2018版高三新课标版·数学(理)总复习题组层级快练61含解析

题组层级快练（六十一)
1．若椭圆错误!＋错误!＝1过点(－2，错误!)，则其焦距为( )
A．2 5 B．2错误!
C．4错误!D．4错误!
答案D
解析∵椭圆过（－2，错误!），则有错误!＋错误!＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12,c＝2错误!，2c＝4错误!。

故选D。

2．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b>0)的焦点分别为F1，F2，b＝4,离心率为错误!.过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．10 B．12
C．16 D．20
答案D
解析如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a,又
e＝错误!＝错误!，即c＝错误!a，∴a2－c2＝错误!a2＝b2＝16.∴a＝5，△ABF2的周长为20.
3．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为错误!，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（)
A。

x2
4
＋错误!＝1 B。

错误!＋错误!＝1
C。

错误!＋y2＝1 D。

错误!＋错误!＝1
答案A
解析圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝16。

知其半径r＝4，∴长轴长2a＝4，∴a＝2.
又e＝错误!＝错误!，∴c＝1,b2＝a2－c2＝4－1＝3。

∴椭圆的标准方程为
错误!＋错误!＝1.
4．已知曲线C上的动点M（x，y),向量a＝（x＋2，y)和b＝（x－2，y）满足｜a|＋|b|＝6，则曲线C的离心率是（)
A。

错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
答案A
解析因为|a｜＋｜b|＝6表示动点M(x，y)到两点（－2，0)和（2，0)距离的和为6，所以曲线C是椭圆且长轴长2a＝6，即a＝3.又c＝2，∴e＝错误!.
5．已知椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!,则m的值为（）A．3 B．3或错误!
C。

错误!D。

错误!或错误!
答案B
解析若焦点在x轴上，则有错误!∴m＝3。

若焦点在y轴上，则有错误!∴m＝错误!.
6．已知圆（x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2,0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（) A．圆B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
答案B
解析点P在线段AN的垂直平分线上，故｜PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，∴｜PM|＋｜PN｜＝|PM|＋｜PA|＝|AM｜＝6〉|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．
7．(2017·河北邯郸一模）已知P是椭圆错误!＋错误!＝1（0〈b<5）上除顶点外一点，F1是椭圆的左焦点,若|错误!＋错误!｜＝8，则点P到该椭圆左焦点的距离为( )
A．6 B．4
C．2 D。

5 2
答案C
解析取PF1的中点M,连接OM，错误!＋错误!＝2错误!，∴|OM|＝4。

在△F1PF2中，OM是中位线，∴｜PF2|＝8。

∴|PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10，解得｜PF1|＝2，故选C.
8．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）
A。

错误! B.错误!
C.错误!D。

错误!
答案B
解析由题意有2a＋2c＝2(2b）,即a＋c＝2b。

又c2＝a2－b2，消去b整理,得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，
∴e＝3
5
或e＝－1（舍去)．
9．(2017·广东韶关调研）已知椭圆与双曲线错误!－错误!＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于( )
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!
答案B
解析因为双曲线的焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0)，因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以
根据椭圆的定义可得2a＝10⇒a＝5，则c＝错误!＝4，e＝错误!＝错误!，故选B.
10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为（)
A.错误!－1 B．2－错误!
C.错误!
D.错误!
答案A
解析由题意知∠F1MF2＝错误!，|MF2|＝c,|F1M｜＝2a－c,则c2＋(2a －c）2＝4c2,e2＋2e－2＝0,解得e＝3－1.
11．（2017北京丰台期末）若F（c，0)为椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b>0)的右焦点，椭圆C与直线错误!＋错误!＝1交于A，B两点,线段AB的中点在直线x＝c上，则椭圆的离心率为( )
A。

错误!B。

错误!
C.错误!D。

错误!
答案B
解析因为直线错误!＋错误!＝1在x，y轴上的截距分别为a，b,所以A(a,0),B(0，b)．又线段AB的中点在直线x＝c上，所以c＝错误!，即e＝错误!＝错误!.
12．(2017·浙江金丽衢十二校联考）已知F1,F2分别是椭圆C：错误!＋
错误!＝1(a〉b>0）的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是（) A．［错误!，1) B．［错误!，错误!］
C．［1
3
，1）D．(0，错误!]
答案C
解析设P(x，y)，则|PF2｜＝a－ex，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则｜PF2|＝｜F1F2|,∴a－ex＝2c,∴x＝错误!＝错误!。

