福建省三明市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

福建省三明市2021届新高考数学考前模拟卷（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC V 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒u u u r u u u r ，则||=uuu r
AD （ ）
A
B ．
12
C ．
34
D
【答案】A 【解析】 【分析】
由D 为BC 边上的中点，表示出()
12
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，然后用向量模的计算公式求模. 【详解】
解：D 为BC 边上的中点，
()
12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，
()
12=
2
AD AB AC =+===u u u r u u u r u u u r
故选：A 【点睛】
在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.
2．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令
1
2
12
1ln 2,,log 24a b c -
⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）
A ．()()()f a f b f c <<
B ．()()()f a f c f b <<
C ．()()()f b f a f c <<
D ．()()()f c f a f b <<
【答案】C 【解析】 【分析】
可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可
设1x ，[]
20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】
解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又1
2
124b -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
12
log 21c ==-
设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈； 若1x ，[]
20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+；
()f x Q 在[]1,2上是减函数；
12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；
12()()f x f x ∴<；
()f x ∴在[]0,1上是增函数；
所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=
∴()()()f b f a f c <<
故选：C 【点睛】
考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.
3．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在
过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）
A ．22
122x y -=
B ．2
2
13
y x -=
C ．2
213
x y -=
D ．22
144
x y -=
【答案】A 【解析】 【分析】
点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将
点代入双曲线计算得到答案. 【详解】
不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，
APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值，
因为2tan a APF m +∠=
，2tan a
BPF m
-∠=， 所以(
)2222tan tan 221a a
a a m m APB APF BPF a a
b b m m m m +--
∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2
b m m
=()0m >，即当m b =时，等号成立，
此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，
点P 的坐标为()2,b ，代入22
221x y a b
-=
可得a =
b ==
所以双曲线的方程为22
122
x y -=．
故选：A 【点睛】
本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4．若1(1)z a i =+-（a R ∈）
，||z =a =（ ）
A ．0或2
B ．0
C ．1或2
D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【详解】
由于1(1)z a i =+-（a R ∈）
，||z =
=0a =或2a =.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.
5．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说
法错误的是（）
A．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加
B．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍
C．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍
D．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一
【答案】C
【解析】
【分析】
通过图表所给数据，逐个选项验证.
【详解】
根据图示数据可知选项A正确；对于选项B：1935.5238715720.9
⨯=<，正确；对于选项C：
16635.3 1.523595.8
⨯>，故C不正确；对于选项D：
1
23595.878655720.9
3
⨯≈>，正确.选C.
【点睛】
本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.
6．()6
3
2 1
x x
x ⎫
-⎪
⎭
的展开式中的常数项为( )
A．－60 B．240 C．－80 D．180 【答案】D
【解析】
【分析】
求()6
3
2 1
x x
x ⎫
-⎪
⎭的展开式中的常数项，可转化为求
6
2
x
x
⎫
⎪
⎭
展开式中的常数项和
3
1
x
项，再求和即
可得出答案. 【详解】
由题意，
6
2
x
x
⎫
⎪
⎭
中常数项为
2
4
2
6
2
60
C x
x
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
，
6
2
x ⎫⎪⎭中31x 项为4
2
46
321240C x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
所以()6
3
21x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：
3x ⨯31
240
160180x
-⨯=. 故选：D 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题. 7．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ） A ．{0,1,2} B ．{1,1,2}-
C ．{1,0,2}-
D ．{1,0,1}-
【答案】B 【解析】 【分析】
先化简集合A,再求U C A . 【详解】
由21x < 得： 11x -<< ，所以{}0A = ，因此{}1
,1,2U A =-ð ，故答案为B 【点睛】
本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.
8．已知非零向量a v ，b v 满足||a b v v |=|，则“22a b a b +=-v v
v v ”是“a b ⊥v v ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件解:
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系||02|2|a b a b a a b b +=-⇔⋅⇔=⊥r r r r r r r r
，可得选项.
