奇函数+常数M型问题典型练习题40道 (精美word版,有详细解答)

奇函数＋常数M 型问题典型练习题40道
(精美word 版，有详细解答)
一、单项选择题：
1．若对∀x ，y ∈R ．有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－4，则函数 g (x )＝
2x
x 2＋1
＋f (x ) 在[－2018，2018]上的最大值和最小值的和为( ) A ．4 B ．8 C ．6
D ．12
【答案】B
【解析】解：∀x ，y ∈R ，有 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－4， 取 x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)－4，故f (0)＝4， 取 y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )－4，故f (x )＋f (－x )＝8， 令 h (x )＝f (x )－4，则h (x )＋h (－x )＝0，故h (x )为奇函数.
∵ g (x )＝
2x x 2＋1＋f (x )，设φ(x )＝2x
x 2＋1
， 则 g (x )＝φ(x )＋h (x )＋4， ∵ φ(－x )＝－
2x
x 2＋1
＝－φ(x )，故φ(x )为奇函数， 故 y ＝φ(x )＋h (x )为奇函数，
故函数 g (x )在[－2018，2018]，上的最大值和最小值的和是8，故选：B ．
2．已知函数f (x )＝e x －e －
x ＋2x 2＋x ＋6
x 2＋3
，x ∈[－2020，2020]，函数f (x )的最大值、最小值分别为M ，m ，则
M ＋m ＝( ) A ．0 B ．2 C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】解：f (x )＝e x －e －
x ＋2x 2＋x ＋6x 2＋3＝e x －e －
x ＋x ＋2(x 2＋3)x 2＋3＝2＋e x －e －
x ＋x
x 2＋3，
令 g (x )＝e x －e －
x ＋x ，则g (－x )＝e －
x －e x －x ＝－(e x －e －
x ＋x )＝－g (x )，
可知 g (x )在x ∈[－2020，2020]，上为奇函数，又y ＝x 2＋3在x ∈[－2020，2020]上为偶函数， ∴ h (x )＝e x －e －x ＋x
x 2＋3在x ∈[－2020，2020]，上为奇函数，
设 h (x ) 在x ∈[－2020，2020]上的最大值为t ， 则最小值为－t ，可得 M ＝2＋t ，m ＝2－t ， 则 M ＋m ＝4．
故选：D ．
3．已知f (x )＝4·2010x ＋2
2010x ＋1
＋x cos x (－1≤x ≤1)，设函数f (x )的最大值是M ，最小值是N ，则( )
A ．M ＋N ＝8
B ．M －N ＝8
C ．M ＋N ＝6
D ．M －N ＝6
【答案】C
【解析】解：∵ g (x )＝4·2010x ＋22010x ＋1＝4·(2010x ＋1)－22010x ＋1＝4－－2
2010x ＋1，
由复合函数单调性的判断方法，知此函数在R 上为增函数 又 ∵y ＝x cos x 为R 上的奇函数，其最大值加最小值为0
∴ M ＋N ＝g (－1)＋g (1)＝8－－22010－1
＋1－－220101＋1＝8－2×20102010＋1－2
2010＋1＝8－2＝6 故选：C ．
4．已知函数 f (x )＝ln(x ＋)＋1
x
＋4在 [－8，8]上的最大值和最小值分别为 M ，m ，则 M ＋m ＝( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
【答案】A
【解析】解：设 F (x )＝f (x )－4，因F (x )＝ln ()x ＋1＋x 2＋1
x 为奇函数，
所以 F (x )max ＋F (x )min ＝0，所以[F (x )max －4]＋[F (x )min －4]＝0，所以M ＋m ＝8． 故选A ．
5．已知函数 f (x )＝a sin x ＋3(x ＋2)2
x 2＋4
(a 为非零常数)，当 x ∈[－2，2]，时，函数 f (x ) 的最大值与最小值的
和为( )
A ．a ＋3
B ．6
C ．2
D ．3－a
【答案】B
【解析】解：函数 f (x )＝a sin x ＋3(x ＋2)2x 2＋4＝a sin x x 2＋4＋12x
