D1.二阶矩阵求逆的口诀及其应用
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二阶矩阵求逆的口诀及其应用
矩阵求逆有很多应用, 是高等代数中的重要内容, 通常有两个方法: 伴随矩阵法与初等变换法.
例
1. 求A =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--540320003的逆矩阵.
解一(伴随矩阵法) 先求A 的行列式:|A |=5
403200
03--=35
432--=3(-10+12)=6≠0.
再求A 的代数余子式:
A 11=
5432--=2,A 503012---
==0,A 402
013==0,A 540021--
==0,A 5
00
322-==-15,
A 4
00323-
==-12,A 3
20031-==0,A 300332--
==9,A 2
00
333==6.
于是可求得A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-12000061209150002
611
23
253
13323
13
322212
232111
1A A A A A A A A A A . 解二(初等变换法) 将()AE 初等变换为()1-EA ,即可求得A 的逆:
()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120000100010001120000010010001100010005403200011000100015403200033
53
1131331AE
∴A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-12000023
2531
1.
显然,这两种方法都很繁.而二阶矩阵求逆在多次应用伴随矩阵法后,我们可以发现
并归纳出如下口诀:
二阶矩阵求逆,主对角线对调,副对角线变号,行列式除记牢.
即: 若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-a c b d A
A
d c b a A 1
,
1
则. 例如:⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---12243521543223
251
. 应用这口诀于对角分块矩阵上去,可以简化某些高阶矩阵求逆.
∵ ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---1111
1
0000n n A A A A .(参见北京大学《高等代数》P180-182),
∴ ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------1211
1
21
1
000
0540320003A A
A A =⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--12000023253
1. 例
2. 求⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛---110003
0000
540032的逆矩阵. 解: ∵ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=----103101311103,125432313
11
1
223
251
11A A , ∴ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--------1000000012000000110003
00005400
321
3
12
3
25121
11
21
1
A A A A . 例
3.求X =⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-111121002的逆矩阵.
解: ∵⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-----1111
1
B CA B O A B
C O A , 由 ().,
1112,
11,2⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==B C O A X B C A
得 ()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==----61316131213132213231
3
13
11
1
32313
1311
2
11
11,,
CA B B A ∴ ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-323
1611
1
1211
00
X . 类似例3,也不难求出⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=613181750023
0012
Y 的逆矩阵,求解留给读者.
刊登于2000.10.“无锡教育”。