几何空间中的向量及其运算

定义 如果两个向量α和β大小相等，方向相反，
则称β是α的反向量，记作 .
显然，如果β是α的反向量，那么α也是β的 反向量.
在平行四边形ABCD中
D
C
A
B
5 按定义，显然 AB BA .
AB CD AD CB
CB AD
定义 长度为0的向量称为零向量，记作 0 .
16
共线向量
定义 方向相同或相反的向量称为共线向量。 0 1
如α与β是共线的，可以记作α∥β.
17
定理 两个向量α，β共线的充分必要条件是存在 不全为零的数λ和μ，使 λα+μβ=0.
证明 必要性：设α与β共线，如果α≠0，有α的
模 0 ，因而有非负实数m使得： m 。
零向量实质上是起点与终点重合的向量， 它的方向是不确定的，也可以说它的方向是任 意的，可根据需要来选取它的方向。
定义 长度为1的向量称为单位向量 . 由于每个方向都有一个单位向量，若空间中
所有单位向量都以点O为起点，则这些向量的终 点就构成一个以O点为球心半径为1的球面.
6
2 向量的线性运算
(1) 加法
A
C


O

B
9
向量加法的三角形法则
定义 从一点O作向量 OA ，再由A点作向 量 AB ，称向量OB 是向量 OA与AB 的和，
记作 OA AB OB ，或α+β=γ。
B


O
A
10
由定义不难验证向量加法有下述性质： （1）α+β=β+α；（交换律） （2）(α+β)+γ=α+(β+γ)；（结合律） （3）α+0=0+α=α；
cdabbaab在平行四边形abcd中定义如果两个向量和大小相等方向相反则称是的反向量记作cbadadcb定义长度为0的向量称为零向量记作零向量实质上是起点与终点重合的向量它的方向是不确定的也可以说它的方向是任意的可根据需要来选取它的方向
第四章 几何空间中的向量
1
向量及其线性运算
1. 向量的基本概念 定义 既有大小又有方向的量称为向量。
当α与β同向时，可取λ=m，μ=－1， 而当α与β反向时，令λ=m，μ=1就都有λα+μβ=0。
其中λ，μ是不全为零的。
当α=0时，显然有1α +0β =0。
充设λ分≠0性，：则如有λα+μβ=0 ，。其 据中数λ ，乘μ向不量全的为定零义，，不知妨α
与β共线。

18
推论 两个向量α，β共线的充分必要条件是其中 一个向量可由另一个向量线性表示.
19
kα的方向规定为： k>0时，kα与α同向； k<0时，kα与α反向；
k=0，对任意α，有kα=0，方向任意.
特别地，如k=－1有(－1)α=－α；
如α=0，对任意实数k都有kα=0.
15
数乘向量的性质是： (1) 1α=α； (2) k( lα) = ( k l )α, k,l是实数； (3) (k+l)α= kα+ lα； (4) k(α+β) = kα+ kβ；
在物理中，作用于一点O的两个力的合力可 以用“平行四边形法则”表示出来.
设向量 OA,OB 分别表示这两个力，以OA，
OB为边作平行四边形OACB，那么此平行四边形
的对角线OC所构成的向量 OC 就是这两个力的合
力。
A
C
O
B
7
两次位移的合成一般用“三角形法则”.
由O位移至A，再由A位移至B，就相当于由O 位移至B。以O 为起点作向量 OA 表示由O到A的位 移，再以A为起点作向量 AB 表示由A到B的位移，
（4）α+(－α)=(－α)+α=0；
11
定义 α－β=α+(－





按三角形法则，α
－β是由β的终点到α的
终点的向量.
12
n个向量的和 n个向量1,2 ,,n 的和可用三角形法则以
折线一次画出
作 OA1 1 ，再由点 A1 作向量 A1 A2 2 , ，
最后由 n1 的终点 An1 作向量 An1 An n ，
那么，OAn 1 2 n
4
A4
A3
3
1 2 3

A2
1 2
2
A1
1 2 3 4
13
O
1
三角不等式
B


O
A
推广:
14
(2) 数乘
定义 实数k和向量α相乘是一个向量，记为 k， 它的模 k ，等于数k的绝对值与向量α的模的乘 积，即 k k .
在几何上，向量可以用一个有向线段来表示。 假设直线段的端点之一为起点，另一端点为终点， 这就确定了向量的方向，而直线段的长度反映了 向量的大小。如：
B
A
2
B
A
以A为起点，B为终点的向量用符号 AB 来表 示，向量 AB 的大小称为 AB 的长度，记作 AB ， 读作向量 AB 的模。
今后为了方便，也用黑体希腊字母α，β， γ… 或 a,b,c…, …表示向量。
3
定义 如果两个向量α和β大小相等，方向相同， 则称其为相等的向量，记作α=β。
由定义可知，两个相等的向量经过平行移动 可以重合在一起，即现在讲的向量是物理中的自 由向量，它只依赖于向量的大小和方向，而与位 置无关。
例如，在平行四边形ABCD中
D
C AB DC BA CD
A
4
B
AD BC
那么向量 OB 就表示这两次位移的合成。
B
O
A
向量的加法运算正是这些物理概念在数学上 的抽象和概括。
8
向量加法的平行四边形法则
定义 从一点O作向量 OA ,OB ，再以OA， OB为边作平行四边形OACB，称向量 OC 为向
量 OA与 OB之和，记作 OA OB ，OC或α+β=γ.