第四章差分方程方法

第四章差分方程方法
第四章差分方程方法
在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。

有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。

这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。

关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。

下面就不同类型的差分方程进行讨论。

所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项()n i x i Λ,2,1,0=关联起来所得到的方程。

4．1常系数线性差分方程
4.1.1 常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程的一般形式为
02211=+?+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1)
其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1Λ=为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。

对应的代数方程
02
211=++++--k k k k a a a Λλ
λλ （4.2）称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。

常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。

下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。

1. 特征根为单根
设差分方程（4.1）有k 个单特征根k λλλλ,,,,321Λ，则差分方程（4.1）的通解为
n
k k n n n c c c x λλλ+++=Λ2211，
其中k c c c ,,,21Λ为任意常数，且当给定初始条件
()
0i i x x = ()k i ,,2,1Λ= (4.3)
时，可以惟一确定一个特解。

2. 特征根为重根
设差分方程（4.1）有l 个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλΛ，重数分别为
l m m m ,,,21Λ且k m l
i i =∑=1
则差分方程（4.1）的通解为
n l i m i li n i m i i n i m i i n n c n c n c x l
λλλ11
2
1
1
21
1
1
121-=-=-=∑∑∑+++=Λ
同样的，由给定的初始条件（4.3）可以唯一确定一个特解。

3. 特征根为复根
设差分方程（4.1）的特征根为一对共轭复根βαλλi ±=21,和相异的2-k 个单根
k λλλ,,43Λ,则差分方程的通解为
n
k k n n n n n c c c n c n c x λλλθρθρ+++++=Λ443321sin cos ,其中22βαρ+=, α
β
θarctan
= . 同样由给定的初始条件（4.3）可以惟一确定一个特解。

另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可以类似地给出差分方程解的形式。

4．1．2 常系数线性非齐次差分方程常系数线性非齐次差分方程的一般形式为
()n f x a x a x a x k n k n n n =++++---Λ2211 (4.4) 其中k 为差分方程的阶数，，()k i a i ,,2,1Λ=为差分方程的系数，()n k a k ≤≠0,)(n f 为已知函数。

在差分方程（4.4）中，令0)(=n f , 所得方程
02211=++++---k n k n n n x a x a x a x Λ (4.5) 称为非齐次差分方程（4.4）对应的齐次差分方程，即与差分方程（4.1）的形式相同。

求解非齐次差分方程通解的一般方法为
首先求对应的齐次差分方程（4.5）的通解*
n x ，然后求非齐次差分方程（4.4）的一个特解()
0n x ，则
()0*
n n n x x x +=
为非齐次差分方程（4.4）的通解。

关于求*
n x 的方法同求差分方程（4.1）的方法相同。

对于求非齐次方程（4.4）的特解
()0n x 的方法，可以用观察法确定，也可以根据)(n f 的特性用待定系数法确定，具体方法可
参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。

4.2 差分方程的平衡点及其稳定性
一般来说，差分方程的求解是困难，实际中往往不需要求出差分方程的一般解，而只需要研究它的平衡点及其稳定性即可。

4.2.1 一阶线性常系数差分方程
一阶线性常系数差分方程的一般形式为
，Λ,2,1,0,1==++k b ax x k k
其中b a ,为常数，它的平衡点由代数方程b ax x =+求解得到，不妨记为*
x . 如果*
lim x x k k =∞
→，则称平衡点*
x 是稳定的，否则是不稳定的。

为了便于研究平衡点*
x 的稳定性问题，一般将其转化为求方程01=++k k ax x 的平衡点
0*=x 的稳定性问题。

事实上，由
01=++k k ax x
可以解得
()0x a x k
k -=，
于是0*
=x 是稳定的平衡点的充要条件是：1
一阶线性常系数齐次差分方程组的一般形式为
()(),,2,1,0,1Λ==++k B k Ax k x
其中()k x 为n 维向量，A 为n n ?阶常数矩阵。

它的平衡点0*
=x 是稳定的充要条件是A 的所有特征根都有),2,1( 1n i i Λ=<λ 。

对于一阶线性常系数非齐次差分方程组
Λ,2,1,0,)()1(==++k B k Ax k x
的情况同样给出。

4.2.3 二阶线性常系数差分方程。