【详解】
222222
||||22224444a b a b a b a b a a b b a a b b -⇔⇔++-+⋅+-⋅+r r r r r r r r r r r r r r r r ===，
||||0a b =≠r r Q ，∴等价于0a b a b ⋅=⇔⊥r r r r ，
故选：C. 【点睛】
本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.
9．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫
=+<
⎪⎝
⎭
：的一条对称轴方程为3
x π
=
，曲线C 向左平移(0)θθ>个单
位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则θ的最小值是（ ） A ．6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
12
π
【答案】C 【解析】 【分析】
cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos(
)13πϕ+=±，结合||2
ϕπ<，可得3π
ϕ=，易得曲线E 的解
析式为cos 223y x πθ⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，结合其对称中心为04π⎛⎫
⋅
⎪⎝⎭
可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值. 【详解】 ∵直线3
x π
=
是曲线C 的一条对称轴.
2()3
k k π
ϕπ∴⨯
+=∈Z ，又||2
ϕπ
<
. 3
π
ϕ∴=
.
∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
. 曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅
⎪⎝⎭
. 22()4
3
2
k k Z π
π
π
θπ∴⨯
++
=+
∈.
()26
k k Z ππ
θ=
-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3
π. 故选：C. 【点睛】
本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.
10．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记
为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的
n 等于（ ）．
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
【答案】C 【解析】
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C. 11．下列说法正确的是（ ）
A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”
B ．在AB
C V 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件 C ．“若tan 1α≠，则4
π
α≠
”是真命题
D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立 【答案】C 【解析】 【分析】
A ：否命题既否条件又否结论，故A 错.
B ：由正弦定理和边角关系可判断B 错.
C ：可判断其逆否命题的真假，C 正确.
D ：根据幂函数的性质判断D 错. 【详解】
解：A ：“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a ≤，则21a ≤”，故 A 错.
B ：在AB
C V 中，2sin 2sin A B a b R A R B >⇔>⇔>，故“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要充分条件，故B 错. C ：“若tan 1α≠，则4
π
α≠
”⇔“若=
4
π
α，则tan =1α”，故C 正确. D ：由幂函数(0)n y x n =<在()0+∞，
递减，故D 错. 故选：C 【点睛】
考查判断命题的真假，是基础题.
12．已知集合{
}
2
{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =I （ ） A ．{2} B ．{1,0,1}-
C ．{2,2}-
D ．{1,0,1,2}-
【答案】A 【解析】 【分析】
化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解. 【详解】
集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ，
{|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =I .
故选:A. 【点睛】
本题考查集合间的运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22
:(1)1C x y +-=，圆22:(6C x y '++=．直线:3l y kx =+与
圆C 相切，且与圆C '相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为_________
【解析】 【分析】
利用直线与圆相切求出斜率k ，得到直线的方程，几何法求出||AB 【详解】
解：直线:3l y kx =+与圆C 相切，C 圆心为(0,1)
1=，得k =
当3y =+时，C '到直线的距离9
2
d =
>，不成立，
当3y =+时，l 与圆C '相交于A ，B 两点，C '到直线的距离3
2d ==
，||AB ==
【点睛】
考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题．
14．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两
点，若290ABF ∠=︒，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为__________.
【解析】 【分析】
设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+，根据勾股定理得出3x d =，而由椭圆的定义得出2ABF V 的周长为4a ，有3a d =，便可求出a 和c 的关系，即可求得椭圆的离心率. 【详解】
解：由已知，2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列， 设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+，
而290ABF ∠=︒，根据勾股定理有：()()2
2
22x x d x d ++=+， 解得：3x d =，
由椭圆定义知：2ABF V 的周长为4a ，有3a d =，21BF a BF ==，
在直角21BF F V 中，由勾股定理，2
2
24a c =，即：221
2
c a =，
∴离心率2
e ==.
故答案为：
2
.
【点睛】
本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力.
