河南省洛阳市2020-2021学年高二下学期期末质量检测数学(理)试题

河南省洛阳市2020-2021学年高二下学期期末质量检测数学
（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知a 是实数，1a i i +-是实数，则cos 3
a π的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．0 D
2．已知命题:p x ∀∈R ，210x x -+≥，下列p ⌝形式正确的是（ ）
A ．0:p x ⌝∃∈R ，使得20010x x -+≥
B ．0:p x ⌝∃∈R ，使得20010x x -+<
C ．:p x ⌝∀∈R ，210x x -+<
D ．:p x ⌝∀∈R ，210x x -+≤ 3．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根
据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，
则下列结论中不正确的是
A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）
C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg
D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg
4．已知向量(),3=+a x z ，()2,=-b y z ，且a b ⊥.若x ，y 满足不等式001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
，
则z 的取值范围为（ ）
A ．[]0,2
B ．[]2,3-
C ．[]2,3
D ．[]0,3
5．以双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A
B
C ．2
D ．3 6
．69x ⎛ ⎝
的展开式中常数项为（ ）
A ．30
B ．15
C ．－15
D ．30
7．已知0a >，0b >，8ab =，则22log log a b ⋅的最大值为（ ）
A ．32
B ．94
C ．4
D ．8
8．设随机变量η服从正态分布()21,N σ，若()10.2P η<-=，则函数
()32213x f x x x η++=没有极值点的概率是（ ） A ．0.2
B ．0.3
C ．0.7
D ．0.8 9．若()130()3
f x x f x dx =+⎰，则()10f x dx =⎰（ ） A ．1
8- B ．18 C ．14- D ．14
10．回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，
11，242，6776，83238等，设n 位回文数的个数为n a （n 为正整数），如11是2位回文数，则（ ）
A ．210a =
B ．310a =
C ．490a =
D ．590a = 11．已知函数()f x 满足()()f x f x -=，当0x >时，()ln 1x
x f x e +=，若()1.32a f =，()
0.64b f =，122log c f ⎛= ⎝，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．a b c << 12．已知点P 在抛物线()2:0C y mx m =≠上，过点P 作抛物线22x y =的切线1l ，
2l ，切点分别为M ，N ，若()1,1G ，且0GP GM GN ++=，则C 的准线方程为（ ）
A ．14
x =- B ．14x = C ．2x = D ．2
x =-
二、填空题 13．曲线ln y x x =⋅上点(1,0)处的切线方程为_______
14．我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示
为a 2＋b 2＝c 2(a ，b ，c ∈N *)，把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：
3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第5组勾股数的第二个数是________．
15．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察
参考公式： ()()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
参照附表，在犯错误的概率最多不超过__________（填百分比）的前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”．
16．已知函数()11
x x f x e x +=--，下面四个结论：①函数(
)f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-；③()f x 有且仅有两个零点；④若x y e =在点
()0
0,x x e 处的切线也是ln y x =的切线，则0
x 必是()f x 的零点，其中所有正确的结论序号是________.
三、解答题
17．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()())
sin sin sin a c A C b B +-=-. （1）求角C ； （2）若4a =，ABC 的面积为3
，求c . 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，若数列{}1n S +是公比为2的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）()*111
,1n n n n a b n a S +++=∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19．在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面SBC ，SB SC =，M 是BC 的中点，1AB =，2BC =.
（1）求证：AM SD ⊥；
（2）若SM =B SA D --的余弦值.
20．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为3
，点()0,2A -在椭圆上，斜率为k 的直线l 过点()0,1E 且与椭圆交于C ，D 两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设1k ，2k 分别为直线AC ，AD 的斜率，当k 变动时，1k ⋅2k 是否为定值？说明理由.
21．某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值在(),μσμσ-+内的产品称为优等品，质量指标值在(),2μσμσ++内的产品称为一等品，其余范围内的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质量指标值的样本数据统计如下图：
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数x ；
（2）根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率； 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，
则：()0.6827P μσξμσ-<+≈≤，()220.9545P μσξμσ-<+≈≤，()330.9973P μσξμσ-<≤+≈.
（3）假如企业包装时要求把3件优等品5件一等品装在同一个箱子甲，质检员每次从箱子中随机取出3件产品进行检验，记取出3件产品中优等品的件数为X ，求X 的分布列以及数学期望.
22．函数()x f x xe ax b =-+的图象在0x =处的切线方程为：1y x =-+.