x 2＋4＋3，
设 g (x )＝a sin x x 2＋4＋12x
x 2＋4
，
则 g (x )在x ∈[－2，2]，上是奇函数，且为单调函数，所以 g (－2)＋g (2)＝0； 当 x ∈[－2，2]时，函数 f (x ) 的最大值与最小值的和为
f (2)＋f (－2)＝[
g (2)＋3]＋[g (－2)＋3]＝6．
故选：B ．
6．已知0＜a ≠1，函数f (x )＝4a x ＋2
a x ＋1
＋x cos x (－1≤x ≤1)，设函数f (x )的最大值是M ，最小值是N ，则( )
A ．M ＋N ＝8
B ．M ＋N ＝6
C ．M －N ＝8
D ．M －N ＝6
【答案】B
【解析】解：∵f (x )＝4a x ＋2a x ＋1＋x cos x ＝3＋a x －1
a x ＋1＋x cos x ，
令 g (x )＝a x －1
a x ＋1
＋x cos x ，则g (x )是奇函数，
∴ g (x )的值域为对称区间，设－m ≤g (x )≤m (m ＞0)，则3－m ≤f (x )≤3＋m ， ∴M ＝3＋m ，N ＝3－m ，M ＋m ＝6，故选：B ．
7．已知f (x )＝x 5(e x ＋e －
x )＋2，f (a )＝4，则f (－a )＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】解：根据题意，f (x )＝x 5(e x ＋e －
x )＋2，则f (－x )＝(－x )5(e －
x ＋e x )＋2， 相加可得 f (x )＋f (－x )＝4，则有f (a )＋f (－a )＝4， 若 f (a )＝4，则 f (－a )＝0，故选：B ．
8．已知函数f (x )＝m (e x －e －
x )＋3，若f (－x )＝4，则f (2)＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．8
【答案】C
【解析】解：根据题意，函数f (x )＝m (e x －e －
x )＋3，则f (－x )＝m (e －
x －e x )＋3， 则有 f (x )＋f (－x )＝6，
若 f (－2)＝4，则 f (2)＝6－4＝2；故选：C ．
9．已知函数f (x )和g (x )均为奇函数，h (x )＝a f (x )＋b g (x )＋2在区间(0，＋ ∞)上有最大值5，那么h (x )在(－
∞，0)上的最小值为( )
A ．－5
B ．－1
C ．－3
D ．5
【答案】B
【解析】解：令 F (x )＝h (x )－2＝a f (x )＋bg (x )，
则 F (x ) 为奇函数．∵x ∈(0，＋ ∞)时，h (x )≤5， ∴ x ∈(0，＋ ∞)时，F (x )＝h (x )－2≤3． 又 x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋ ∞)， ∴ F (－x )≤3⇔－F (x )≤3⇔ F (x )≥－3． ∴ h (x )≥－3＋2＝－1，故选：B ．
10．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x
x 2＋1
的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】解：函数 f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋
2x ＋sin x
x 2＋1
，
设 g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，定义域为R ，g (x )＋g (－x )＝2x ＋sin x x 2＋1＋－2x －sin x
x 2＋1＝0，
则 g (x ) 为奇函数， 即有 g (x ) 的最值为t ，－t ．
则 M ＋m ＝1＋t ＋1－t ＝2．故选：B ．
11．已知a ＞0，设函数f (x )＝2020x ＋
1＋2019
2020x ＋1
(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )
A ．2020
B ．2019
C ．4040
D ．4039
【答案】D
【解析】解：函数f (x )＝2020x ＋1＋20192020x ＋1＝2020×2020x ＋2010－12020x ＋1＝2020－1
2020x ＋1．
令 g (x )＝
1
2020x ＋1
