江苏省盐城市2013届高三数学第二次模拟考试试题苏教版

江苏省盐城市2013届高三3月第二次模拟考试
数学试卷
（总分160分，考试时间120分钟）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。

⒈若集合}2,1{-=m A ，且}2{=B A ，则实数m 的值为 。

⒉若复数z 满足2)1(=-z i （为虚数单位），则=z 。

⒊现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为 。

⒋已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是 。

⒌若1e ，2e 是两个单位向量，212e e a -=，2145e e b +=，且a ⊥
b ，则1e ，2e 的夹角为 。

⒍如图，该程序运行后输出的结果为 。

⒎函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=4sin 2)(πx x f ，[]0,π-∈x 的单调递增区间为 。

⒏若等比数列{}n a 满足43=-m a 且2
44a a a m m =-（*N m ∈且4>m ），则51a a 的值
为 。

⒐过点)3,2(且与直线1l ：0=y 和2l ：x y 4
3
=
都相切的所有圆的半径之和为 。

⒑设函数)(x f y =满足对任意的R x ∈，0)(≥x f 且9)()1(2
2
=++x f x f 。

已知当
]1,0[∈x 时，有242)(--=x x f ，则⎪⎭
⎫
⎝⎛62013f 的值为 。

⒒椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左焦点为F ，直线m x =与椭圆相交于A ，B 两点，若
FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积为ab ，则椭圆的离心率为 。

⒓定义运算
，则关于非零实数x 的不等式
的解集
为 。

⒔若点G 为ABC ∆的重心，且AG ⊥BG ，则C sin 的最大值为 。

⒕若实数a 、b 、c 、d 满足
14
3ln 22=-=-d
c b a a ，则22)()(
d b c a -+-的最小值
为 。

二、解答题：本大题共6小题，计90分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。

⒖（本小题满分14分）已知函数33cos sin 4)(+⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=πx x x f 。

⑴求)(x f 的最小正周期；
⑵求)(x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值。

⒗（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E 为的PC 中点。

⑴求证：PA ∥平面BDE ；
⑵求证：平面PBC ⊥平面PDC 。

⒘（本小题满分14分）如图，在海岸线一侧C 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A 、B 两个报名点，满足A 、B 、C 中任意两点间的距离为10千米。

公司拟按以下思路运作：先将A 、B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处（点D 异于A 、B 两点），然后乘同一艘游轮前往C 岛。

据统计，每批游客A 处需发车2辆，B 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。

设∠α=CDA ，每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本S 元。

⑴写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； ⑵问中转点D 距离A 处多远时，S 最小？
⒙（本小题满分16分）如图，圆O 与离心率为23
的椭圆T ：12222=+b
y a x （0>>b a ）
相切于点M )1,0(。

⑴求椭圆T 与圆O 的方程；
⑵过点M 引两条互相垂直的两直线1l 、2l 与两曲线分别交于点A 、C 与点B 、D （均不重合）。

①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为1d 、
2d ，求2221d d +的最大值；
②若MD MB MC MA ⋅=⋅43，求1l 与2l 的方程。

⒚（本小题满分16分）设函数b ax x x f n n ++-=3)(（*N n ∈，R b a ∈,）。

⑴若1==b a ，求)(3x f 在[]2,0上的最大值和最小值；
⑵若对任意]1,1[,21-∈x x ，都有1)()(2313≤-x f x f ，求a 的取值范围； ⑶若)(4x f 在]1,1[-上的最大值为2
1
，求b a ,的值。

⒛（本小题满分16分）设n S 是各项均为非零实数的数列{}n a 的前n 项和，给出如下两个命题上：
命题p ：{}n a 是等差数列；命题q ：等式1
113221111+++=
+++n n n a a b
kn a a a a a a 对任意n （*N n ∈）恒成立，其中b k ,是常数。

