【创新设计】高考数学大二轮总复习：选修4-5专题训练Word版含解析

又 3(abc)23＋ 9(abc)－ 23≥2 27＝ 6 3，③
所以原不等式成立．
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立．
2
2
当且仅当 3(abc)3＝ 9(abc)－3时，③式等号成立．
即当且仅当 a＝ b＝ c＝314时，原式等号成立．
法二 因为 a， b， c 均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥ 2ab， b2＋c2≥ 2bc， c2＋a2≥2ac， 所以 a2＋b2＋ c2≥ab＋bc＋ac.①
＋an)的最小值为 ________． 解析 由柯西不等式 (a2＋b2)(c2＋ d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时“＝ ”成 立，得 (am＋bn)(bm＋an)≥( am· an＋ bm· bn)2＝ mn(a＋ b)2＝2.
答案 2
B 组(供高考题型为解答题的省份使用 )
1．设函数 f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
∴3<x<4； 当 x≥4 时，由 f(x)＝ x＋ 5>2，得 x>－3，∴ x≥4. 故原不等式的解集为
5 x x<－7或x>3 . (2)画出 f(x)的图象如图：
9 ∴f(x)min＝－ 2.
111 2．设 a，b，c 为正实数，求证： a3＋b3＋c3＋ abc≥2 3.
1 1 1 3 111 证明 因为 a，b，c 为正实数，由均值不等式可得 a3＋b3＋c3≥3 a3·b3·c3，即
1a＋
a≥2.所以
f(x)≥2. 1
(2)解 f(3)＝|3＋a|＋ |3－ a|.
当
a＞3 时， f(3)＝a＋1a，由
f(3)＜5 得
3＜ a＜5＋2
21 .
当 0＜a≤3 时， f(3)＝6－a＋1a，由 f(3)＜5 得1＋2 5＜a≤3.
综上， a 的取值范围是
1＋ 2
5，5＋2 21 .
111 1 1 1 同理 a2＋ b2＋c2≥ab＋bc＋ ac，②
故
a2＋ b2＋c2＋
1a＋1b＋
1 c
2≥ab＋bc＋ac＋ 3a1b＋3b1c＋3a1c≥6
3.③
所以原不等式成立，
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当 ＝(ac)2＝3 时，③式等号成立．
a＝b＝c， (ab)2＝ (bc)2
1 14．不等式 x＋ x >|a－5|＋1 对于任一非零实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是
________．
1
1
解析 x＋ x ＝|x|＋|x|≥ 2，所以 |a－5|＋ 1<2，
即|a－5|<1，∴ 4<a<6.
答案 (4,6)
15．(2013 ·陕西卷 )已知 a，b，m，n 均为正数， 且 a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm
11．若不等式 |3x－ b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3，则 b的取值范围是 ________．
解析
b－4 b＋ 4 |3x－b|<4? 3 <x< 3 ?
b－ 4 0≤ 3 <1， 3<b＋3 4≤4
? 5<b<7，即 b 的取值范围为 (5,7)． 答案 (5,7)
12．(2014 ·西安八校联考 )已知关于 x 的不等式 |x－1|＋|x－ a|≤ 8 的解集不是空集， 则 a 的最小值是 ________． 解析 |x－ 1|＋|x－a|＝ |x－ 1|＋|a－x|≥|a－1|，要使关于 x 的不等式不是空集， 则|a－1|≤8，∴－ 7≤a≤9，即 a 的最小值为－ 7.
解析
1a＋
1b＋
1c＝
a＋
b＋c a＋b＋c a＋b＋c a＋ b＋ c
＝3＋ ba＋ab ＋ ca＋ac ＋ cb＋bc ≥3＋ 2＋ 2＋ 2 1
＝9.当且仅当 a＝ b＝ c＝3时等号成立． 答案 9
4．(2014 ·广州模拟 )不等式 |x＋ 1|＋|x－2|≥a 对任意实数 x 恒成立，则 a 的取值范围 是________． 解析 ∵|x＋1|＋|x－ 2|＝ |x＋1|＋|2－x|≥|x＋ 1＋ 2－ x|＝ 3，∴ a≤3.