∵－a≤x≤a，∴错误!≤a,∴错误!≥错误!，∴错误!≤e〈1。

故椭圆C的离心率的取值范围是[错误!,1）．
13．(2017·上海市十三校联考）若椭圆的方程为错误!＋错误!＝1,且此椭圆的焦距为4,则实数a＝________．
答案4或8
解析①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2）＝22，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－（10－a）＝22，解得a＝8。

14．（2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x2
16
＋错误!＝1的三个顶点，
且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
答案(x－错误!）2＋y2＝错误!
解析设圆心为（a，0)(a〉0），则半径为4－a，则（4－a)2＝a2＋22,解得a＝错误!，故圆的方程为(x－错误!）2＋y2＝错误!。

15．(2016·课标全国Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b>0)的左焦点,A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．
答案错误!
解析设E(0，m),则直线AE的方程为－x
a
＋错误!＝1，由题意可知M
（－c，m－错误!)，（0，错误!）和B（a，0)三点共线，则错误!＝错误!,化简得a＝3c,则C的离心率e＝错误!＝错误!。

16。

如图，已知椭圆x2
a2
＋错误!＝1(a〉b>0），F1，F2分别为椭圆的左、
右焦点，A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
（2)若椭圆的焦距为2，且错误!＝2错误!，求椭圆的方程．
答案（1)错误!（2)错误!＋错误!＝1
解析（1）若∠F1AB＝90°,则△AOF2为等腰直角三角形．
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c。

所以a＝错误!c，e＝错误!＝错误!. (2）由题知A（0，b），F2（1，0),设B(x,y），由错误!＝2错误!,解得x＝错误!,y ＝－错误!。

代入错误!＋错误!＝1，得错误!＋错误!＝1。

即错误!＋错误!＝1，解得a2＝3。

所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1.
17．（2014·新课标全国Ⅱ）设F1,F2分别是椭圆C：x2
a2
＋错误!＝1（a〉
b〉0）的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N。

（1)若直线MN的斜率为错误!，求C的离心率；
（2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5｜F1N｜，求a，b.
答案（1）错误!（2）a＝7，b＝2错误!
解析(1)根据c＝错误!及题设知M错误!，错误!＝错误!，2b2＝3ac。

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得错误!＝错误!,错误!＝－2(舍去）．故C的离心率为错误!.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点．故错误!＝4，即b2＝4a。

①由|MN|＝5｜F1N｜，得｜DF1｜＝2｜F1N|.
设N（x1,y1)，由题意知y1<0，则错误!即错误!
代入C的方程,得错误!＋错误!＝1.②
将①及c＝a2－b2代入②得错误!＋错误!＝1。

解得a＝7，b2＝4a＝28。

故a＝7,b＝27。

1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为错误!,则该椭圆方程为（）
A.x2
144＋
y2
128
＝1 B.错误!＋错误!＝1
C.错误!＋错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1
答案D
解析∵2a＝12，错误!＝错误!，∴a＝6,c＝2，b2＝32.∴椭圆的方程为错误!
＋错误!＝1.
2．(2014·大纲全国)已知椭圆C:错误!＋错误!＝1（a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为错误!，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点,若△AF 1B 的周长为4错误!，则C 的方程为( )
A.x 23
＋错误!＝1 B.错误!＋y 2＝1 C 。

错误!＋错误!＝1
D 。

错误!＋错误!＝1 答案 A
解析 利用椭圆的定义及性质列式求解．
由e ＝33
，得错误!＝错误!①.又△AF 1B 的周长为4错误!，由椭圆定义，得4a ＝4错误!,得a ＝错误!,代入①得c ＝1,∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为错误!＋错误!＝1.
3．若椭圆x 2
9
＋错误!＝1的离心率为错误!，则k 的值为（ ） A ．－21
B ．21
C ．－1925
或21 D.错误!或21 答案 C
解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝错误!.由错误!＝错误!,即错误!＝错误!，得k
＝－错误!；
若a2＝4＋k，b2＝9,则c＝错误!.由错误!＝错误!，即错误!＝错误!,解得k＝21。

4．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的两倍．则m的值为( ）
A.错误!
B.错误!
C．2 D．4
答案A
解析将原方程变形为x2＋错误!＝1.
由题意知a2＝错误!，b2＝1，∴a＝错误!，b＝1。

∴错误!＝2，∴m＝错误!. 5．(2016·北京海淀期末练习)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,若点P是椭圆C 上的动点,则错误!·错误!的最大值为( )
A.错误!
B.错误!
C。

错误! D.错误!
答案B
解析由椭圆方程知c＝错误!＝1，所以F1（－1,0)，F2(1，0)．因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0），代入椭圆方程可得y02＝错误!，所以y0＝±错误!。