，∴g (－x )＋g (x )＝1．
由于 g (x )在x ∈[－a ，a ]时单调递减函数，∴g (a ) min ＋g (－a )max ＝1 函数 f (x )＝2020x ＋
1＋2019
2020x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ＝2020－g (－a )max ；
最小值为N ＝2020－g (a )min ；
那么 M ＋m ＝4040－[g (x )min ＋g (x )max ]＝4039.故选：D ．
12．函数f (x )＝ln
3－x
x ＋1
＋(x 2－2x )sin(x －1)＋2x ＋1在[0，2]，上的最大值与最小值的和为( ) A ．－2 B ．2
C ．4
D ．6
【答案】D
【解析】∵ 函数f (x )＝ln 3－x x ＋1＋(x 2－2x )sin(x －1)＋2x ＋1＝ln 3－x
x ＋1＋[(x －1)2－1]sin(x －1)＋2x ＋1，
∴ f (2－x )＝ln 3－(2－x )
(2－x )＋1＋[(2－x －1)2－1]sin(2－x －1)＋2(2＋x )＋1
＝ln
x ＋1
3－x
－[(x －1)2－1]sin(x －1)＋5－2x ， f (x )＋f (2－x )＝ln 3－x x ＋1＋(x 2－2x )sin(x －1)＋2x ＋1＋ln x ＋1
3－x －[(x －1)2－1]sin(x －1)＋5－2x ＝6，
∴ f (x ) 的图象关于点(1，3)对称，
∴函数 f (x )＝ln 3－x
x ＋1
＋(x 2－2x )sin(x －1)＋2x ＋1在[0，2]上的最大值与最小值的和为
f (x )max ＋f (x )min ＝6．
故选：D ．
13.(2023春·山西大同·高三统考阶段练习)函数f (x )＝6e x ＋1＋mx
|x |＋1
的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝
( )
A .3
B .4
C .6
D .与m 的值有关
【答案】C
【解析】由题意可知，f (x )＝6e x ＋1＋mx |x |＋1＝3－3(e x －1)e x ＋1＋mx
|x |＋1，
设 g (x )＝－3(e x －1)e x ＋1＋mx
|x |＋1，则g (x )的定义域为R ，
且 g (－x )＝－3(e －
x －1)e －x ＋1＋－mx |x |＋1＝3(e x －1)e x ＋1－mx
|x |＋1＝－g (x )
∴ g (x )为奇函数，∴g (x )min ＋g (x )max ＝0，
∴ f (x )min ＋f (x )max ＝M ＋N ＝g (x )min ＋3＋g (x )max ＋3＝6，故选C .
14.(2023•全国•高三专题练习)已知函数f (x )＝(2x ＋1)2＋x •2x ＋
1
x ·2x
在[－2019，0)∪(0，2019]上的最大值为M ，
最小值为N ，则M ＋m ＝( )
A .4028
B .4
C .2
D .0
【答案】B
【解析】f (x )＝(2x ＋1)2＋x •2x ＋
1x ·2x ＝(2x ＋1)2
x ·2x
＋2
设 g (x )＝(2x ＋1)2x ·2x ，则g (－x )＝(2－
x ＋1)2－x ·2－x ＝
(2x ＋1)2
－x ·2x ＝－g (x )，g (x )为奇函数. ∴ g (x )min ＋g (x )max ＝0
∴ f (x )min ＋f (x )max ＝M ＋N ＝g (x )min ＋2＋g (x )max ＋2＝4，故选B .
15.(2023春·山西忻州高三统考阶段练习)已知函数f (x )＝3a ＋2sin x ＋a cos x
3＋cos x
的最大值与最小值之和为6，
则实数a 的取值范围为( )
A .2
B .3
C .4
D .5
【答案】B
【解析】f (x )＝3a ＋2sin x ＋a cos x 3＋cos x ＝a ＋ 2sin x
3＋cos x ，且定义域为R ，
令 g (x )＝2sin x
3＋cos x
，x ∈R .
∵ g (－x )＝2sin(－x )3＋cos(－x )＝－2sin x
3＋cos x
＝－g (x )
∴函数 g (x ) 为奇函数，∴ g (x )min ＋g (x )max ＝0，
∴ f (x )min ＋f (x )max ＝M ＋N ＝g (x )min ＋a ＋g (x )max ＋a ＝2a ＝6⇒a ＝3，故选B .