解析
原不等式可化为
1 x<－2， 1－2x－2x－ 1≤6
或 －12≤x≤12，
或 x>12，
1－ 2x＋2x＋ 1≤ 6
2x－1＋2x＋ 1≤ 6，
3
3
解得－ 2≤ x≤ 2，
即原不等式的解集为 x － 32≤ x≤32 .
3
3
答案 x － 2≤ x≤ 2
9． (2014 ·江西重点盟校二次联考 )若不等式 |x＋1|＋ |x－ 3|≥|m－1|恒成立，则 m 的
离则只计算一次，因此只要找出－ 2 左边到－ 2 的距离等于 5－2 3＝1 的点－ 3，
以及
1 右边到
1 的距离等于
5－ 2
3 ＝
1
的点
2，这样就得到原不等式的解集为
{ x|
－3<x<2} ．
答案 { x|－3<x<2}
3．已知 a， b， c 是正实数，且 a＋ b＋ c＝ 1，则 1a＋ 1b＋ 1c的最小值为 ________．
1 即当且仅当 a＝ b＝ c＝34时，原式等号成立．
x 4．若对任意 x>0， x2＋3x＋1≤a 恒成立，求 a 的取值范围．
x
1
1
1
解
∵
a≥
x2＋
3x＋
1＝
x＋
1x＋
对任意 3
x>0 恒成立，设
u＝x＋x＋3，∴只需
a≥ u
恒成立即可．
∵x>0，∴ u≥ 5(当且仅当 x＝1 时取等号 )．
由
A 组(供高考题型为填空题的省份使用 ) 1．不等式 x＋|2x－ 1|<3 的解集为 ________．
解析 原不等式可化为
2x－1≥0，
2x－1<0，
或
x＋ 2x－1 <3 x－ 2x－ 1 <3.
解得 12≤x<43或－ 2<x<12.
4 所以原不等式的解集是 x －2<x<3 .
4 答案 x － 2<x<3
答案 (－∞， 3]
5．使关于 x 的不等式 |x＋1|＋k<x 有解的实数 k 的取值范围是 ________． 解析 |x＋ 1|＋k<x? k<x－|x＋ 1|，
2x＋1，x<－1， 又 x－|x＋1|＝
－ 1， x≥－ 1，
∴x－|x＋1|的最大值为－ 1.∴k<－ 1.
答案 (－∞，－ 1)
111 3 a3＋b3＋ c3≥abc.
111
3
所以 a3＋ b3＋c3＋abc≥ abc＋abc.
3
3
而abc＋abc≥2 abc·abc＝2 3，
111 所以 a3＋ b3＋c3＋abc≥ 2 3.
3．已知
a， b， c 均为正数，证明：
a2＋ b2 ＋ c2＋
111 a＋ b＋ c
2≥6
3，并确定 a，b，
7．若关于 x 的不等式 |a|≥|x＋ 1|＋ |x－ 2|存在实数解，则实数 a 的取值范围是 ________． 解析 令 t＝|x＋1|＋|x－ 2|，得 t 的最小值为 3，即有 |a|≥ 3，解得 a≥3 或 a≤－ 3. 答案 (－∞，－ 3]∪ [3，＋∞ )
8．在实数范围内，不等式 |2x－ 1|＋|2x＋ 1|≤6 的解集为 ________．
(1)解不等式 f(x)>2；
(2)求函数 y＝f(x)的最小值．
－x－5，x<－12， 解 (1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝ 3x－3，－ 12≤x<4，
x＋ 5， x≥4.