设P（x1,y1)，则错误!＝(x1＋1,y1），错误!＝(0，y0），
所以F1P，→·错误!＝y1y0.
因为点P是椭圆C上的动点，所以－错误!≤y1≤错误!，错误!·错误!的最大值为错误!。

故B正确．
6．如图，已知椭圆C：x2
a2
＋错误!＝1（a>b>0)，其中左焦点为F(－2
5,0）,P为C上一点，满足｜OP|＝｜OF｜,且|PF|＝4，则椭圆C 的方程为( ）
A.错误!＋错误!＝1
B.错误!＋错误!＝1
C.错误!＋错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1
答案B
解析设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1,如图所示．
由F（－25,0)，得c＝2错误!.由|OP｜＝|OF｜＝|OF1|，知PF1⊥PF。

在Rt△PFF1中,由勾股定理，得|PF1｜＝错误!＝错误!＝8。

由椭圆定义，得|PF1|＋|PF｜＝2a＝4＋8＝12,从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(25）2＝16，所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝
1.
7．（2017·贵州兴义第八中学第四次月考）设斜率为错误!的直线l与椭圆错误!＋错误!＝1（a>b〉0)交于不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）
A。

错误!B。

错误!
C。

错误!D。

错误!
答案C
解析由题意知，直线l与椭圆错误!＋错误!＝1（a>b〉0)两个交点的横坐标是－c,c,所以两个交点分别为（－c，－错误!c），（c,错误!c），代入椭圆得错误!＋错误!＝1，两边同乘2a2b2，则c2(2b2＋a2）＝2a2b2。

因为b2＝a2－c2，所以c2(3a2－2c2）＝2a4－2a2c2，所以错误!＝2或错误!.又因为0<e<1,所以e＝错误!＝错误!，故应选C。

8．（2017·郑州市高三预测)已知椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB 是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.错误!B．2－错误!
C。

5－2 D。

6－错误!
答案D
解析设｜F1F2|＝2c，｜AF1|＝m,若△ABF1是以A为直角顶点的等
腰直角三角形，则|AB|＝｜AF1｜＝m，｜BF1｜＝错误!m。

由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋错误!m，即m＝(4－2错误!)a,则｜AF2｜＝2a－m＝（2错误!－2）a，在Rt△AF1F2中,｜F1F2｜2＝｜AF1｜2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－错误!）2a2＋4(错误!－1）2a2，即有c2＝（9－6错误!）a2，即c＝(错误!－错误!a，即e＝错误!＝错误!－错误!,故选D。

9．（2013·辽宁)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a>b〉0）的左焦点F,C 与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF,BF.若|AB｜＝10，｜AF｜＝6,cos∠ABF＝错误!,则C的离心率e＝________．
答案5 7
解析如图所示．
根据余弦定理|AF｜2＝|BF｜2＋｜AB｜2－2|AB|·｜BF｜cos∠ABF,即｜BF|2－16｜BF｜＋64＝0，得|BF|＝8。

又｜OF|2＝|BF|2＋｜OB|2－2｜OB｜·|BF｜cos∠ABF，得|OF|＝5。

根据椭圆的对称性|AF｜＋|BF|＝2a＝14，得a＝7。

又|OF|＝c ＝5，故离心率e ＝57。

10．(2017·山西协作体）若椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．
答案 错误!
解析 由已知得，a ＝1,b ＝c ＝错误!，所以椭圆C 的方程为x 2＋错误!＝1，设A(x 0，y 0）是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 02＋2y 02＝3x 02,解得x 02＝错误!，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝（2x 0)2＝4x 02＝错误!。

11．已知P 是椭圆错误!＋错误!＝1上的一点，求点P 到点M(m ，0）(m>0)的距离的最小值．
答案 ①0〈m 〈1时，｜PM ｜min ＝2－m 2 ②m≥1时，｜PM|min ＝|m －2｜
解析 设P （x ，y ），则x,y 满足错误!＋错误!＝1,
∴y 2＝2－错误!，－2≤x≤2,∴|PM ｜＝错误!＝错误!
＝错误!＝错误!。

∴①若0〈2m 〈2，即0〈m<1时，x ＝2m 时，函数错误!（x －2m ）2＋2－m 2取最小值2－m 2，∴此时｜PM|的最小值为错误!。

②若2m≥2，即m≥1时，二次函数错误!(x－2m）2－m2＋2在［－2,2］上单调递减，
∴当x＝2时，函数错误!（x－2m）2＋2－m2取最小值(m－2)2。

∴此时|PM|的最小值为｜m－2|。