Cantor集与Cantor函数

Cantor 集与Cantor 函数
[摘要]：本文详细分析并证明cantor 集与cantor 函数的定义与性质，具体容有：cantor 集的完备性，具有连续统势；cantor 函数的性质，解决了课堂上的小问题（关于cantor 函数的连续性与稠密性）；并借助于cantor 集，给出一个孤立点集，它的导集是一个完备集；最后给出了一些常见的分形。

[关键词]：Cantor 集、Cantor 函数、分形、点集、完备集
1Cantor 集与Cantor 函数的定义
1.1 Cantor 集的定义
将基本区间A=[0，1]三等分，除去中间的开区间)3
2
31(11，，=I ,记其剩余
部分为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,323101 ，E ；再将1E 中的两个闭区间各三等分，然后分别去掉
中间的开区间)3
837()3231(
222,2221,2，，，==I I ,然后记其剩余部分为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1383732313231022222，，，， E 。

如此继续下去，在第n 步时，去掉
的开区间为)3
1
3323()3837()3231(12,2,1,n n n n n n n n n n n n I I I --===-，，，
，，， 。

其余部分为n
2个长为n 31的闭区间，令 n m k k m n m
I G 11
21
,=-==又令 k n k n n n I G G ,,1==∞=，
G C \]10[，=，则称所得的C 为Cantor 集。

1.2 Cantor 函数的定义
将基本区间A=[0，1]三等分，并除去中间的开区间
,同时令
把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间
)3837()3231(222,2221,2，，，==I I
同时令
然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。

这样，当进行到n次
时，一共去掉了个开区间此时令
下面我们定义如下函数：
f=
这个函数f(x)就是Cantor函数。

2Cantor集与Cantor函数的基本性质
2.1 Cantor集的性质
2.1.1 完备性
Cantor集是完备集：
引理：F G，则F是完备集的充分必要条件是是至多可数个两两不相交且无公共端点的开区间的并，即
两两不相交且无公共端点。

证明：Cantor集C明显满足上述条件
G=[0,1]\C
故：
R-C=G
而：
G=(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪( ,)∪......
为两两不相交且没有公共端点的开区间的并。

故C为完备集
2.1.2 Cantor集是疏集，没有点
证明：
假设是C的点，
则存在，使得
这样含于[0,1]中且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。

由C是疏集。

2.1.3 G=[0,1]\C是[0,1]中的稠密集
即证明
证明：易得,下面证明
反证法，任取x且x，则存在x的一个邻域，其中不含有G 的点。

可得这个领域在C。

又，故x C，所以x是C中的点。

与C 是疏集矛盾。

所以。

故，G是[0,1]中的稠密集，证
毕。

2.1.4 C具有连续统势
由上述性质，似乎Cantor完备集中没有多少点了！但事实上不然，下面证明其有连续统势。

证明：由定理可得，(0,1)与无限n元数列全体等价。

所以，(0,1)中每一点x，有惟一的一个无限三元数列，使
(1)
现在对中所有的点x必定，对与
中所有的点x必定，中所有的点x必定
，等等。

即对G中所有的点x，(1)中所有对应的中必有等于1的项。

因此(1)中仅由0和2构成的无限三元数列所对应的x都在C 中。

而这样的全体有连续统势。

证毕.
2.2 Cantor函数的性质（关于课堂小问题：Cantor函数的连续性和稠密性）
2.2.1 Cantor函数是[0,1]上的单增函数
由其构造方法易得这个性质，在这里就不证明了
2.2.2 Cantor函数是[0,1]上的连续函数
引理：f是[a，b]单增实值函数，f([a，b])是区间[f(a),f(b)]的稠子
集，则f连续
证明引理：首先证明f在x=a连续。

