γ-+γ=
γ+γ-γ+γ=γ-γ=γa a
再分析范围得β=2
α
+γ，故α、β、γ成等差数列.
① ②。