⑴若p 是q 的充分条件，求b k ,的值；
⑵对于⑴中的k 与b ，问p 是否为q 的必要条件，请说明理由；
⑶若p 为真命题，对于给定的正整数n （1>n ）和正数M ，数列{}n a 满足条件
M a a n ≤++2
121，试求n S 的最大值。

盐城市2013届高三年级第二次模拟考试 数学附加部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分。

请把答案写在答题纸的指定区域内。

A ．（选修4－1：几何证明选讲）
如图，AB 是⊙O 的直径，C 、E 为⊙O 上的点，且CA 平分∠BAE ，DC 是⊙O 的切线，交AE 的延长线于点D 。

求证：CD ⊥AE 。

B ．（选修4－2：矩阵与变换）
求曲线01222
=+-xy x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中⎢⎣⎡=0
1
M
⎥⎦⎤20，⎢⎣⎡-=11N ⎥⎦
⎤10。

C ．（选修4－4：坐标系与参数方程） 已知圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧+==2
sin cos θθ
y x （θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，直线的极坐标方程为1cos sin =+θρθρ，求直线截圆C 所得的弦长。

D ．（选修4－5：不等式选讲） 若⎪⎭⎫
⎝
⎛-∈32,21x ，证明2332321<-++++x x x
[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分。

请把答案写在答题纸的指定区域内。

22．（本小题满分10分） 正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为4，D 为的1CC 中点。