15．6
21ax x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中3x 项系数为160，则a 的值为______. 【答案】-2 【解析】 【分析】
表示该二项式的展开式的第r+1项，令其指数为3，再代回原表达式构建方程求得答案. 【详解】
该二项式的展开式的第r+1项为()
()62
612316611r
r
r r r r r r T C ax a C x
x ---+⎛⎫=⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭
令12333r r -=⇒=，所以()363312333346120T a C x a x --⨯=-⋅⋅=-，则3201602a a -=⇒=-
故答案为：2- 【点睛】
本题考查由二项式指定项的系数求参数，属于简单题.
16．已知正项等比数列{}n a 中，247941499,22
a a a a ==g
g ，则13a =__________． 【答案】123
2
【解析】 【分析】
利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得2q =，再利用等比数列的性质可得323
2
a =，再利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】
由2479414
99
,22a a a a ==g
g ，
所以10
55792412a a q q a a ⋅⎛⎫
=⋅= ⎪⋅⎝⎭，解得12q =.
2
243492a a a =
=g ，所以32
32a =， 所以10
10133212313
222
a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.
故答案为：1232
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位：℃)与网上预约出租车订单数(单位：份)；
（1）经数据分析，一天内平均气温C x 。

与该出租车公司网约订单数y （份）成线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程，并预测日平均气温为7C -︒时,该出租车公司的网约订单数；
（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于5C -︒，若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.
附：回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1
1
2
2
1
1
2
()()ˆˆˆ,()
n n
i i
i
i
i i n
n
i i
i
i x x y y x y nx y
b
a
y bx x x x
nx ====---⋅==
=---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ9.5165.5y x =-+，232；（2）
35
【解析】 【分析】
(1) 根据公式代入求解；
(2) 先列出基本事件空间Ω，再列出要求的事件，最后求概率即可. 【详解】
解：（1）由表格可求出5
5
21
1
1,156,
20,5780,85n n i i
i i i x y x y
x y x =======⋅==∑∑代入公式求出9.5b
=-$，
所以$165.5a
y bx =-=$，所以ˆ9.5165.5y x =-+ 当7x =-时，ˆ(9.5)(7)165.5232y
=-⨯-+=. 所以可预测日平均气温为7C -︒时该出租车公司的网约订单数约为232份.
（2）记这5天中气温不高于5C -︒的三天分别为,,A B C ，另外两天分别记为,D E ，则在这5天中任意选取2天有,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ，共10个基本事件，其中恰有1天网约订单数不低于210份的有, , , , , AD AE BD BE CD CE ，共6个基本事件， 所以所求概率63105
P ==，即恰有1天网约订单数不低于20份的概率为3
5.
【点睛】
考查线性回归系数的求法以及古典概型求概率的方法，中档题.
18．（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ： 24y x =于点P ，点F 为C 的焦点.圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ， PF ， x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；
（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(),Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ， 2l 分别与y 轴相交于点
A ，
B .当线段AB 的长度最小时，求s 的值.
【答案】 (1) 2=1y x - ()0y ≠．(2)见解析. 【解析】
试题分析：（1）设(),M m n 根据题意得到
n =，化简得到轨迹方程；（2）设
()
21,Q t t +， ()10,A y ，()20,B y ，33151
232(0)2222t AB t t t t t t t
=+-+=++>，构造函数研究函数的单调性，得到函数的最值. 解析：
（1）因为抛物线C 的方程为2
4y x =，所以F 的坐标为()1,0，
设(),M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n ，点P (
)
2
,2n n ，则直线PF 的方程为
2121
y x n n -=-，即()()
2
2110n x y n ---=，
n =，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，
所以E 的方程为2=1y x - ()0y ≠． （2）设()
2
1,Q t t +， ()10,A y ，()20,B y ，
由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0t >，
由y '=
，所以121AQ t y k t -==+
，221BQ t y k t -==-+ 所以11
22t y t
=
-，3223y t t =+， 所以3
3151232(0)2222t AB t t t t t t t
=+-
+=++>． 令()3
51222f t t t t =++，0t >，则()422
22
5112516222t t f t t t t
'+-=+-=， 由()0f t '>
得t >
()0f t '<
得0t <<
所以()f t
在区间⎛ ⎝
单调递减，在⎫⎪+∞⎪⎭
单调递增，
所以当t =
()
f t 取得极小值也是最小值，
即AB 取得最小值，
此时21s t =+=． 点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如0NA NB ⋅=u u u r u u u r
，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.