（1）求a 和b 的值；
（2）若()f x 满足：当0x >时，()ln f x x x m -+，求实数m 的取值范围.
参考答案
1．A
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a 值，代入cos
3
a π得答案． 【详解】 解：()(1)111(1)(1)22a i a i i a a i i i i +++-+==+--+是实数， ∴102
a +=，即1a =-． ∴1cos
cos()332a ππ=-=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查三角函数值的求法，属于基础题．
2．B
【分析】
全称命题的否定是特称命题，否定量词，否定结论.
【详解】
否定量词，否定结论，即0:p x ⌝∃∈R ，使得20010x x -+<.
故选：B.
【点睛】
本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
3．D
【解析】
根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；
该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；
该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ．
4．D
【分析】
由a b ⊥，得到23z x y =+，画出满足条件的平面区域，通过图象读出即可．
【详解】 解：
(,3)a x z =+，(2,)b y z =-， 又a b ⊥，
()23()230x z y z x y z ∴+⨯+⨯-=+-=，
即23z x y =+，
画出满足条件001x y x y ⎧⎪⎨⎪+≤⎩
的平面区域，如图示：
由23z x y =+得：233
z y x =-+， 显然：直线过原点是z 最小是0，直线过()0,1B 时，z 最大是3，
所以[]0,3z ∈
故选：D ．
本题考查了向量垂直的性质，考查简单的线性规划问题，属于基础题．
5．A
【分析】
根据圆和渐近线的垂直关系建立方程条件进行求解即可．
【详解】
解：由题意知圆心(c,0)F ，双曲线的渐近线为b y x a
=±
，不妨设其中一条为0bx ay -=， 圆与渐近线相切， ∴圆心到渐近线的距离
bc d b a c =
===，
即c ==
即离心率c e a
=
= 故选：A ．
【点睛】 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆的相切关系建立方程是解决本题的关键，属于基础题．
6．B
【分析】
写出通项，然后令x 的指数为0，即可求出常数项．
【详解】 解：展开式的通项为：36662
166(9)
((1)93k k k k k k k k k T C x C x ----+==-⨯⨯⨯． 令3602
k -=解得4k =，可得常数项为424456(1)9315T C -=-⨯⨯⨯=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查二项式定理，通项法研究展开式中特定项的问题，属于基础题．
7．B
【分析】
利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可．
解：0a >，0b >，8ab =，
则22log log a b
222(log 8log )log b b =-
22(3log )log b b =-
2223log (log )b b =-
22939log 424b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．当且仅当322b =时，函数取得最大值94
． 故选：B ．
【点睛】
本题考查对数运算法则以及函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题． 8．C
【分析】
首先利用导数求出η的范围，再利用正态分布的对称性即可得到答案.
【详解】
()222x f x x η++'=，因为函数()f x =没有极值点，
所以244η∆=-≤0，解得1η≥或1η≤-.
因为η服从正态分布()21,N σ
，所以η的分布关于1x =对称，
所以()10.5P η≥=. 故函数()f x =没有极值点的概率为()()110.50.20.7P P P ηη=≥+≤-=+=. 故选：C
【点睛】
本题主要考查正态分布的对称性，同时考查了函数的极值点定义，属于中档题. 9．A
【分析】
设()1
0f x dx t =⎰，根据()130()3f x x f x dx =+⎰，由()()113003f x dx x t dx =+⎰⎰求解.
设
()1
f x dx t =⎰，
所以
()()1
1
30
3f x dx x t dx =+⎰
⎰，
41013|4x tx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
t =， 所以1
34
t t +=， 解得1
8t =-，
即()1018
f x dx =-⎰.
故选：A 【点睛】
本题主要考查定积分的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10．C 【分析】
根据回文数的特点，根据分步计数原理，依次写出满足条件的2a ，3a ，4a ，5a 的值，判断选项. 【详解】
2位回文数包含11，,22,33，…,99，共9个，所以29a =
3位回文数，第一位和第三位有9种方法，中间有10种方法，根据分步计数原理可知，共
91090⨯=个，故390a =，
4位回文数，第一位和第四位有9种方法，中间两位有10种方法，根据分步计数原理可知有91090⨯=种方法，故490a =
5位回文数，第一位和第五位有9种方法，中间以为有10种方法，第二位和第四位有10种方法，根据分步计数本原理可知有91010900⨯⨯=种，故5900a =. 故选：C 【点睛】
本题考查分步计数原理，关键是读懂新定义数字问题的理解和运用，属于中档题型.