（1）求证：1AB ⊥平面BD A 1； （2）求二面角B D A A --1的余弦值。

23．（本小题满分10分）
已知数列}{n a 满足21=a ，)1(11+-=++n a a n n n 。

（1）证明：n a n >（3≥n ）；
（2）证明：24323
4<++++n n 。

盐城市2013届高三年级第二次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
3. 35
4.
5. 23π
6. 16
7. ,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
8.16
9. 42 10. 11.
12. ()[)1,00,2,2⎛⎤
-∞⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦
13. 35 14.
()2
21ln 25
- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（Ⅰ）
()
24sin cos cos sin sin 2sin cos 33f x x x x x x x ππ⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭
sin 22x x =……………………………………2分
2sin 23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………………………………………4分
所以22T π
π==………………………………………………7分
（Ⅱ）因为46x ππ-≤≤，所以22633
x πππ
-≤+≤…………………………9分
所以1sin 2123x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭，所以()12f x -≤≤，当2,36x ππ+=-即4x π=-时，
()min 1f x =-，
当2,3
2
x π
π
+
=
即12
x π
=
时，()min 2f x =，…………………………14分
16.证明(1)连接AC 交BD 于O ,连接PO EO ,
∵四边形ABCD 是菱形, ∴O 是AC 中点, ……………………………2分
又E 为PC 中点.∴PA ∥EO …………………………………………4分
又BDE EO 面⊂,BDE PA 面⊄∴PA ∥平面BDE ……………………………7分
(2)在△PAC 中,易得3===PO CO AO ∴ 90=∠APC ,∴22=PC ………9分
∴在△PDC 中可求得2=
DE ,同理在△PBC 中可求得2=BE
∴在△BDE 中可得 90=∠BED ,即BE ⊥DE ………………………11分
又BC PB =,E 为PC 中点, ∴BE ⊥PC …………………………12分
BE ⊥面PDC ,又⊂BE 面PBC ∴平面⊥PBC 平面PDC ……………………14分
17．解: (1)由题在ACD ∆中，2,,10,3
3
3
CAD ADC AC ACD π
π
π
α∠=∠=
=∠=
-． 由
正
弦
定
理
知
10
2sin sin
sin 3
3CD AD π
παα=
=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
得
210sin 3sin
CD AD πα⎛⎫
- ⎪
⎝⎭==
……………3分
240sin 348121248080sin S AD BD CD CD AD παα
⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭∴=++=-+=
+
26033x π
π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭
…………………………………………………………
…………7分
(2)'S ='
0S =，得1cos 3α=………………………………10分 当1cos 3α>时，'0S <；当1cos 3α<时，'0S >，∴当1
cos 3
α=时S 取得最小
值………………12分
此时sin 5AD α=
==+
， ∴中转站距A
千米时，运输成本S 最小…………………………14分 18．解: (1)由题意知:
222,1,2
3a b c b a c =+==解得3,1,2===c b a 可知: 椭圆C 的方程为14
22
=+y x 与圆O 的方程122=+y x ……………………………4分
(2)设),(00y x P 因为1l ⊥2l ,则2
020
2
22
21
)1(++==+y x PM d d 因为14
2
020=+y x
所以3
16
)3
1
(3)1(4420202
02221+
+-=++-=+y y y d d ,……………………………7分 因为110≤≤-y 所以当310-=y 时2
221d d +取得最大值为3
16，此时点
)3
1
,324(-±
P …………9分 (3)设1l 的方程为1+=kx y ,由⎩⎨⎧=++=1
12
2y x kx y 解得)11,12(22
2
k k k k A +-+-；
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1
4
1
2
2
y x kx y 解得)4141,148(222k k k k C +-+-…………………………11分 把C A ,中的k 置换成k 1
-可得)11,12(222+-+k k k k B ，)44,48(222+-+k k k k D ………………12分
所以)12,12(222k k k k MA +-+-=，)418,148(2
2
2k
k k k MC +-+- )12,12(
22+-+=k k k MB ，)4
8
,48(2
2+-+=k k k MD 由34MA MC MB MD ⋅=⋅得4
4
4132
22+=+k k k 解得2±=k ……………………15分 所以1l 的方程为12+=
x y ，2l 的方程为12
2
+-
=x y 或1l 的方程为12+-=x y ，2l 的方程为12
2
+=
x y ………………………16分 19．解(1) ()1333++-=x x x f ()332'3+-=∴x x f ………………………………… 2分 ∴在()1,0内, ()0'3>x f ，在()2,1()0'3<x f
∴在()1,0内, ()1333++-=x x x f 为增函数，在()2,1内()1333++-=x x x f 为减函数 ∴函数
()1333++-=x x x f 的最大值为()313=f ，最小值为
()123-=f ………………………………4分
（2）∵对任意21,x x 有()()1||2313≤-x f x f ，∴()()1|11|33≤--f f 从而有1|26|≤-a ∴
2
1
61≤≤a ……………………………6分 又()a x x f 332'3+-=∴()x f 3在[][]1,,,1a a --内为减函数，()x f 3
在[]
a a ,-
