第五讲特征值与特征向量

i
i i i
矩阵 特征值
A lA
A
k
f A ai Ai A 1 A f ai
P 1 AP

l

k
1
A
特征向量







P 1
4、特征值的重要性质 设 A aij 的 n 个特征值为 1, 2 , , n ，则
第五讲 特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量和相似标准形的 理论是矩阵理论的重要组成部分，它们不只在 数学的各分支，如微分方程、差分方程等中有 重要应用，而且在其他科学技术领域也有广泛 的应用，如工程技术中的振动问题和稳定性问 题等。本章将介绍特征值与特征向量、相似矩 阵、实向量的内积与正交矩阵等概念，讨论方 阵相似于对角矩阵的问题．
3、可对角化矩阵的概念 如果数域F 上 n 阶矩阵A可相似于对角矩阵，则称A 可对角化。 4、可对角化矩阵的条件 （1）（充分必要条件）A有 n 个线性无关的特征向量； （2）（充分条件）A有 n 个互异的特征值； （3）（充分必要条件）A的所有重特征值对应的线 性无关特征向量的个数等于其重数； （4）（充分条件）A是实对称矩阵。 5、方阵可对角化矩阵的判定与计算 对于 n 阶方阵A，判断A可否对角化，并在可对角化 的情形下求出相似变换矩阵和相应的对角矩阵的基本步 骤如下： 第一步 求A的全部特征值。若A有 n 个互异的特征 值，则A可对角化。
对应不同特征值的 特征向量线性无关
A可逆 A的特征值全部非零
对应于不同特征值 的特征向量正交
重点、难点解读
首先要理解特征值和特征向量的定义以及特征向 量与相似对角化问题之间的关系。理解两个矩阵相似 的定义和必要条件。 对于方阵的对角化问题，应掌握以下几个基本结 论：⑴ n 阶方阵A可以相似对角化的充分必要条件是A 有 n 个线性无关的特征向量；⑵ 方阵未必总是可以对 角化的，但实对称矩阵一定可以相似对角化，而且可 以正交相似对角化。 熟练地掌握特征值及特征向量的求法以及求一个正 交矩阵把一个具体的实对称矩阵相似对角化的一般步骤。
例1 设有4阶方阵A满足条件 2 E A 0, AAT 2 E, A 0, A 其中E 为4阶单位矩阵，求A的伴随矩阵 的一个特征值。
此，本题的关键在于计算 A 以及A的一个特征值，而这 由已知条件均很容易得到。
分析
A的特征值为
A
，其中 是A的特征值。因
解
由 2 E A 2 E A 0 ，得A的一个特征值
从而
0 0 9 B 2 E 2 7 4 , 2 2 5 9 0 0 2 E B 2E 2 7 4 9 3 2 2 5
故 B 2 E 的特征值为9，9，3. 当 1 2 9 时，对应的线性无关特征向量可取为
第二步 对每一个特征值 i ，解方程组 i E A x o 得对应 i 的线性无关特征向量（即齐次线性方程组的基 础解系） i1,i 2 , ,isi i 1,2, , t 若某个 si ri ，即对应 i 的线性无关特征向量的个数小 于 i的重数，则A不可对角化；若 si ri i 1, 2, , t ， 则A可对角化。 第三步 当A可对角化时，令
nn
1 2
n a11 a22
ann , 12
t A
例1
3 2 2 0 1 0 1 A 2 3 2 , P 1 0 1 , B P A P, 设矩阵 2 2 3 0 0 1
故 B 2 E 的特征值为9，9，3. 所以对应于特征值9的全部特征向量为 k1P11 k2 P12 （ k1 , k2 是不全为零的任意常数） 对应于特征值3的全部特征向量为 k3 P13 （ k3 是不全为零的任意常数） 二、求抽象矩阵的特征值与特征向量 对于元素没有具体给出的抽象矩阵，要根据题设条 o 件，利用特征值与特征向量的定义，即满足 A ， 的 和 为A的特征值和相应的特征向量；或利用特征 即为A的特征值；或 E A 0 ，满足特征方程的 方程 利用特征值的有关性质和结论推导出特征值的取值。
A AT A 16
2
2. 又由条件，有
AAT 2 E 24 E 16, 即
由于 A 0 ，所以 A 4 ，故 A 的一个特征值为2 2.
的 n 个特征值至少有 n 1 个为零，且另一个非零特征值 （如果存在）等于 A11 A22 Ann .
一、求具体矩阵的特征值与特征向量 1、矩阵的特征值与特征向量 设A是数域F 上的一个 n 阶方阵，如果存在数 和数 域F上的 n 维非零向量 ，使得 A 则称 为A的特征值， 为A的对应特征值的特征向量， 称 E A 为A的特征矩阵；称 E A 为A的特征多项式； E A 称 为 A0 的特征方程。 2、求具体矩阵的特征值与特征向量的步骤 第一步 由特征方程 E A 0 求得A的 n 个特征值， 设 1, 2 , , t 是A的互异特征值，其重数分别为 r1, r2 , , rt ， 则 r1 r2 rt n. 第二步 求解齐次线性方程组 i E A O i 1,2, , t ， 其基础解系
BP P A PP
1 1 1
P ,
1
A
A
则 A A1 A