16.(2023春•江苏常州市第一高级中学高三开学考试)已知a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝5a x ＋3
a x ＋1＋ln ()1＋4x 2－2x
(－1≤x ≤1)，设函数f (x )的最大值为M ，最小值为N ，则 ( )
A . M ＋m ＝8
B . M ＋m ＝10
C . M －m ＝8
D . M －m ＝10
【答案】A
解析：f (x )＝5a x ＋3
a x ＋1＋ln ()1＋4x 2－2x (－1≤x ≤1)
令 g (x )＝ln ()1＋4x 2－2x ，x ∈[－1，1] 由 g (－x )＝ln ()1＋4x 2＋2x ＝ln
1
1＋4x 2
－2x
＝－ln ()1＋4x 2＋2x ＝－g (x )， 可知 g (x ) 为 [－1，1]上的奇函数， ∴ g (x )min ＋g (x )max ＝0，
又 5a x ＋3a x ＋1＝5－2a x ＋1＝4＋1－2a x ＋1，
记 h (x )＝1－2
a x ＋1
，
则 h (－x )＋h (x )＝1－2a －x ＋1＋1－2a x ＋1＝2－2a x a x ＋1－2
a x ＋1＝2－2(a x ＋1)a x ＋1＝2－2＝0，
∴ h (x )也为[－1，1]上的奇函数， ∴ h (x )min ＋h (x )max ＝0
∴ M ＋N ＝f (x )min ＋f (x )max ＝g (x )min ＋g (x )max ＋h (x )max ＋4＋h (x )min ＋4＝8.故A .
17.(2023春•河南焦作•温县一中校考)若函数 f (x )＝3•e x －
1－sin(x －1)
e |x －
1|
在区间 [－3，5]上的最大值、最小值分别为p 、q ，则 p ＋q 的值为( )
A .2
B .1
C .6
D .3
【答案】C
解析：f (x )＝3•e x －
1－sin(x －1)e |x －1|＝3－sin(x －1)
e |x －
1|， 则 f (x ＋1)＝3－sin x e x ⇒ f (x ＋1)－3＝sin x
e
x .
易知函数 f (x ＋1)－3为奇函数，它在 [－4，4]上的最大值、最小值之和为 0，
f (x ＋1)由 f (x ) 平移而获得，∴ f (x ＋1) 与 f (x ) 的最值相同，
∴ p －3＋q －3＝0 ∴ p ＋q ＝6，选C .
18.(2023春•福建厦门一中校考阶段练习)已知f (x )＝2x 2x ＋1＋ax ＋cos2x ，若f ⎝⎛⎭⎫π3＝2，则f ⎝⎛⎭⎫－π
3等于( )
A .－2
B .－1
C .0
D .1
【答案】A
解：∵ f (x )＝2x 2x ＋1＋ax ＋cos2x ，∴f (x )＋f (－x )＝2x
2x ＋1＋2－
x 2－x ＋1＋2cos x ＝1＋2cos2x ，
∴ f ⎝⎛⎭⎫π3＋f ⎝⎛⎭⎫－π3＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫－2π
3＝0
∴ f ⎝⎛⎭⎫－π
3＝－2，选A
19.(2013春·广西桂林·高一期中考试)已知函数f (x )＝ln ()1＋9x 2－3x ＋1，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 1
2＝( )
A .0
B .1
C .2
D .3
【答案】C
【解析】由于 1＋9x 2－3x ＞3|x |－3x ≥0 恒成立， 故 f (x )＝ln ()1＋9x 2－3x ＋1 的定义域为 R .
令 g (x )＝f (x )－1＝ln ()1＋9x 2－3x ，x ∈R ，则g (－x )＝ln ()1＋9x 2＋3x
而 g (x )＋g (－x )＝ln ()1＋9x 2－3x ＋ln ()1＋9x 2＋3x ＝ln1＝0. g (－x )＝－g (x )，故函数g (x )为奇函数.