内为增
函数,只需()()1||3
3
≤--a f a f ，则14≤a a
∴a 的取值范围是3
16
1
61≤≤a …………………………10分 （3）由()21||4≤
x f 知()211214≤≤-f ①()2
1
1214≤-≤-f ②，
①加②得2321≤≤b 又∵()210214≤≤-f ∴2121≤≤-b ∴2
1
=b …………………14分 将21
=
b 代入①②得00≤≤a ∴0=a ………………………………………16分 20．解：（1）设}{n a 的公差为d ，则原等式可化为
1223
1111111111,n n n kn b d a a a a a a a a ++⎛⎫+-+-++
-= ⎪
⎝⎭所以1111
1n n nd kn b d a a a a +++⋅=， 即
()10
k n b -+=对
于
n N *
∈恒成立，所以
1,0.k b ==…………………………………………………4分
（2）当1,0k b ==时，假设p 是否为q 的必要条件，即“若1223111
111n n n n
a a a a a a a a +++++=
①对于任意的()n n N *∈恒成立，则}{n a 为等差数列”. 当1n =时，121211
a a a a =
显然成立.……………………………………………6分 当2n ≥时，1223111
1111
n n n n a a a a a a a a -+-+++=
②，由①-②得， 111111n n n n n n a a a a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，即()111n n na n a a +--=③. 当2n =时，1322a a a +=，即1a 、2a 、3a 成等差数列，
当3n ≥时，()()1112n n n a n a a ----=④，即112n n n a a a -+=+.所以}{
n a 为等差数列，即
p 是否为q 的必要条件. (10)
分
(3)
由22
11n a a M ++≤，可设11cos ,sin n a r a r θθ+==，所以r ≤
.
设}{n a 的公差为d ，则11sin cos n a a nd r r θθ+-==-，所以sin cos r r d n
θθ
-=，
所以sin cos sin n r r a r n θθ
θ-=-，()()()
11cos 1sin 2
2n n a a n n n S r θθ+
++-=
=
≤
=
，所以
n
S 的最大值为
……………16分
附加题答案 21. A 、【证明】连结OC ，所以∠OAC=∠OCA， 又因为CA 平分∠BA E ，所以∠OAC=∠EAC ， 于是∠E AC=∠OCA，所以OC//AD.
又因为DC 是⊙O 的切线，所以CD⊥OC， CD⊥A E ………………… 10分 B ．解：MN =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡20011011
⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=1022⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦
，…………………………………4分 B
设,P x y ''（）
是曲线2
2210x xy -+=上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点,P x y '（
）， 则有10'22'22x x x y y x y '⎡⎡⎡⎤⎡⎤⎤⎤==⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎥⎥''--+⎦⎣
⎦⎦⎦⎣⎣⎣，于是x x '=，2y
y x '=+.…………………8分 代入2
2210x x y '''-+=得1xy =，
所以曲线22210x xy -+=在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为
1xy =………………………10分
C ．圆C 的方程为 1)2(2
2
=-+y x ；直线的方程为 1=+y x . 故所求弦长为22
1
20=-+=
d .………………………………………………10分
D ．证明：由柯西不等式可得
()()()()(
)
2
181232311112131231
x x x x x x =++++-++≥
+⋅++⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦……
……………7分 又12,23x ⎛⎫
∈-
⎪⎝
⎭，所以1232332x x x ++++-<.…………………10分 22. 解：取BC 中点O ，连AO ，∵ABC ∆为正三角形，
∴BC AO ⊥，
∵在正三棱柱111C B A ABC -中，平面ABC ⊥平面11B BCC ,∴⊥AD 平面11B BCC ，
取11C B 中点为1O ,以O 为原点，OB ,1OO ,OA 的方向为
,x y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
)0,4,2(),32,0,0(),32,4,0(),0.2,2(),0,0,2(11B A A D B -.
∴)32,4,2(),0,2,4(),32,4,2(11-=-=-=BA BD AB , ∵
00881=++-=⋅BD AB ,01216411=-+-=⋅BA AB .
∴BD AB ⊥1，11BA AB ⊥,∴⊥1AB 面BD A 1…………………………………5分 （2）设平面AD A 1的法向量为),,(z y x n =,)0,4,0(),32,2,2(1=--=AA AD 。

1,AA n AD n ⊥⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001AA n AD n ，∴⎩⎨⎧==-+-0403222y z y x ，⇒⎩⎨⎧-==z
x y 30，令1=z ，得)1,0,3(-=n 为平面AD A 1的一个法向量，由（1）知⊥1AB 面BD A 1， ∴1AB 为平面AD A 1的法向量，4
62423232,cos 1-=⨯--<AB n AB n ， ∴二面角B D A A --1的余弦值为4
6-………………………………………10分 23.（1）因为122,2,a a ==所以33235 3.a a =-=>
假设当1n k =+时，因为112922k k k a k k k k k ++>>⋅≥>+， 所以，
111 1.k k k a a k k ++=-->+由数学归纳法知，当3n ≥时n a n >.………………………………5分
（2）由（1）知，10,n n n a a n -=->得1n n a n ->，
所以1n a ->所以(
)121n n a n ---->即(
)121n n a n -->- 所
以2n a ->，以此类推，得12n a n =>++，问题得证. …………10分。