【分析】
首先利用导数求出()ln 1
x
x f x e
+=
的单调区间，再利用指数函数和对数函数的性质得到1.30.6224log 31>>>，从而得到,,a b c 的大小关系.
【详解】
由题知：()1
ln 1
x
x x f x e --'=
()0x >， 设()1ln 1h x x x
=
--，()211
0h x x x '=--<，
所以()h x 在()0,∞+为减函数，
又因为()10h =，所以()0,1x ∈，()0h x >，即()0f x '>，()f x 为增函数，
()1,x ∈+∞，()0h x <，即()0f x '<，()f x 为减函数.
又因为函数()f x 满足()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数
.
(
(()122222log 2log 2log log 3c f f f f ⎛==-== ⎝.
因为21log 32<<，0.6 1.2 1.3422=<，即 1.3
0.6224log 31>>>，
所以()()0.6 1.31
2
2log 42f f f ⎛>> ⎝
，即a b c <<. 故选：D 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调区间，同时考查了指数，对数的比较大小和偶函数的性质，属于中档题. 12．A 【分析】
设221212(,),(,)22
x x M x N x ，利用导数写出切线,PM PN 的方程，联立求出交点P 坐标
122x x x +=
，12,2
x x
y = 又由0GP GM GN ++=，知G 为三角形MNP 的重心，代入重心坐标公式，利用已知条件可求出P 的坐标为(1,1),-再代入抛物线2
:D y mx =方程, 求出
m ，进而求C 的准线方程.
【详解】
设22
1212(,),(,)22
x x M x N x ，由22x y =，得212y x =，则y x '=，
则:PM ()2111,2x y x x x -=- 即 2
112
x y x x =-
同理直线PN 的方程为 2
2
22
x y x x =-，
联立,PM PN 的方程可得1212,22x x x x
x y +=
=，则1212(,)22
x x x x P +， 又由0GP GM GN ++=，得G 为三角形MNP 的重心,
则112232x x x x +++=， 221212
3222
x x x x ++=，得12122,2x x x x +==-，
则(1,1)P -，又P 抛物线()2
:0C y mx m =≠上，得1m =，即2
:C y x =，
准线方程为1
4x =-.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 13．1y x =- 【分析】
利用切点和斜率求得切线方程. 【详解】
令()ln f x x x =⋅，则()()'
'ln 1,1ln111f
x x f =+=+=，
所以曲线ln y x x =⋅上点(1,0)处的切线方程为()011y x -=⨯-，即1y x =-.
故答案为：1y x =- 【点睛】
本小题主要考查切线方程的求法，属于基础题. 14．60 【解析】 【分析】
由前四组勾股数可得第5组的第一个数为11，第二、三个数为相邻的两个整数，可设为
,1x x +，列出方程，即可求解.
【详解】
由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二、三个数为相邻的两个整数， 设第二、三个数为：,1x x +，所以2
2
2
(1)11x x +=+， 解得60x =，所以第5组勾股数的三个数依次为11,60,61， 故答案为：60. 【点睛】
本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理进行归纳、列出方程计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 15．5% 【详解】
由题意可得，()2
210010302040 4.762 3.84150503070
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯，参照附表，可得：在犯错
误的概率不超过005的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”，故答案为
005.
