4.4麦克斯韦速率分布律课件-高中物理竞赛

H2
o v po
v pH
v
例3 试求分子在最概然速率vp 附近与在方均根速
率 v附2 近出现的概率之比。
解：分子速率在最概然速率 vp附近dv 速率区间的
概率为f(vp)dv ，在方均根速率 v 2 附近 dv速率区
间的概率为 f ( v2 )dv 。利用v2p =2kT/m，麦克斯韦
速率分布函数 f(v)可写为
表示分子速率在v—v+dv间隔内的分子数占总分子 数的百分比。

f (v ) dv为速率分布图上的一个窄条面积
f (v) f (v)
面积 f (v)d v d N N
面积 v2 f (v) d v v1
O
v1 v 2
v
dv
3） v2 f (v) d v 的意义 v1
是速率分布曲线下的一个有限面积，表示速率
v 例3 试求分子在最概然速率vp 附1近与在方均根速率
附近出现的概率之比。
因凹槽有一定的宽度，故所选择的是某一速率 范围内的分子数。
例 伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N，i为小槽的序号， Ni为落入第i个小槽的粒子数 单个分子的速率无规则，但从大量分子的整体来看，在平衡状态下，分子的速率分布遵循一定的统计规律。
然速率 多。
附v 近p 单位速率间隔内的相对分子数最
f (v)
Ov
v
p
(2)平均速率： 气体分子速率的算术平均值。
v 0 vf (v) d v
v
8kT
m
8kNAT
mN A
8RT 1.60 RT
M mol
M mol
(3)方均根速率：气体分子速率平方的平均值的平方根。
v2 v2 f ( v )dv 3kT
vp --- 用于讨论速率分布
v --- 用于讨论分子碰撞
v 2 ---用于计算分子的平均平动动能
地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但 很多H2分子和He原子的方均根速率超过了地球表面 的逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有氢 和氦了。
N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25， 故地球大气中有大量的氮气 (占大气质量的76%)和 氧气(占大气质量的23%)。
v
2 p
f ( v2 )
概率之比为
4
3
1
3
e2
2 vp
f (vp )dv
f (vp )
2
1
e2
1.10
f ( v2 )dv f ( v2 ) 3
dN N 例1 N2 分子在不同温度下的速率分布曲线如图所示，已知 f (v ) , n 三种速率使用于不同的场合
3）
的意义
沉积的厚度不同,对应不同速率区间内的分子数.
Ndv
V
2km/s)，故现今地球大气中已没有氢和氦了。
解：分子速率在最概然速率 vp附近dv 速率区间的概率为f(vp)dv ，在方均根速率 附近 dv速率区间的概率为
N1,N2 Ni NN N
N i 1）与狭槽的宽度有关 N 2）与狭槽的位置有关
Ni f (x)x N
f ( x) Ni f (x)是位置的函数 Nx 称为概率分布函数
f (x)
概率分布函数表示随 机变量x处单位区间内 的概率，所以概率分 布函数又称为概率密 度。
0
x xx
x
x
一、 速率分布函数
0
m
v2 3kT 3kNAT
m
mNA
3RT1.73 RT
Mm ol
Mm ol
或由
t
1mv2 2
3kT得出 2
三种速率比较 f (v)
vp v v2
三种速率均与 T 成正
比,与 M mol 成反比，但
三者有一个确定的比例 关系;三种速率使用于不 同的场合。
O
v p
v
v2
v
三种速率使用于不同的场合
v V N V 同一温度下不同种气体速率分布比1较
例1 N2 分子在不同温度下的速率分布曲线如图所示，已知
例1 N2 分子在不同温度下的速率分布曲线如图所示，已知
统计出每个 间隔内的分子数 N
统计出每个 间隔内的分子数 N
表示分布在单位体积内，速率区间 v 内v的分 同一气体不同温度下速率分布比较
利用v2p =2kT/m，麦克斯韦速率分布函数 f(v)可写为
在v1v2范围内分子数与总分子数之比。
4） f (v)dv 的意义
0
f (v)dv 1 是速率分布曲线下的总面积.
