普通高中新课程标准数学(必修1)基础知识点

第一章集合与函数概念
一、集合
1．集合的定义：；
2．集合的性质：①②③；
3．集合的表示方法：①②③；4．集合与元素的关系的表示：；
5．集合的分类：；常用的集合：；6．子集（A是B的子集）定义：；7．真子集的定义：；
特别地空集是；
含有个元素的集合的子集数有个，真子集数有个，非空真子集数有个。

8．用数学符号表示交集、并集与补集
9．；；
设U为全集，则A在U中的补集；
二、函数
（一）、函数的概念
1．函数的定义(三种):
①.如果在某个运动变化过程中有两个变量、,并且,那么称是的函数, 叫做自变量,记为；
②.如果有两个集合, ,称这种集合到集合的对应,叫做集合到集合的一个函数,其中叫做自变量, 叫做定义域, 叫做函数值, 叫做值域；
③.函数是的映射.
2．函数三要素: (灵魂), (核心), ；一般来讲,函数的定义域就是函数的定义中的集合,而值域,即集合是值域.
3．映射: ①定义: , ②.象与原象: ,③一一映射:
4．从映射的角度看,函数的定义域就是,值域为.
5．函数与映射的关系:函数是映射,而映射是函数,函数作为特殊映射,其特殊性表现有两个方面: 与.
6．函数的表示方法有, , , .要正确理解分段函数的概念.
7．函数的解析式就是函数中两个变量之间的关系的一个数学表达式,只要两个函数有相同的与就是同一个函数。

（二）、求函数的定义域和值域的方法
1．定义域就是的集合,基本的知识有:分式的分母, 偶次根式的被开方数,对数式的. 2．求定义域的类型和方法有: ①.实际问题函数的定义域; ②.给出函数的解析式求定义域;
③.复合函数的定义域:若的定义域为,则的定义域就为的集合,或的定义域为,则的定义域就为的集合.
3．函数的值域与,因此无论用什么方法求函数的定义域,都应首
先考虑函数的,这就是“”原则.
4．求函数的值域的方法: ①.直接法(观察法); ②.分离变量法(针对简单的分式如,可以分离为,从而可得函数的值域为); ③.配方法(适用于函数或可化为类型);④. 换元法:主要有两种换元方法与,如函数就可采用得值域为,函数可采用得值域为;⑤.数形结合法.
（三）、函数的单调性
1．定义:给定区间上的函数,若对于任意的、,当时,都有(或
),则称是区间上的增函数(或减函数),区间称为函数的单调区间.一般地,若函数在区间上是增(减)函数,则称区间为函数的严格单调递增(减)区间.
2．函数单调性定义中“严格”的意思是.
3．“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”一样吗? .
4．单调函数反映在图象上: 函数在区间上是增(减)函数,则图象在区间上的部分从左到右是的.
5．判断函数的单调性的常用方法:(1)定义法:①任取,令；②作差；③变形(因式分解, ，；④；⑤结论.(2)单调性的四则运算性质: ①两个增(减)函数的和为；②一个增(减)函数与一个减(增)函数的差为.(3)奇函数在对称区间上有的单调性,偶函数在对称区间上有的单调性.(4)互为反函数的两个函数如果有单调性,则一定有的单调性.(5)单调函数在单调区间的任一子区间上具有的单调性.(6)图象观察也可以确定函数的单调性.
6．一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性,单调性与单调区间紧密相连,若函数在定义域的区间与区间有相同的单调性,那么函数在区间上严格单调吗? ,举例说明,因此在叙述函数的单调性时要注意.
7．基本函数的单调性:①;②
③;④;
⑤;⑥;
⑦;⑧;
8．单调性的证明中式子的变形:设、,
①;②;
③;
④.
（四）、函数的奇偶性
1．定义:设函数,,对任意的都有(或),则称为奇函数; 对任意的都有(或),则称为偶函数.也可以若对对任意的都有时,称为函数.
2．由奇偶性的定义知,一个函数具有奇偶性的必要条件为. 3．奇函数的图象关于对称,偶函数的图象关于对称.
4．如果奇函数在处有定义,则必有；
5．任何一个函数均可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和.设为奇函数,为偶函数,若=+,则= ,= .
6．奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