∴ g (lg2)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 1
2＝g (lg2)＋g (－lg2)＝g (lg2)－g (lg2)＝0
∴ f (lg2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝g (lg2)＋1＋g ⎝⎛⎭⎫lg 1
2＋1＝2.选C .
20. (2023春·河南洛阳·高一孟津县第一高级中学校考)已知关于x 的函数f (x )＝
5x 3＋tx 2＋3x ＋sin x ＋t 2
x 2＋t
在 [－2022，2022]上的最大值为M ，最小值N ，且M ＋N ＝2022，则实数t 的值是( )
A. 674 B . 1011 C. 2022 D. 4044
【答案】B
【解析】∵ f (x )＝5x 3＋tx 2＋3x ＋sin x ＋t 2x 2＋t ＝5x 3＋t (x 2＋t )＋3x ＋sin x x 2＋t ＝t ＋5x 3＋3x ＋sin x
x 2＋t
，
x ∈[－2022，2022]
∴令 g (x )＝5x 3＋3x ＋sin x
x 2＋t
，x ∈[－2022，2022]，则f (x )＝g (x )＋t ，
g (x ) 定义域关于原点对称，且g (－x )＝5(－x )3＋3(－x )＋sin(－x )x 2＋t ＝－5x 3－3x －sin x
x 2＋t
＝－5x 3＋3x ＋sin x
x 2＋t
＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，
∴ g (x )max ＋g (x )min ＝0，
∴ M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋t ＋g (x )min ＋t ＝2t ＝2022⇒t ＝2011， 故选B ．
二、填空题：
21．已知函数 f (x )＝log 2()1＋2x 2＋2x ＋
2
e x
＋1
＋3，x ∈[－6，6]，，若f (x )的最大值为M ，最小值为m ，则 M ＋m ＝__________．
【答案】8
【解析】解：由题意可得 f (x )＝log 2()1＋2x 2＋
2x ＋2e x ＋1＋3＝log 2()1＋2x 2
＋2x ＋1－e x e x ＋1
＋4，
令函数 g (x )＝log 2(
)1＋2x 2＋
2x ＋1－e x
e x ＋1
，
定义域为 [－6，6]关于原点对称，且 g (－x ) ＝log 2(
)1＋2x 2－
2x ＋1－e －
x
e －x ＋1
＝－log 2(
)1＋2x 2
＋2x －1－e x
e x ＋1
＝－g (x )，
即函数 g (x )为奇函数，其最大值和最小值的和为0， 所以函数 f (x ) 的最大值和最小值的和M ＋m ＝4＋4＝8.
22．已知函数f (x )＝(x ＋1)2＋x 3
x 2＋1
＋m 在区间[－a ，a ](a ＞0)的最大值为M ，最小值为N ，若
M ＋N ＝6，则m ＝ ___________ ．
【答案】2
【解析】解：f (x )＝(x ＋1)2＋x 3x 2＋1＋m ＝x 2＋1＋2x ＋x 3x 2＋1＋m ＝1＋m ＋2x ＋x 3
x 2＋1，
令 g (x )＝2x ＋x 3
x 2＋1，定义域x ∈[－a ，a ]，关于原点对称，
g (－x )＝2(－x )＋(－x )3(－x )2＋1＝－2x ＋x 3
x 2＋1＝－g (x )，
所以 g (x ) 为奇函数，
则 g (x ) 在 [－a ，0] 和 [0，a ] 上的单调性相同，
当 x ∈[0，a ]上时，g ′(x )＝(3x 2＋2)(x 2＋1)－(x 3＋2x )(2x )(x 2＋1)2＝x 4＋5x 2＋2
(x 2＋1)2＞0恒成立，
所以 g (x )在[0，a ]单调递增，
所以 g (x )在[－a ，a ]单调递增，且g (－a )＋g (a )＝0 所以 f (x )在[－a ，a ]上单调递增，
所以 x ∈[－a ，a ] 上 f (x )max ＋f (x )min ＝f (－a )＋f (a )＝g (－a )＋1＋m ＋g (a )＋1＋m ＝2＋2m ， 由题意可得 2＋2m ＝6，解得 m ＝2，故答案为：2．
23．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －(x ＋1)2＋e x －e －
x 12(x 2＋1)
，则f (log 26)＋f (log 216)＝__________．
【答案】6
【解析】解：∵函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －(x ＋1)2＋e x －e
－x
12(x 2＋1)，
设 h (x )＝(x ＋1)2＋e x －e －
x 12(x 2＋1)＝2x ＋e x －e －x 12(x 2＋1)＋1