1 当 x<－2时，由 f(x)＝－ x－5>2 得 x<－7， ∴x<－ 7；
当－ 12≤x<4 时，由 f(x)＝3x－ 3>2 得 x>53， 5
6． (2014 ·湖南六校联考 )如果关于 x 的不等式 |x－3|＋ |x－ 4|≥a 的解集是全体实数， 则 a 的取值范围是 ______．
解析 令 f(x)＝ |x－ 3|＋|x－4|， 则|x－3|＋|x－ 4|≥ |x－3＋4－x|＝1，
则 f(x)min＝1，故 a≤1. 答案 (－∞， 1]
c 为何值时，等号成立． 证明 法一 因为 a、 b、c 均为正数，由平均值不等式得
a2＋b2＋ c2≥3(abc)23，①
1a＋ 1b＋ 1c≥ 3(abc)－13，②
所以
1a＋
1b＋
1 c
2≥ 9(abc)－23.
故
a2＋ b2＋c2＋
111 a＋b＋c
2
≥
3(abc)23＋
9(abc)
－
2 3.
x 到点 1、2 的距
离之和大于等于 2.
∴x≥52或
x≤
1 2.
1
5
∴不等式的解集为 x|x≤2或x≥2 .
注：也可用零点分段法求解．
(2)∵ |ax－2|＋ |ax－a|≥ |a－2|， ∴原不等式的解集为 R 等价于 |a－2|≥2，
∴a≥4 或 a≤ 0.又 a>0，∴ a≥4. ∴实数 a 的取值范围是 [4，＋∞ )．
答案 －7
13．已知 a∈R，若关于
x 的方程 x2＋x＋
1 a－ 4
＋|a|＝0 有实根，则
a 的取值范围
是________．
解析
∵二次方程
x2＋x＋
1 a－ 4
＋ |a|＝ 0 有实根，则由
Δ＝1－4
1 a－4 ＋ |a|
≥0 得
1 a－4
＋ |a|≤14，由绝对值的几何意义知
0≤a≤14.
1 答案 0，4
取值范围为 ________． 解析 ∵|x＋1|＋|x－ 3|≥ |(x＋1)－ (x－3)|＝ 4， ∴不等式 |x＋1|＋|x－ 3|≥ |m－1|恒成立， 只需 |m－1|≤4，即－ 3≤ m≤5. 答案 [－3,5] 10． (2014 ·临沂模拟 ) 对任意 x∈ R， |2－ x|＋ |3＋ x|≥a2－ 4a 恒成立，则 a 满足 ________． 解析 ∵|2－x|＋|3＋ x|≥ 5， ∴要使 |2－x|＋|3＋x|≥a2－4a 恒成立， 即 5≥a2－ 4a，解得－ 1≤a≤5. 答案 [－1,5]
u≥5，知
0<1u≤15，∴
a≥
1 5.
5． (2014 ·新课标全国卷Ⅱ )设函数 f(x)＝|x＋ 1a|＋ |x－ a|(a＞0)．
(1)证明： f(x)≥2；
(2)若 f(3)＜5，求 a 的取值范围．
(1)证明
由 a＞ 0，有
f(x)
＝
|x
＋
1 a|＋
|x－
a|≥

|x＋
1a－
(x－
a)|＝
6． (2014 ·沈阳模拟 )已知关于 x 的不等式 |ax－2|＋ |ax－a|≥ 2(a>0)．
(1)当 a＝1 时，求此不等式的解集； (2)若此不等式的解集为 R，求实数 a 的取值范围． 解 (1)当 a＝ 1 时，不等式为 |x－2|＋ |x－1|≥2， 由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点
2．不等式 |x－1|＋ |x＋2|<5 的解集为 ________． 解析 法一 当 x<－2 时原不等式即 1－x－2－x<5， 解得－ 3<x<－ 2；
当－ 2≤x≤1 时，原不等式即 1－ x＋ 2＋x<5， 因为 3<5 恒成立，则－ 2≤x≤ 1； 当 x>1 时，原不等式即 x－1＋2＋x<5，解得 1<x<2. 综上，原不等式的解集为 { x|－3<x<2} ． 法二 不等式 |x－ 1|＋|x＋2|<5 的几何意义为数轴上到－ 2,1 两个点的距离之和 小于 5 的点组成的集合，而－ 2，1 两个端点之间的距离为 3，由于分布在－ 2,1 以外的点到－ 2，1 的距离在－ 2,1 外部的距离要计算两次， 而在－ 2,1 内部的距