吉林省梅河口市高一数学下学期期中试卷 理(含解析)

2016-2017学年吉林省通化市梅河口高一（下）期中数学试卷（理科）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项符合题意，请将正确答案转涂到答题卡相应的位置）
1．不等式≤0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2） B． C．（﹣∞，﹣1）∪
2．下列命题正确的是（）
A．单位向量都相等
B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量
C．|+|=|﹣|，则•=0
D．若与是单位向量，则•=1
3．若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）
A．＞ B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b2
4．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）
A．﹣B． C．2 D．
5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）
A．B．C．D．
6．已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）
A．5 B．3 C．2 D．
7．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）
A．8 B．4 C．1 D．
8．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）
A．1 B．C．3 D．2
9．已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）
A．2 B．1 C．D．
10．若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）
A．2 B．﹣2 C．D．﹣
11．数列{a n}是递减的等差数列，{a n}的前n项和是S n，且S6=S9，有以下四个结论：
①a8=0；
②若对任意n∈N+，都有S n≤S k成立，则k的值等于7或8时；
③存在正整数k，使S k=0；
④存在正整数m，使S m=S2m．
其中所有正确结论的序号是（）
A．①② B．①②③C．②③④D．①②③④
12．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若
，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C．
D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案转填到答题卡相应的位置）
13．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于．
14．数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n项和为S n，则S2016= ．
15．设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，
=2，则向量在方向上的射影为．
16．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，当1≤x≤
4时，求出•的取值范围．
三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将正确答案转填到答题卡相应的位置）
17．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，
，．
（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．
18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=15，a3和a5的等差中项为9
（1）求a n及S n
（2）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．
19．解关于x的不等式（x+1）＞0（m∈R）．
20．已知数列{b n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a n}的通项，求数列{a n}的前n 项和T n．
21．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；
（2）求AC边的长．
22．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；
（3）求数列{a n}的前n项和S n，并求满足S n＞0的所有正整数n的值．
2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高一（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项符合题意，请将正确答案转涂到答题卡相应的位置）
1．不等式≤0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2） B． C．（﹣∞，﹣1）∪
【考点】7E：其他不等式的解法．
【分析】将“不等式≤0”转化为“不等式组
”，有一元二次不等式的解法求解．
【解答】解：依题意，不等式化为，
解得﹣1＜x≤2，
故选D
2．下列命题正确的是（）
A．单位向量都相等
B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量
C．|+|=|﹣|，则•=0
D．若与是单位向量，则•=1
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】由单位向量与向量相等的定义，判断A是错误的；
由零向量与任意向量方向相同，若是零向量时，B不一定成立；
由|+|=|﹣|，推出•=0，判断C是正确的；
由单位向量与数量积的定义，判断D是错误的．
【解答】解：对于A，单位向量是模长为1的向量，它们的方向是任意的，∴单位向量不一定相等，A错误；
对于B，∵零向量与任意向量方向相同，都共线，若是零向量，则与不一定共线，∴
B错误；
对于C，若|+|=|﹣|，则+2•+=﹣2•+，∴
4•=0，即•=0，∴C正确；
对于D，与是单位向量，且夹角为θ，∴•=1×1×cosθ=cosθ≤1，∴D错误．
综上，正确的命题是C．
故选：C．
3．若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）
A．＞B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b2
【考点】R3：不等式的基本性质．
【分析】利用不等式的基本性质即可得出．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b＞0，
∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，
可知：B，C，D都正确，
因此A不正确．
故选：A．
4．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）
A．﹣B．C．2D．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由向量模的公式可得||，再由向量投影的概念可得在上的投影等于
||cos120°．
【解答】解： =（﹣2，﹣4），可得||=2，
由题意可得在上的投影为
||cos120°=2×（﹣）=﹣．
故选B．
5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）
A．B．C．D．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．
【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，
∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，
∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，
∴A=．
故选D．
6．已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）
A．5 B．3 C．2D．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】首先画出不等式组表示的平面区域，根据图形分析|AM|的最小值的几何意义．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，
结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，
即|AM|min=．
故选：D．
7．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）
A．8 B．4 C．1 D．
【考点】7F：基本不等式；8G：等比数列的性质．
【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值
【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，
，
当且仅当即时“=”成立，
故选择B．
8．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）
A．1 B．C．3 D．2
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由已知将，|+2|=2，两边平方，得到，的模的等式，解之即可．
【解答】解：由已知，|+2|2=12，即，所以
||2+4||||×+4=12，所以||=2；
故选D．
9．已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）
A．2 B．1 C．D．
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵，a3a5=4（a4﹣1），
∴=4，
化为q3=8，解得q=2
则a2==．
故选：C．
10．若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）
A．2 B．﹣2 C．D．﹣
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，
故由约束条件作出可行域如图，
由kx﹣y+2=0，得x=，
∴B（﹣）．
由z=y﹣x得y=x+z．
由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．
此时，解得：k=﹣．
故选：D．
11．数列{a n}是递减的等差数列，{a n}的前n项和是S n，且S6=S9，有以下四个结论：
①a8=0；
②若对任意n∈N+，都有S n≤S k成立，则k的值等于7或8时；
③存在正整数k，使S k=0；
④存在正整数m，使S m=S2m．
其中所有正确结论的序号是（）
A．①② B．①②③C．②③④D．①②③④
【考点】8F：等差数列的性质．
【分析】由S6=S9，得到a7+a8+a9=0，利用等差数列的性质化简，得到a8=0，进而得到选项①正确；再由数列{a n}是递减的等差数列以及a8=0，可得出当n等于7或8时，s n取最大值，选项②正确；利用等差数列的前n项和公式表示出S15，利用等差数列的性质化简后，将a8的值代入可得出S15=0，故存在正整数k，使S k=0，选项③正确；当m=5时，表示出S10﹣S5，利用等差数列的性质化简后，将a8=0代入可得出S10﹣S5=0，即S10=S5 ，故存在正整数m，使S m=S2m，选项④正确．
【解答】解：∵S6=S9，
∴a7+a8+a9=0，
由等差数列性质得：3a8=0，可得：a8=0，选项①正确；
∵数列{a n}是递减的等差数列，由已知a1＞a2＞…a7＞a8=0＞a9…，
∴当n等于7或8时，s n取最大值，选项②正确；
∵a8=0，则S15=（a1+a15）×15=15a8=0，
∴存在正整数k=15，使s k=0，选项③正确；
由等差数列性质，S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，即S10=S5 ，
∴存在正整数m=5，使s m=s2m，选项④正确，
则其中所有正确结论的序号是①②③④．
故选：D．
12．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若
，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C．
D．
【考点】3F：函数单调性的性质．
【分析】排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，分
x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．
【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选A．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案转填到答题卡相应的位置）
13．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于
．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】直接利用正弦定理，转化角为边的关系，利用大边对大角，余弦定理可求cosC的值，结合C的范围即可得解．
【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，
∴由正弦定理可得：a：b：c=3：5：7，
∴C为最大角，a=，b=，
∴由余弦定理可得：cosC===
﹣，
∵C∈（0，π），
∴C=．
故答案为：．
14．数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n项和为S n，则S2016= 3024 ．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】先求出的规律，进而得到的规律，即可求出数列的规律即可求出结论．
【解答】解：∵=0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…，
=0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…，
每四项的和为2，
∴数列{a n}每四项的和为2+4=6，
而2016÷4=504，
∴S2016=3024．
15．设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，
=2，则向量在方向上的射影为．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射
影为，运算求得结果．
【解答】解：∵、为单位向量，且和的夹角θ等于，∴
=1×1×cos=．
∵=+3， =2，∴=（+3）•（2）
=2+6=2+3=5．
∴在上的射影为=，
故答案为．
16．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，当1≤x≤
4时，求出•的取值范围．
【考点】7F：基本不等式；9R：平面向量数量积的运算．
【分析】设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y），可得f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．由于不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2y﹣y2）=f（y2﹣2y），再利用函数y=f（x）
为定义在R上的减函数，可得x2﹣2x≥y2﹣2y，即即或
又∵1≤x≤4，画出可行域．M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，
∴=x+2y=t．进而得出答案．