【方法点睛】
本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据
制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()
2
2n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查
表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也
仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.） 16．②③④ 【分析】
利用特殊值法可判断①的正误 ; 推导出当 0a < 时 2
0,1
a
e a ->- 从而可判断②的正误；对函数()11x
x f x e x +=-
-，化简得2()11
x
f x e x =-
--，定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞， 利用函数单调性的性质，得到函数的单调性，结合零点存在定理可判断③的正误; 利用导数的几何意义得到0
001
1
x x e x +=
-，进而可判断④的正误. 【详解】
(0)2f =，3
3
223()5352(0)2
f e f =-<-<=， 所以，函数()y f x =在其定义域上不是增函数，①错； 当0a <时，0a e >，2
01
a ->-， 则2
()11a
f a e a =-
--1>-，②正确； 函数()11x x f x e x +=--，化简得2()11
x
f x e x =-
--， 定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，
由函数单调性的性质，知函数在(,1)-∞，(1,)+∞单调递增；
22111
(2)0,(0)2033
f e f e --=-
=-<=>(2)(0)0,f f ∴-⋅< 即函数 ()y f x = 在区间():1-∞上有且仅有 1个零点
224545
559330,(2)30,(2)044f e f e f f ⎛⎫
⎛⎫
=-<-<=->∴⋅< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
所以，函数()y f x =区间(1,)+∞上有且仅有1个零点. 因此，函数()y f x =有且仅有两个零点，③正确；
x y e =在点 ()()0
00
,1x
x e x
≠ 处的切线l 的方程 ()000-=-x x y e e x x ，
即:l 000(1)x
x
y e x x e =--，
又l 也是ln y x =的切线, 设切点为11(,ln )x x ， 则1111ln ()-=
-y x x x x ，即:l 11
1
1ln y x x x =-+， 则0
1
1x e x =
且001(1)1ln x x e x -=-，化简得000(1)1x
x e x -=+， 则0
0011
x x e x +=
-,则0
0001()01x x f x e x +=-
=-， 故0x 必是函数()y f x =的零点，④正确； 故答案为：②③④. 【点睛】
本题考查了函数单调性、零点个数以及不等式的判断，同时也考查了导数的几何意义，考查了推理能力，属于中等题. 17．（1）6
C π
=；（2
）3
c =
. 【分析】
（1
）首先根据正弦定理得到222a b c +-=，再代入cos C 计算即可得到答案. （2
）首先利用正弦定理面积公式得到b =c 即可. 【详解】
（1）因为()(
))
sin sin sin a c A B b B +-=-，
由正弦定理得)
2
2
a c
b b -=
-，
即222a b c +-=，
由余弦定理得222cos 222
a b c C ab ab +-===
. 因为0C π<<，所以6
C π
=
.
（2）因为4a =，ABC
面积为
3
，
所以
1sin 2ab C =
11422b ⨯⨯=，
解得3
b =
.
由余弦定理得22216162cos 16243323
c a b ab C =+-=+
-⨯⨯⨯=，
所以3
c =
. 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查正弦定理角化边公式和面积公式，属于基础题. 18．（1）()1
*
2n n a n -=∈N ；
（2）1
1
12
1
n +--.
【分析】
（1）由数列{1}n S +是公比为2的等比数列求得n S ，再由1(2)n n n a S S n -=-求数列的通项公式；
（2）把（1）中求得的通项公式与前n 项和代入1
11
,*(1)n n n n a b n N a S +++=∈-，然后裂项相消求
数列{}n b 的前n 项和n T ． 【详解】
解：（1）∵11a =，∴11112S a +=+=. ∵数列{}1n S +是公比为2的等比数列， ∴1
122
2n n n S -+=⋅=，
∴21n
n S =-.
当2n ≥时，1
121n n S --=-，
∴(
)1
11212
12n
n n n n n a S S ---=-=---=.
显然11a =适合上式，∴()
1
*2n n a n -=∈N . （2）由（1）知12n
n a +=，1
12
1n n S ++=-，
∴()()()
()*
111
11211121212121n n n n n n n n n a b n a S +++++===-∈-----N ， ∴12n n T b b b =++
+
223
11
1111
1212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1
112
1
n +=-
-.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题． 19．（1）证明见解析；（2）1
3
-. 【分析】
（1）先由面ABCD ⊥面SBC ，可证得SM ⊥平面ABCD ，证得SM AM ⊥，再证得
AM ⊥平面SMD ，证得AM SD ⊥；
（2）建系设点，用空间坐标分别求面BSA 和面SAD 的法向量，求得二面角B SA D --的余弦值. 【详解】
（1）∵SB SC =，M 是BC 的中点，∴SM BC ⊥. ∵平面ABCD ⊥平面SBC ，SM ⊂面SBC ，面SBC
面ABCD BC =，
∴SM ⊥平面ABCD ，又∵AM ⊂平面ABCD ，∴SM AM ⊥. ∵ABCD 是矩形，M 是BC 的中点，1AB =，2BC =， ∴AM MD ⊥，又MD
SM M =，∴AM ⊥平面SMD .
∵SD ⊂平面SMD ，∴AM SD ⊥.
（2）由（1）知SM ⊥平面ABCD ，过点M 作MN AB ，交AD 于N ，
则MN ，MC ，MS 两两垂直.以M 为坐标原点，
以MN ，MC ，MS 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间坐标系M xyz -，
则()0,0,0M ，()0,1,0B -，()1,1,0D
，(S ，()1,1,0A -
.
(
0,1,SB =-，()0,2,0AD =
，(AS =-.