,
则
A
A 1 B 2E P 2 P
1
因此， 2为 B 2 E 的特征值，对应的特征向量为 P 1.
1 1,1, 0 ,2 2, 0,1
T T
所以对应于特征值9的全部特征向量为 k11 k22 （ k1 , k2 是不全为零的任意常数） T 0,1, 0 , 当 3 3 时，对应的特征向量可取为 3 所以对应于特征值3的全部特征向量为 k33 （ k3 是不全为零的任意常数） 法2 设A的特征值为 ，对应的特征向量为 ， 即 A . 由于 A 7 0, 所以 0. 又因为 A A A1, A A 故有 A . 于是有 若A可逆，则 0 1 1
i1,i 2 , ,is 1 si ri , i 1,2, , t 就是A对应特征值 i 的线性无关特征向量，而A对应特 征值 i 的全部特征向量为 ki1i1 ki 2i 2 kis is ki1 , ki 2 , , kis 不全为零 3、矩阵运算的特征值与特征向量
A 5I B 288 72 4 A
2
（2）另解 因A的特征值为1，-1，2，故 I A 1 1 2
A 5I 1 5I A 1 5 1 5 1 5 2 72
3 3
三、方阵可对角化的判定、计算及应用 1、相似矩阵的概念 设A,B 为数域F 上的两个 n 阶矩阵，如果存在数域 1 F 上 n 阶可逆矩阵X，使得 B X AX ，则称A相似于 B，记为A～B；并称由A到B 的变换称为相似变换，称 矩阵X 为相似变换矩阵。 2、相似矩阵的性质 设 n 阶矩阵A与B 相似，则 （1）r A r B ; （2）det A det B; （ 3） E A E B ; T T k k 1 B1（如果可逆）； （ 4） A B , A B , A （5）若 f x 是数域F上任一多项式，则 f x f B ; （6）方阵的相似关系是等价关系。
T
1 1,1, 0 ,2 1, 0,1
T
T
0 1 1 由 P 1 1 0 0 0 0 1
1 1 0 得 P 11 1 , P 12 1 , P 13 1 0 1 1
A n 例2 证明：若A为 阶降秩矩阵，则A的伴随矩阵
证 由题设知 A 0. A r A n 2 A O （1）当 时， ，所以 的特征值为0， 0，…，0，结论成立。 A r A 1 r A n 1 （2）当 时， ，这时 有 n 1 个特 征值为0，设 A 的特征值为 1, 2 , , n ，且 2 n 0. 则 1 1 2 n tr A A11 A22 Ann . 例3 设A是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵， T 1 已知 是属于A的特征值 的特征向量，则矩阵 P AP 属于特征值 的特征向量是 因为 P 1 AP PT PP 1 AP AP T PT AT PT A PT 所以，选B 。
知识脉络图解
E A E P 1 AP
A
o
求特征值 求特征向量 方阵的相似 对角化 计算 Ak 化二次型为 标准型
定义
计算
应用
特 征 值 和 特 征 向 量
tr A, A
i i
性 质
E A E AT
A f A f
3
2 2 2
由于
E A 2
3
2
2 1 7 3
2
故A的特征值为 1 2 1, 3 7. 。 当 1 2 1 时，对应的线性无关特征向量可取为
当 3
7 时，对应的特征向量可取为 3 1,1,1 .
求 B 2 E 的特征值与特征向量。 解 法1 经计算可得
0 0 5 2 2 0 1 1 7 A 2 5 2 , P 1 1 0 0 , B P 1 A P 2 5 4 2 2 5 0 0 1 2 2 3
T T
A P
1
B P
T
C P
D P
1 T


B A3 5 A2 .
例4
已知3阶矩阵A的特征值为1，-1，2.设矩阵
（1）求矩阵B 的特征值。 （2）计算行列式 B 及 A 5I . 解 （1）由 A ，知 Ak k ，故
B A3 5 A2 A3 5 A2 3 5 2
因而 3 5 2为B 的特征值，将A的特征值代入 3 5 2中， 得到B 的所有特征值-4，-6，-12. （2）因 A diag 1, 1,2 , B diag 4, 6, 12 所以 A 1 1 2 2, B 4 6 12 288 由 B A3 5A2 A2 A 5I ，得