高二数学 第10课时 指数与指数函数学案

第10课时 指数与指数函数
【学习目标】
1、熟悉指数式的概念；理解分数指数幂；
2、理解指数函数的概念，理解指数函数的图象和性质；
3、能够熟练地解决与指数函数有关的问题。

【学习重点】
指数函数的性质及其应用 【预习内容】 1．根式的性质 (1)(n
a )n
＝a .
(2)当n 为奇数时n
a n
＝a ； 当n 为偶数时n
a
n
＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a a ≥0，
－a a <0.
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：a m n
＝n
a m (a >0，m ，n ∈N *
，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n
＝
1
a m n
＝
1
n
a m
(a >0，m ，n ∈N *
，且n >1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s
＝a
r ＋s
(a >0，r ，s ∈Q )；
②(a r )s ＝a rs
(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r
＝a r b r
(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质
y ＝a x
a >1
0<a <1
图像
定义域 R 值域
(0，＋∞) 性质
过定点(0,1)
当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
2．指数函数y ＝a x
(a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. 【基础练习】
1．化简[(－2)6]12
－(－1)0
的结果为________．
答案：7
2．若函数y ＝(a 2
－1)x
在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值X 围是________．
解析：由题意知0<a 2
－1<1，即1<a 2
<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2) 3．函数y ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的定义域为________． 答案：[0，＋∞)
4．若函数f(x)＝a x
－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.
解析：当a>1时，f(x)＝a x
－1在[0,2]上为增函数， 则a 2
－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a>1，∴a ＝ 3. 当0<a<1时，f(x)＝a x
－1在[0,2]上为减函数
又∵f(0)＝0≠2，∴0<a<1不成立． 综上可知，a ＝ 3. 答案： 3
5、设5
.1348
.029
.0121,8
,4
-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛===y y y ，则123,,y y y 的大小关系是。

答案：231y y y >> 【典型示例】
考点一
指数幂的化简与求值
例1、求值与化简：
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－1
2
－(0.01)； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12； (3)a 23·b －1
－12·a－12·b 136a·b
5
解：(1)原式＝1＋14×12
49⎛⎫ ⎪⎝⎭－12
1100⎛⎫
⎪⎝⎭＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52
a 1
6－b －3÷(4a 2
3·b －3
)1
2
＝－54a 1
6－b －3÷(a 13
b 3
2－
)
＝－5
4
a －1
2－·b 2
3－.
＝－54·1ab
3
＝－5ab 4ab 2.
(3)原式＝11113
3
2
2
156
6
·a b a b
a b
--
＝a －
111
326
---·b
115236
-＋.
考点二
指数函数的图像及应用
例2、比较下列各组数的大小：
(1)4，8，-1.5
12⎛⎫
⎪
⎝⎭
；
与.
解析：（1）
1.5
0.9 1.80.48
1.44
1.514=2,8
2
,22-⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，又函数2x y =在R 上单调递增，
所以 1.8
1.5 1.442
22>>，即 1.5
0.9
0.481482-⎛⎫>> ⎪⎝⎭。

（2）
0.50.50.50.40.80.9,0.90.9<<而，故0.50.40.80.9<。

例3、
(1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x
的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x
的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________．
(2)已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13b
，下列五个关系式：
①0<b<a ；②a<b<0；③0<a<b ；④b<a<0；⑤a ＝b.
其中不可能成立的关系式有________个
[解析] (1)设A(x 0,3x 0)，由AC 平行于y 轴，则C(x 0,9x 0)．又因为BC 平行于x 轴，则B(2x 0,9x 0)．因为O ，A ，B 三点共线，所以x 0·9x 0＝2x 0·3x 0，得3x 0＝2，所以x 0＝log 32.
(2)函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
的图像如图所示．
由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13b
得，a<b<0或0<b<a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立． [答案] (1)log 32 (2)2 指数函数图像的画法及应用
(1)画指数函数y ＝a x
(a>0，a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .
(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解． [针对训练]
1．(2013·某某摸底)已知直线y ＝a 与函数f(x)＝2x
及g(x)＝3·2x
的图像分别相交于A ，B 两点，则A ，B 两点之间的距离为________．
解析：由题意知A ，B 两点之间的距离与a 无关，即为定值．不妨设a ＝3，则由3·2x
＝3知x B x
＝3知x A ＝log 23，故AB ＝x A －x B ＝log 23.
答案：log 23
2．方程2x ＝2－x 的解的个数是________．
解析：方程的解可看作函数y ＝2x
和y ＝2－x 的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．
由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解． 答案：1
考点三
指数函数的性质及应用
例4、函数222
x x
y -=的递减区间为；最小值是 。

答案：(),1-∞；min 12
y =。

变式1：若函数()2213x x
f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则它的值域为；
答案：(]0,3y ∈
变式2：已知：02x ≤≤，求函数()12
4325x x f x -
=-⋅+的最大值。

答案：
52。

例5、 函数)10(122≠>-+=a a a a
y x x
且在区间[1,1]-上的最大值是14，某某数a 值。

[分析]通过换元，转化为二次函数在闭区间上最值问题。

[解析]令t
a t =，则2)1(122
2
-+=-+=t t t y
当a ＞1时 ， ∵1,1[-∈x ] ∴],1[a a
t ∈ ∵a a
<<
-1
1∴a t =时，2)1(2-+=t y 取最大值１４， 即142)1(2
=-+a ， ∴53-==a a 或（舍去） 当10<<a 时， ∵1,1[-∈x ] ∴]1,[a
a t ∈
∵a a <<-11∴a t 1
=时，2)1(2-+=t y 取最大值１４， 即142)11(2
=-+a ，∴5
131-==a a 或（舍去）
综上：3
1
3==a a 或
[针对训练]
已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13ax 2
－4x ＋3.
(1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a 的值． (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a 的值．
解：(1)当a ＝－1时，f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－x 2
－4x ＋3，
令g(x)＝－x 2
－4x ＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13t
在R 上
单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，
单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax 2
－4x ＋3，f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪
⎧
a>0，3a －4
a ＝－1，
解得a ＝1，
即当f(x)有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，
要使y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13g(x)
的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax 2
－4x ＋3的值域为R ，
因此只能a ＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)． 故a 的值为0. [课堂训练]
1．已知f (x )＝2x ＋2－x
，若f (a )＝3，则f (2a )等于________．
解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a
＝3， 两边平方得22a
＋2－2a ＋2＝9，
即22a
＋2
－2a
＝7，故f (2a )＝7.
答案：7 2．已知f (x )＝3
x －b
(2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域是________．
解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3
x －2
在[2,4]上是增函数，f min (x )＝f (2)
＝1，f max (x )＝f (4)＝9.
答案：[1,9] 3．函数y ＝8－2
3－x
(x ≥0)的值域是________．
答案：[0，＋∞)
4．已知正数a 满足a 2
－2a －3＝0，函数f(x)＝a x
，若实数m ，n 满足f(m)>f(n)，则m ，n 的大小关系为________．
答案：m>n
5．函数f (x )＝a x
(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a
2
，则a 的值为________．
解析：当a >1时，f (x )＝a x
为增函数，在x ∈[1,2]上，
f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .
∴a 2
－a ＝a
2.即a (2a －3)＝0.
∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝3
2.
当0<a <1时，f (x )＝a x
为减函数，
在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2
. ∴a －a 2
＝a
2.∴a (2a －1)＝0，
∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝1
2.
综上可知，a ＝12或a ＝3
2.
答案：12或3
2。