0
称为归一化条件
例1 f (v)为速率分布函数，n为分子数密度， 说明下式的物理意义：
(1)nf (v)dv
f (v) dN , n N
Ndv
V
nf (v)dv dN
V
m3
v v O
v p 1 p 2 p 3
v
例1 N2 分子在不同温度下的速率分布曲线
如图所示，已知 T130K0T2120K0
在曲线上标出温度
f (v)
T130K0
T2120K0
o v p1
v p2
v
例2 同一温度下两种气体 O 2 和 H 2 的速率
分布曲线如图所示，在曲线上标明气体。
f (v) O 2
同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
f (v ) p1
f (v ) p2
T1 T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
f (v ) p3 T3
v v O v p 1 p 2 p 3
v
同一温度下不同种气体速率分布比较
f (v)
m1
m1 m2 m3
m2
分子质量越小，速率
大的分子数越多。
二、麦克斯韦速率分布律
3
f (v) 4
m
2
e
mv2 2 kT
v
2
2kT
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
f (v)
O v vp
v
讨论 1）f (v ) 的意义
f
(v)
dN v Ndv
表示分子速率在v附近，单位速率间隔内的分子 数占总分子数的百分比。
f (v )为速率分布图上的一条竖线
2）f (v ) dv的意义 f (v)d v dNv N
。
气体分子速率平方的平均值的平方根。
v N N N 单个分子的速率无规则，但从大量分2子的整体来看，在平衡状态下，分子的速率分布遵循一定的统计规律。
例 伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N，i为小槽的序号， Ni为落入第i个小槽的粒子数
n f (v )dv 是速率分布曲线下的总面积.
同一温度下不同种气体速率分布比较
表示单位体积内分布在速率区间 v v内 d的v分子
数。
(2)Nf (v)dv
f (v) dN Ndv
Nf (v )dv dN
v 表示分布在速率区间 v 内d的v分子数。
v 把速率分成很多相等的间隔
2
( 3)n f (v )dv 气体分子速率的算术平均值。
温度越高，速率大的分子数越多
o
+
把速率分成很多相等的间隔
统计出每个间隔内的分子数N N
+ 间隔内分子数与分子总数N之比 N
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比 N 1 N v
N 1 N v 只与速率v有关，只是v 的函数。
速率分布函数 f (v) N 1 N v
说明了理想气体分子速率大小的分布是有规律 的，这一结论由麦克斯韦 1859年用概率论证明.
f (v) 4 (
m
)3
2
v
2
e
mv2 2 kT
2 kT
4 1 32
v2
v
3 p
ev2
v
2 p
4
2
v v2
v
2 p
e 3
vp
f (v)
4
v e 2
v2
v
2 p
v
3 p
在上式中取v=vp ,得
f (v p )
4 1 e1
vp
取 v v 2 ，并注意到
v2
3kT m
3 2
2kT m
3 2
§4-4 麦克斯韦速率分布律
热力学系统中分子数量多，分子速度的大小、 方向千变万化，分子的速度分布、速率分布有无 规律?
单个分子的速率无规则，但从大量分子的整 体来看，在平衡状态下，分子的速率分布遵循 一定的统计规律。
例 伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N，i为小槽 的序号，Ni为落入第i个小槽的粒子数 每个槽内的钢球数与总数之比：
子数。 某 处单位速率间隔内分子数与总数之比
1
2
三、气体的三种统计速率 (1)最概然速率: 速率分布函数 f (v)中的极大值对应的分子速率
极值条件 d f (v)
0
d v vp 0
vp
2kT m
2kN AT mN A
2RT M mol
1.41
RT M mol
平衡态下的理想气体,在一定温度下分布在最概