12，
令：g (x )＝2x ＋e x －e －
x
12(x 2＋1)
，
则g (－x )＝－2x ＋e －
x －e x 12[(－x )2＋1]＝－2x ＋e x －e －
x
12(x 2＋1)
＝－g (x )，
∴ h (x )＋h (－x )＝g (x )＋g (－x )＋112＋112＝1
6
⎝⎛⎭⎫12log 26 ＋⎝⎛⎭⎫12log 21
6
＝6＋16
∴ f (log 26)＋f (log 216)＝f (log 26)＋f (－log 26)＝6＋16－1
6＝6，故答案为：6．
24．已知函数 f (x )＝ax 3＋b sin x ＋1，若f (a )＝8，则f (－a )＝________．
【答案】－6
【解析】解：根据题意，设 g (x )＝f (x )－1＝ax 5＋b sin x ， 则 g (－x )＝a (－x )5＋b sin(－x )＝－(ax 5＋b sin x )＝－g (x )， 则 g (x )为奇函数， 则有 g (a )＋g (－a )＝0， 由于 g(a )＝f (a )－1＝7， 则 g (－a )＝f (－a )－1＝－7， 解可得 f (－a )＝－6.故答案为：－6
25．已知函数f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1在[－1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝_____．
【答案】4
【解析】解：∵ f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋(x －1)＋2 令 g (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋(x －1)，
而 g (2－x )＝(1－x )2sin(1－x )－sin(1－x )＋(1－x )， ∴ g (2－x )＋g (x )＝0，
则 g (x )关于(1，0)中心对称，则f (x )在[－1，3]上关于(1，2)中心对称． ∴ M ＋m ＝4． 故答案为：4．
26.已知函数f (x )＝2|x |＋
1＋cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π2＋2
2|x |＋1
的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 的值为_________.
【答案】4
【解析】f (x )＝2|x |＋
1＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋2
2|x |＋1＝2·2|x |－sin x ＋22|x |＋1＝2·(2|x |＋1)－sin x 2|x |＋1＝2－sin x
2|x |＋1
，
令 g (x )＝sin x
2|x |＋1
，易知 g (x ) 为奇函数，故 g (x )min ＋g (x )max ＝0，
∴ M ＋m ＝f (x )min ＋f (x )max ＝2－g (x )min ＋2－g (x )max ＝4－[g (x )min ＋g (x )max ]＝4.
27. (2023 秋•江西宜春·高二校考阶段练习)已知函数f (x )＝ln(x ＋1＋x 2
)＋3e x ＋1
e x ＋1
在区间(－k ，k ) (k
＞0)上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝_____________．
【答案】4
【解析】由 f (x )＝ln(x ＋1＋x 2
)＋3e x ＋1e x ＋1＝ln(x ＋1＋x 2)＋3－2e x ＋1
，则易知函数f (x )在R 上单调
递增，所以 M ＝f (k )＝ln(k ＋1＋k 2)＋3－2e k ＋1，m ＝f (－k )＝ln(－k ＋1＋k 2)＋3－2
e －k ＋1，故M
＋m ＝f (k )＋f (－k )＝ln1＋6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e k ＋1＋1e －k ＋1＝6－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e k ＋1＋11e k ＋1＝6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e k ＋1＋e
k
e k ＋1＝6－2＝4．
28. (2023春•山东济南•高三济南市历城第二中学校考阶段练习)函数f (x )＝ln(1＋x 2
－x )＋3e x ＋1
e x ＋1
(－
2≤x ≤2)，设函数f (x ) 的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N 的值为 ________.
