3.1.2均值不等式(1)

a , b R 练习2已知 ，求证： ab 4a b 4 8 ab
证明：
(a 1)b 4(a 1) (a 1)(b 4) 2 a 2 4b 8 ab
当且仅当
a 1, b 4
取 “=”
例2、（1）一个矩形的面积为100m2.问这个 矩形的长、宽各为多少时，矩形周长最短？ 最短周长是多少？
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a, b R
ab
如果a, 均值不等式：
ab + b∈R ，那么 2
ab
（当且仅当a=b时，式中等号成立）
2 2 证明： ∵ ( a ) ( b) 2 a b
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
b a b a 2 2 a b a b b a 当且仅当 ,即a 2 =b 2时等号成立 a b
a b 证明：因为ab 0, 所以 0, 0 b a
因为ab 0, 所以式中等号成立的条件是a b
练习1、已知 a, b R ，求证

1 1 ( a )(b ) 4 a b
ab ab 2
A
ab ab 2 C
a+b 2 ab
aO
D
b
B
ab 把 2 看做两个正数a，b 的等差中项， ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
b a 例1、已知ab>0，求证： 2 a b
并推导出式中等号成立的条件。
ab 的方法，作出长度为 和 2
ab
的两条线段，然后比较这两条线段的长。 具体作图如下： （1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b, （2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
（4）连接AC，BC，CA，则
ab OC 2
CD ab
当a≠b时，OC>CD，即 当a=b时，OC=CD，即
3.2 均值不等式
重要不等式： 如果a，b∈ R， 那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”） 证明： a 2 b 2 2ab (a b) 2
当a b时， ( a b) 0 2 当a b时， ( a b) 0
2
a b 2ab
2 2
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
注意1．适用的范围：a, b 为非负数.
2．语言表述：两个非负数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a≥0,b≥0) 2
称为基本不等式
几何直观解释： 令正数a，b为两条线段的长，用几何作图
72 108 6( x ) 108 72 2 x
DP a, PC AP x a
AD 12 x,(12 x) a ( x a)
2 2 2
B
D
P
C
72 1 72 a 12 S ADP (12 x) (128 72 2
又xy 24, x 0, y 0 所以x 6, y 4
此时4 x 6 y的最小值为48
练习2.已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值． 8
练3：设矩形ABCD（AB>BC）的周长为24，把它沿对角线AC 对折，折过去后，AB交DC于点P，设AB=x，求ADP的最大 面积以及相应的x的值。
（2）已知矩形的周长为36m,问这个矩形 的长、宽各为多少时，它的面积最大？ 最大面积是多少？
练习1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小 值，并说明此时x,y的值．
解： 4x 6 y 2 4x 6 y 2 24 24 48
当且仅当 4x 6 y 时等号成立