19．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-.数列{}n b 满足2log n n b a =，其前n 项和为n T . （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设1
n n n
c a T =+
，求数列{}n c 的前n 项和n C . 【答案】（1）2n n a =，n b n =；（2）1
2
21
n n C n +=-
+. 【解析】 【分析】
（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由22n n S a =-得出1122n n S a --=-，两式相减可推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式，再利用对数的运算性质可得出数列{}n b 的通项公式；
（2）运用等差数列的求和公式，运用数列的分组求和和裂项相消求和，化简可得n T . 【详解】
（1）当1n =时，1122S a =-，所以12a =；
当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，得12n n a a -=，即1
2n
n a a -=， 所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2 的等比数列，1
22
2n n n a -∴=⨯=.
2log 2n n b n ∴==；
（2）由（1）知数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列，
()1(1)
1122
n n n n n T n -+∴=⨯+
⨯=
. ()11212221n n n n n c n n ⎛⎫+- ⎪+=+⎝=+
⎭
∴，
()12
1111122122221212231121n n
n C n n n +-⎛⎫⎛⎫∴=++++-+-++-=+- ⎪ ⎪
+-+⎝⎭⎝⎭
L L 1
221n n +=-+. 所以1
2
21
n n C n +=-
+. 【点睛】
本题考查数列的递推式的运用，注意结合等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：分组求和法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
20．在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为cos ,
sin ,
x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为
cos 2sin 2x t y t πϕπϕ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨
⎛⎫
⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
，（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin cos ρθθ=.
（Ⅰ）求12l l ，的极坐标方程和C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设12l l ，分别交C 于A B ，两点（与原点O 不重合），求OA OB ⋅的最小值. 【答案】（Ⅰ）直线1l 的极坐标方程为(R)θϕρ=∈，直线2l 的极坐标方程为()R 2
π
θϕρ=-∈，C 的直角
坐标方程为2y x =；（Ⅱ）2. 【解析】
（Ⅰ）由定义可直接写出直线12l l ，的极坐标方程，对曲线C 同乘ρ可得：2
2
sin cos ρθρθ=，转化成
直角坐标为2y x =；
（Ⅱ）分别联立两直线和曲线C 的方程，由2,sin cos ,θϕρθθ=⎧⎨=⎩得2cos sin A ϕρϕ=，由2,2sin cos ,
πθϕρθθ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩得2sin cos B ϕ
ρϕ
=
， 则22cos sin 12
sin cos sin cos sin 2A B OA OB ϕ
ϕ
ρρϕϕ
ϕϕϕ
⋅==⋅
=
=，结合三角函数即可求解；
【详解】
（Ⅰ）直线1l 的极坐标方程为(R)θϕρ=∈， 直线2l 的极坐标方程为()R 2
π
θϕρ=
-∈
由曲线C 的极坐标方程得2
2
sin cos ρθρθ=， 所以C 的直角坐标方程为2y x =.
（Ⅱ）1l 与C 的极坐标方程联立得2,sin cos ,θϕρθθ=⎧⎨=⎩
所以2cos sin A ϕ
ρϕ=. 2l 与C 的极坐标方程联立得2,
2sin cos ,
πθϕρθθ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩所以2
sin cos B ϕρϕ=. 所以22cos sin 12
sin cos sin cos sin 2A B OA OB ϕ
ϕ
ρρϕϕ
ϕϕϕ
⋅==⋅
=
=.
