江西省吉安市碧溪中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试卷含解析

江西省吉安市碧溪中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2
的距离之和等于5，则这样的直
线 ( ) A．有且仅有一条； B．有且仅有两条；C．有无穷多条； D．不存在；
参考答案：
2. 已知集合，，则（）
A．[1,+∞) B．[2,+∞) C．(－∞,0]∪[2,+∞) D．[0,+∞)
参考答案：
B
3. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数
的图象可能是（）
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
因为。

故答案为：C
4. 已知，则a，b，c大小关系为
A. B. C. D.参考答案：
A
5. 的展开式中常数项等于
A．1 5 B．一l 5 C．20 D．一20
参考答案：
A
6. 设是定义在上的奇函数，且当时，，若对于任意的，不等式
恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
A
略
7. 己知△ABC的外心、重心、垂心分别为O，G，H，若，则=
（A）3 （B）2 （C）（D）
参考答案：
A
8. 对于函数“y=f(x)为奇函数”是“函数的图象关于y轴对称”是的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件参考答案：
B
9. 2016年1月1
日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市
选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：
）
参考公式：x2=，其中n=n11+n12+n21+n22．
参考数据：
参考答案：
A
【考点】独立性检验的应用．
【分析】根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论．
【解答】解：由题意，K2=≈3.030＞2.706，
∴有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．
故选A．
10. 已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
参考答案：
B
【分析】
根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【详解】A选项，若，，，，则或与相交；故A错；
B选项，若，，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；
C选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；
D选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错；
故选B
【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知复数z=，则||= ．
参考答案：
【考点】A8：复数求模．
【分析】根据复数的混合运算化简z，再根据复数的模的定义即可求出
【解答】解：z====1+i，
∴|z|==，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的混合运算和复数的模，属于基础题．
12. 直线与圆的位置关系是 .
参考答案：
相交
13. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数m；最后再根据统计数m来估计的值.假如统计结果是m=34，那么可以估计__________.（用分数表示）
参考答案：
【知识点】几何概型；简单线性规划E5 K3
由题意，120对都小于l的正实数对（x，y）；，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角
三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为﹣，因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m=94，所以，所以π=．故答案为：．
【思路点拨】由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数x，y，满足，面积为1，两个数
能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为﹣，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．
14. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了
10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图
（如图所示）。

为了分析居民的收入与年龄、学历、职
业等方面的关系，在从这10000人中再用分层抽样方法
抽出100人作进一步调查，则在（2500，3500元/月）
收入段应抽出人。

参考答案：
40
15. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件，则该校招聘的教师最多是名.
参考答案：
10
16. 设，函数的值域为，若，则的取值范围是.
参考答案：
略
17. （坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（），曲线的极坐标方程是，正六边形的顶
点都在上，且、、、、、依逆时针次序排列。

若点的极坐标为，则点的直角坐标为．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B+C）=，a=1，求△ABC的面积的最大值．
参考答案：
【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】综合题；解三角形．
【分析】（Ⅰ）先化简函数，利用三角函数的性质求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x 的集合；
（Ⅱ）利用f（B+C）=，求出A，根据a=1，利用余弦定理，结合基本不等式，即可求△ABC的面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=﹣cos2x﹣sin2x+1+cos2x=cos（2x+）+1，
∴f（x）的最大值为2，此时2x+=2kπ，∴x=kπ﹣，
∴使f（x）取最大值时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；
（Ⅱ）∵f（B+C）=，
∴cos[2（B+C）+]+1=，
∴B+C=，
∴A=．
∵a=1，
∴1=b2+c2﹣2bc?≥2bc﹣bc，
∴bc≤1，
∴S==bc≤，
∴△ABC的面积的最大值为．
【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦定理，三角形的面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19. 已知向量,函数．
（1）求函数的最小正周期;
（2）已知分别为内角A，B，C的对边, 其中Ａ为锐角,,且,求Ａ，和的面积Ｓ．
参考答案：
解: （Ⅰ）因为,所以
（Ⅱ）
因为，所以，
则，所以，即
则
从而
略
20. （本小题满分12分）
已知函数R，是函数的一个零点.
（1）求的值，并求函数的单调递增区间；
（2）若，且，，求的值.
参考答案：
（1），Z；（2）．
试题分析：（1）由是函数的一个零点得，代入，用辅助角公式化简，得
，利用正弦函数的单调递增区间即可求出函数的单调递增区间；（2）先将已知条件进行化简，再利用求出和的值，进而展开，代入数值．
试题解析：（1）解：∵是函数的一个零点，
∴ . …………………………………………1分
∴
. ………………………………………………2分
∴
………………………………………………3分
. ………………………………………………4分由，Z ，
得，Z ，………………………………………………5分
∴ 函数的单调递增区间是Z. …………………6分
（2）解：∵，
∴.
∴
. (7)
分
∵ ，
∴ . ………………………………………………8分∵，
∴.
∴ . (9)
分
∵ ，
∴ . ……………………………………………10分∴…………………………………………11分
. ………………………………………………12分
考点：1、函数的零点；2、辅助角公式；3、三角函数的单调性；4、诱导公式；5、同角三角函数的基本关系；6、两角和的正弦公式．
21. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋1|，
(1)解不等式f(x)≥2x＋1；
(2)x∈R，使不等式f(x－2)－f(x＋6)＜m成立，求m的取值范围。

参考答案：
(1)当x＋1≥0即x≥－1时，x＋1≥2x＋1，∴－1≤x≤0，
当x＋1＜0即x＜－1时，－x－1≥2x＋1，∴x＜－1，
∴不等式的解集为{x|x≤0}…………………………………………5分
(2)∵f(x－2)＝|x－1|，f(x＋6)＝|x＋7|，∴|x－1|－|x＋7|＜m，
∵x∈R，使不等式|x－1|－|x＋7|＜m成立，∴m大于|x－1|－|x＋7|的最小值
∴m＞－8…………………………10分
22. 已知函数f(x)=sinωx·cosωx﹣+cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，角A是锐角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．
参考答案：
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+），
利用周期公式可求ω，可得函数解析式，进而由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由，又角A是锐角，可求A的值，利用余弦定理可求bc=1，根据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）
=，…
∴T==π，从而可求ω=1，…
∴f（x）=sin（2x+）…
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得：，
所以f（x）的单调递增区间为：．…
（Ⅱ）∵f（A）=0，∴，又角A是锐角，
∴，
∴，即．…
又a=1，b+c=2，
所以a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣3bc，∴1=4﹣3bc，
∴bc=1．…
∴．…。