设平面BAS 的法向量为()111,,n x y z =，
则00n SB n AS ⎧⋅=⎨⋅=⎩，
∴111110
y x y ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩，令11z =，得()
0,2,1n =-.
设平面DAS 的法向量为()222,,n x y z =，
则00m AD m AS ⎧⋅=⎨⋅=⎩，
∴222220
y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21z =，得(
)
2,0,1m =
.
∴1
cos ,||||3
3n m n m n m ⋅<>=
==⋅⋅，
又二面角B SA D --是钝二面角，故二面角B SA D --的余弦值为1
3
-. 【点睛】
本题考查了面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定与性质，用向量坐标求二面角的余弦值，属于中档题.
20．（1）22
16
4
x y +=；
（2）1k 2k 是定值；答案见解析. 【分析】
（1）设椭圆的半焦距为c . ()0,2A -
在椭圆上由222
2c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩
求解.
（2）设直线l 的方程为1y kx =+，由22
164
1x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()
22
32690k x kx ++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，根据()0,2A -，得到1112y k x +=
，222
2
y k x +=，然后相乘，并将韦达定理代入求解. 【详解】
（1）设椭圆的半焦距为c .
∵椭圆的离心率为
3
，点()0,2A -在椭圆上，
∴2222
c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪+=⎪⎪⎩
.
解得a =
2b =
，c =∴椭圆的方程为22164
x y +=.
（2）当k 变动时，12k k 为定值－2. 证明如下：设直线l 的方程为1y kx =+.
由22
1641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()
22
32690k x kx ++-=. 设()11,C x y ，()22,D x y ， 则122632k
x x k +=-
+，122
932
x x k =-+. 因为()0,2A -， 所以1112y k x +=
，222
2
y k x +=，
所以()()1212121212
3322kx kx y y k k x x x x ++++=⋅=， ()2121212
39k x x k x x x x +++=， 222639322932
k k k k k ⎛⎫⋅-+ ⎪+⎝⎭=+=--+. 【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系，定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21．（1）70；（2）0.8186；（3）分布列见解析；期望为
98
. 【分析】
（1）根据频率分布直方图直接计算平均数；（2）由条件可知70μ=，10σ=，并根据数据计算正品的概率；（3）由条件可知优等品的件数0,1,2,3X =，根据超几何分布的概率公式计算概率，列出分布列和计算数学期望.
【详解】
（1）由频率分布直方图可知， 4656566666760.010100.020100.04510222
x +++=⨯⨯
+⨯⨯+⨯⨯ 768686960.020100.005107022+++⨯⨯+⨯⨯=. （2）由题意可知，样本方差2100s =
，故10σ=，
所以质量指标值()270,10Y N ，
该厂生产的产品为正品的概率
()()()609060707090P P Y P Y P Y =<<=<<+<<
()10.68270.95450.81862
=+=. （3）X 的可能取值为0，1，2，3，则
()0335385028C C P X C ===，()12353815128
C C P X C ===， ()21353815256C C P X C ===，()3035381356
C C P X C ===. 所以X 的分布列为
数学期望()51515190123282856568
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查超几何分布，正态分布，频率分布直方图计算平均数，重点考查读懂题意，并能概括抽象出概率问题，属于中档题型. 22．(1) 2,1a b ==；(2)(] ,2-∞.
【分析】
（1）根据切线斜率，以及导数值，即可求得参数；
（2）分离参数，利用导数求解函数值域，即可容易求得结果.
【详解】
（1）因为()x f x xe ax b =-+，故可得()()1x f x e x a '=+-， 又因为在0x =处的切线方程为：1y x =-+，
故可得()011f a =-'=-，解得2a =；
又()0,1在函数()f x 的图像上，
故可得1b =；
综上所述：2,1a b ==.
（2）因为当0x >时，()ln f x x x m -+，
等价于1x xe lnx x m --+≥在区间()0,+∞上恒成立.
令() 1x
h x xe lnx x =--+，则只需()min h x m ≥即可. 故可得()()()11x x xe h x x
+'-=，令()1x m x xe =-， 容易知()m x 其在()0,+∞为单调增函数，且()10,102
m m ⎛⎫
⎪⎝⎭， 故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()00010x m x x e =-=.且()0h x '=，即001x x e =， 则()h x 在区间()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增.
故()()000000000
1112x min h x h x x e lnx x x x x x ==--+=⨯+-+=， 故要满足题意，只需2m ≥，
即(],2m ∈-∞.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，以及利用导数求解恒成立问题，属综合中档题.。