7．两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。

一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

第二章基本初等函数
（一）、二次函数
1．二次函数的三种表达式:①一般式;②两根式;
③顶点式.
2．二次函数的性质(以为例)
①定义域: ,值域: ;②对称性:关于直线对称;③开口方向
: ,顶点坐标为( );④奇偶性:时, ,时;
⑤单调性:时,递增区间为,递减区间为,
时, 递增区间为,递减区间为;⑥三个二次的关系: 二次方程的两根,为二次函数
与轴的交战点的,也是二次不等式(或)
的解集的.
3．对于二次函数:①在区间上有最值的的讨论分三种情况进行讨论: 、、;
②如果存在、使,则此二次函数一定有对称轴,③特殊结论= ,= ,= . （二）、对数函数、指数函数与幂函数
1．幂的运算法则:= ,= ,= ,= ,
= ,= ,.
2．分数指数幂与根式互化:= ,= ,
3．指数与对数的互化: ,
4．对数的运算性质与法则:①= , = ,
= ,= ,;②= ,= ,
= , ;③,
5．指数函数的图象性质
①定义:形如()的函数叫做指数函数；②定义域: ,值域；
③图象:时,时；④图象必过定点,⑤图象分布
在象限;⑥图象上有三个特殊点、与,以为渐近线；⑦当
时,函数在上是增函数, 时函数在上是减函数,⑧当
时:,则, ,则；
时:,则, ,则；
6．对数函数的图象性质
①定义:形如的函数叫做对数函数；②定义域: ,值域；
③图象:时,时；④图象必过定点,⑤图象分布
在象限；⑥图象上有三个特殊点、与,以为渐近线；⑦当
时,函数在上是增函数, 时函数在上是减函数,⑧当
时:,则, ,则; 时:,则,
,则；
7．幂函数的图象性质
①定义:一般地，函数叫做幂函数；
②图象性质
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
（三）、函数的图像
1．作图:1)描点法作图:①写出函数的定义域,值域;②化简函数的解析式;③讨论函数的单调性、奇偶性、周期性、特殊点、特殊区间等;④作出函数的图像.
2)用变换法作图:⑴平移变换:①由得:当时:
,当时: ;②由得
:当时: ,当时:
;⑵对称变换:由的图像作:
,由的图像作图像: ,
由的图像作图像: , 由
的图像作图像: ,
⑶翻折变换:①由的图像作图像:
,②由的图像作图像:
；(4)伸缩变换:,
①由的图像作图像:
,②由的图像作图像:
.
2．识图:根据函数图像左右,上下的分布范围和变化趋势,研究函数的单调性、奇偶性、周期性、特殊点、特殊区间等函数的性质.
3．用图:即用数形结合思想解决与函数有关的具体问题,主要是把要解决的函数或方程的相关问题转化为函数的图象问题,充分利用基本初等函数的图象结合图象变换的各种方法和手段,从而使问题得以解决.
（四）、函数的最大(小)值
1．定义:设函数的定义域为,若存在,对于任意,都有(或),则为函数的最大(小)值.
2．由上述定义可知,函数的最大(小)值就是.
3．根据定义函数的最值一定为函数值域中的一个值,因此(或)时,则
函数的最大(小)值.
4．从函数的图象上看,一个函数的最大最小值就是,
第三章函数的应用
一、函数与方程
（1）零点与根的关系：
零点：对于函数，我们把使的实数叫做的零点。

定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
那么，函数在区间内有零点。

即存在，使得，这个也
是方程的根。

（反之不成立）
关系：方程有实数根函数有零点函数的图象与轴有。

（2）二分法求方程的近似解
①确定区间，验证，给定精确度；
②求区间的中点；
③计算；若，则就是函数的零点；
若，则令此时零点；
若，则令此时零点；
④判断是否达到精度，即若，则得到零点的近似值（或），否则重复做。

二、函数模型及应用
①几类不同的增长函数模型；②用已知函数模型解决问题；③建立实际问题的函数模型。