由假设知对于任意的，存在
y，使得
利用f的单调性知道：当a x y时
这样f在x=a连续，同理可证明f在x=b连续。

现在取我们只要证明：
明显：,假如二者不相等，则有
这样我们可以取数和，使得
这个,但是对于任意的x
这和f([a,b])在[f(a),f(b)]中稠密矛盾。

同理可证明。

证明Cantor函数是[0,1]上的连续函数：
因为：
对任意的x,的一个自然数n.
不妨设,
则。

故：
在[0,1]中稠密，因此f([0,1])是[0,1]的稠密子集。

得用上述引理，f是[0,1]是的连续函数。

3借助于Cantor集，给出一孤立点集，其导集是完备集
Cantor集C的余集的构成区间的中点集合是孤立点集并且它的的导集是完备集。

证明：设G=[0,1]\C，则：
G=(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪( ,)∪......
设F是G的构成区间的中点组成的集合，对任意的x F，x是G中某个开区间E的中点，故必然存在中，而G是两两不相交的开区间的并，故区间中不会含有除x外的F中的点，由x的任意性，F是孤立点集。

下面证明
对任意的x，x的任邻域中有F的无限个点,所以；反过来，我们记：
记为构造Cantor集的过程中第二次去掉开区间后剩下的[0,1]区间中的部分，也就是说：
一般地，记为构造Cantor集的过程中第n次去掉开区间后剩下的[0,1]区间中的部分，
则表示的各个闭区间去掉中间1/3长度的开区间后剩下的部分，不难发现：
假如，则对于任意的，以与满足的一个自然数n，
由于，x一定属于组成的某个闭区间，注意到包含了G的无限多个构成区间，所以中有F的无限个点。

于是x，这样就证明了
4从Cantor集到分形
4.1 分形简介
分形Fractal，来自拉丁文Fractals，意思是含有断裂和碎片。

它的创始人是美籍数学家曼德尔伯罗特。

他在1967年发表了题为《英国的海岸线有多长？》的著名论文。

海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的，呈现蜿蜒复杂的变化。

我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么
本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体态的相似。

目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。

粗略地说：
1.分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称；
2.分形是整体与局部在某种意义下的对称性的集合；
3.分形是具有某种意义下的自相似集合;
4.分形是其豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。

分形可以是自然存在的，也可以是人造的。

树木、山川、云朵、闪电、星系、大脑皮层……都是典型的分形
标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如Koch雪花曲线、尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。

4.2 分形的基本性质
总的说来分形一般有以下特质：
在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则，以至难以用传统欧氏几何的语言描述；（至少是大略的或任意的）自相似；有着简单的递归定义。

（1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。

（2）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。

（3）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。

（4）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。

（5）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。

4.3 一些常见分形
4.3.1 Koch 曲线
给定线段，科赫曲线可以由以下步骤生成：
1．将线段分成三等分。

2.以中间为底，向外或向画出一个等边三角形。

3.将底边移去。

分别对每边重复步骤1-3.。

该曲线是第一个人为构造的具有局部与整体相似的结构，被称为自相似结构。

4.3.2 门格尔海绵
门格尔海绵由以下步骤生成：
从一个正方体开始。

把正方体的每一个面分成9个全等正方形。

这样，原正方体将会被分成27个小正方体。

把每一面的中间的正方体去掉，中间的正方体也去掉，这样留下20个小正方体。

把每一个留下的小正方体都重复第1-3个步骤。

4.3.3 塞宾斯基三角
塞宾斯基三角有以下步骤生成：
1.取一个实心的三角形。

（多数使用等边三角形）
2.沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形。

3.去掉中间的那一个小三角形。

4.对其余三个小三角形重复1-3。

4.3.4 塞宾斯基地毯。

生成方法：将一个实心正方形划分为9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到尔宾斯基地毯。

4.3.5 此外还有其他的分形，比如：三位氏塔、洛伦次曲线、四方生树、曼德勃罗集等。

[参考文献]
[1]胡国恩、王鑫、宏奎，实变函数，电子科技大学，2014.8
[2]周性伟、，实变函数（第三版），科学，2014.5
[3]周民强,实变函数论[M] ,大学,2001
[4]百度文库。