【解答】解：设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y），
∴f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．
∴不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2y﹣y2）=f（1﹣1﹣2y+y2）=f（y2﹣2y），
∵函数y=f（x）为定义在R上的减函数，
∴x2﹣2x≥y2﹣2y，
化为（x﹣1）2≥（y﹣1）2，
∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）为奇函数，
又函数y=f（x）在R上的为减函数，
化为（x﹣1）2≥（y﹣1）2，
即或
又∵1≤x≤4，画出可行域．
M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，∴=x+2y=t．
化为y=．
由图可知：当直线y=经过点A（4，﹣2）时，t取得最小值0．
当直线y=经过点B（4，4）时t取得最大值4+2×4=12．
综上可得：的取值范围是．
三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将正确答案转填到答题卡相应的位置）
17．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，
，．
（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．
【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．
（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．
【解答】证明：（1）∵m∥n
∴asinA=bsinB
即a•=b•．其中R为△ABC外接圆半径．
∴a=b
∴△ABC为等腰三角形．
（2）由题意，m•p=0
∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0
∴a+b=ab
由余弦定理4=a2+b2﹣2ab•cos
∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab
∴（ab）2﹣3ab﹣4=0
∴ab=4或ab=﹣1（舍去）
∴S△ABC=absinC
=×4×sin=
18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=15，a3和a5的等差中项为9
（1）求a n及S n
（2）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．
【分析】（1）根据S3=15，a3和a5的等差中项为9，列方程组解得：a1=3，d=2，写出通项公式a n和前n项和S n公式；
（2）由b n==（﹣），采用裂项法求数列的前n项和T n．
【解答】解：（1）∵数列{a n}为等差数列，所以设其首项为a1，公差为d，
∵S3=3a3，a3+a5=18，
，解得a1=3，d=2，
∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1，
a n=2n+1，
=n2+2n；
（2）由（1）知a n=2n+1，
∴b n===（﹣），（n∈N*），
数列{b n}的前n项和T n，T n=b1+b2+b3+…+b n，
=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），
=1﹣，
=．
19．解关于x的不等式（x+1）＞0（m∈R）．
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】通过对m分类讨论，比较出相应的方程的实数根的大小，再利用一元二次不等式的解法即可得出．
【解答】解：下面对参数m进行分类讨论：
①当m=﹣3时，原不等式为x+1＞0，∴不等式的解为{x|x＜﹣1}．
②当m＞﹣3时，原不等式可化为．
∵，∴不等式的解为{x|x＜﹣1或．
③当m＜﹣3时，原不等式可化为．
∵，
当﹣4＜m＜﹣3时，原不等式的解集为
；
当m＜﹣4时，原不等式的解集为；
当m=﹣4时，原不等式无解，即解集为∅．
综上述，原不等式的解集情况为：
①当m＜﹣4时，解集为；
②当m=﹣4时，无解，即∅；
③当﹣4＜m＜﹣3时，解集为；
④当m=﹣3时，解集为{x|x＜﹣1}；
⑤当m＞﹣3时，解集为{x|x＜﹣1或．
20．已知数列{b n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a n}的通项，求数列{a n}的前n 项和T n．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（I）利用递推关系即可得出；
（II）=（3n﹣2）•2n+（﹣1）n•2n．设数列{（3n ﹣2）•2n}的前n项和为A n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：：（I）∵数列{b n}的前n项和，∴b1=B1==1；
当n≥2时，b n=B n﹣B n﹣1=﹣=3n﹣2，当n=1时也成立．
∴b n=3n﹣2．
（II）=（3n﹣2）•2n+（﹣1）n•2n．
设数列{（3n﹣2）•2n}的前n项和为A n，
则A n=2+4×22+7×23+…+（3n﹣2）•2n，
2A n=22+4×23+…+（3n﹣5）•2n+（3n﹣2）•2n+1，
∴﹣A n=2+3（22+23+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1=﹣4﹣（3n﹣2）•2n+1=（5﹣3n）•2n+1﹣10，
∴A n=（3n﹣5）•2n+1+10．
数列{（﹣1）n•2n}的前n项和==．
∴数列{a n}的前n项和T n=（3n﹣5）•2n+1+10．
21．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；
（2）求AC边的长．
【考点】HR：余弦定理．
【分析】（1）由同角的三角函数的关系和两角差的正弦公式即可求出；
（2）由正弦定理和余弦定理即可求出．
【解答】解：（1）因为cosB=，所以sinB=．
又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=，
所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）
=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB=×﹣（﹣）×=．
（2）在△ABD中，由=得=，
解得BD=2．
故DC=2，从而在△ADC中，由AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC
=32+22﹣2×3×2×（﹣）=16，
得AC=4．
22．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；
（3）求数列{a n}的前n项和S n，并求满足S n＞0的所有正整数n的值．
【考点】8K：数列与不等式的综合；88：等比数列的通项公式．
【分析】（1）直接由数列递推式求得a2，a3，a4的值；
（2）设，由结合数列递推式证得数列{}
是以，即为首项，以为公比的等比数列；
（3）由（2）求出a2n，并进一步得到a2n﹣1，从而得到a2n﹣1+a2n，求得S2n，再由S2n﹣1=S2n﹣a2n 求得S2n﹣1，得到满足S n＞0的所有正整数n的值．
【解答】（1）解：由a1=1，a n+1=，
得，，
；
（2）证明：设，
∵
=
=，
∴数列{}是以，即为首项，以为公比的等比数列；
（3）解：由（2）得，
即，
由，得
，
∴
，
∴S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）
=
=
=．显然当n∈N*时，{S2n}单调递减，
又当n=1时，＞0，当n=2时，＜0，
∴当n≥2时，S2n＜0；
，同理，当且仅当n=1时，S2n﹣1＞0，
综上，满足S n＞0的所有正整数n为1和2．。