所以当()Z 4
2
k k π
π
ϕ=+
∈时，OA OB ⋅取最小值2. 【点睛】
本题考查参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标中ρ的几何意义，属于中档题
21．在平面直角坐标系中，(2,0)A -，(2,0)B ，且ABC ∆满足1
tan tan 2
A B = （1）求点C 的轨迹E 的方程；
（2
）过(F ，0)作直线MN 交轨迹E 于M ，N 两点，若MAB ∆的面积是NAB ∆面积的2倍，求直线MN 的方程．
【答案】（1）221(0)42
x y y +=≠．
（2）MN
的方程为x y =
【分析】
（1）令(,)C x y ，则
1222
y y x x ⋅=--+，由此能求出点C 的轨迹方程． （2）令()()1122,,,M x y N x y
，令直线:MN x my =
得(
)
2
2
220m y +--=，由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程。

【详解】
解：（1）因为1
tan tan 2A B =，即直线AC,BC 的斜率分别为12,k k 且1212
k k ⋅=-， 设点(,)C x y ，则
1222
y y x x ⋅=--+， 整理得22
1(0)42
x y y +=≠.
（2）令()()1122,,,M x y N x y ，易知直线MN 不与x 轴重合，
令直线:MN x my =22142
x y +=联立得(
)22
220m y +--=，
所以有12122
2
0,2
y y y y m -∆>+=
=+， 由2MAB NAB S S ∆∆=，故122y y =，即122y y =-，
从而()2
21
212212
2141222
y y y y m y y m y y +-==++=-+， 解得2
27m =
，即7
m =±。

所以直线MN
的方程为7
x y = 【点睛】
本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题。

22．如图，在直三棱柱中111ABC A B C -，D E F G 、、、分别是1111BC B C AA CC ，，，
中点，且
AB AC ==14BC AA ==.
()1求证：BC ⊥平面ADE ； ()2求点D 到平面EFG 的距离.
【答案】（1）详见解析；（243
. 【解析】 【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）取DE 中点为H ,则FH AD ∥,证得FH ⊥平面11BCC B ,利用等体积法D EFG F DEG V V --=求解即可. 【详解】
（1）因为22AB AC ==4BC =，
AB AC ∴⊥，D Q 是BC 的中点，AD BC ∴⊥，
111ABC A B C -Q 为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，
因为D E ，为11BC B C ，中点，所以1//DE AA
DE ∴⊥平面ABC ，DE BC ∴⊥，又AD DE D ⋂=,
BC ∴⊥平面ADE
（2）22,4AB AC BC ===Q ， 又,,E F G 分别是111BC AA CC ，，中点，
22EF FG EG ∴===由（1）知AD BC ⊥，1BB AD ⊥, 又1BB BC B =I AD ∴⊥平面11BCC B ,
取DE 中点为H ,连接DG 如图, 则FH AD ∥，FH ∴⊥平面11BCC B ， 设点D 到平面EFG 的距离为h ，
由D EFG F DEG V V --=，得11
33
EFG DEG h S FH S ⋅⋅=⋅⋅△，
即2
1
3
112222222332h ⋅=⨯⨯⨯43
h =
∴点D 到平面EFG 43.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、等体积法求点到面的距离；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题.
23．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表： 考试情况
男学员 女学员 第1次考科目二人数 1200 800 第1次通过科目二人数 960 600 第1次未通过科目二人数
240
200
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试
的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. （1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X 元，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）9
10
；（2）见解析. 【解析】 【分析】
事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为X 元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X 的数学期望． 【详解】
事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，
事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）. （1）事件M 表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.
()()
111121211212P M P A B A B B A A B A A B B =+++ ()()()()
111121211212P A B P A B B P A A B P A A B B =+++ 434131431413954544554554410
=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为400，600，800，1000，1200.
()()33433
400545
P X P A B ===⨯=，
()()
334343600P X P A B B A A B ==+ 41314327
544554100
=⨯⨯+⨯⨯=，
()()
3434334343800P X P A A B B A B B A A B ==++ 14134115544544=⨯⨯⨯+⨯⨯ 11311
554100+⨯⨯=，
()()
343434341000P X P A A B B A A B B ==+ 141111137
55445544400
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，
()()
343411111
12005544400
P X P A A B B ===⨯⨯⨯=.
则X 的分布列为：
故4006008005100100EX =⨯
+⨯+⨯ 10001200510.5400400
+⨯+⨯=(元).
【点睛】
本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.。