【答案】 4
【解析】由题意，f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋3e x ＋1e x ＋1＝ln(1＋x 2
－x )＋2＋e x －1e x ＋1
，
不妨令 h (x )＝ln(1＋x 2－x )＋e x
－1
e x ＋1
＝f (x )－2，
∵ h (－x )＝ln(1＋x 2
＋x )＋e －
x －1 e －x ＋1＝ln(1＋x 2
＋x )＋1－e x
1＋e x
∴ h (x )＋h (－x )＝0，且－2≤x ≤2，∴h (x )为奇函数，图像关于原点对称， 故 h (x )max ＝f (x )max －2＝M －2，h (x )min ＝f (x )min －2＝N －2， ∴ 由奇函数的性质可知，M －2＋N －2＝0，∴M ＋N ＝4．
29. (2023春·福建厦门·高一厦门双十中学校考阶段练习) 已知函数f (x )＝ln(4x 2＋1＋2x )－12x ＋1
，若f (log 2a )＝2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫log 12a ＝______．
【答案】－3
【解析】根据题意，函数 f (x )＝ln(4x 2＋1＋2x )－1
2x ＋1
，
则 f (－x )＝ln(4x 2＋1－2x )－1
2－x ＋1
＝－ln(
4x 2＋1＋2x )－
2x
2x ＋1
，则f (x )＋f (－x )＝－1，
若 f (log 2a )＝2，则 f ⎝
⎛⎭
⎪⎫log 12
a ＝f (－log 2a )＝－3．
30. (2022秋·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期中)已知函数y ＝4－2sin 2x －sin 3x
2
1＋cos 2x 既存在最大值
M ，又存在最小值m ，则M + m 的值为 __________.
【答案】4
【解析】f (x )＝4－2sin 2x －sin 3x 21＋cos 2x ＝2＋2cos 2x －sin 3x 21＋cos 2x ＝2－sin 3x
2
1＋cos 2x
，
令 g (x )＝sin 3x 2
1＋cos 2x
，
∵ g (－x )＝sin ⎝⎛⎭
⎫
－3x 21＋cos 2(－x )＝－sin 3x 2
1＋cos 2x ＝－g (x )，
∴ g (x )为奇函数，
∴ f (x )的图像关于点(0，2)对称，
∴ 根据对称性质可得M ＋N
2＝2，即M + m ＝4．
31. (2023春·河南洛阳·高一统考期末)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋1，若 f (2021)＝2，则 f (－2021)＝_____.
【答案】0
【解析】由f (x )＝ax 3＋b sin x ＋1知f (－x )＋f (x )
＝a (－x )3＋b sin(－x )＋1＋ax 3＋b sin x ＋1 ＝－ax 3－b sin x ＋1＋ax 3＋b sin x ＋1＝2， 则f (－2021)＋f (2021)＝2， 又∵ f (2021)＝2， ∴ f (－2021)＝0.
32.(2023·贵州遵义·高二遵义四中阶段练习)已知函数f (x )＝21＋2x ＋1
1＋4x , 若f (a )＝1, 则f (－a )＝_____．
【答案】2
【解析】∵f (x )＝21＋2x ＋1
1＋4x
， ∴ f (x )＋f (－x )＝21＋2x ＋11＋4x ＋21＋2－x ＋11＋4－x ＝
21＋2x ＋2•2x 1＋2x ＋11＋4x ＋4x 1＋4x ＝2•(1＋2x )1＋2x ＋1＋4x 1＋4x
＝3，
又∵f (a )＝1，∴f (－a )＝2．
33. (2023春·江西萍乡·高三芦溪中学校考开学考试)设函数f (x )= x 3＋(x ＋1)2
x 2＋1
在区间[－2，2]上的最大
值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2022的值为 ______.
【答案】1
【解析】由题意知，f (x )= x 3＋(x ＋1)2x 2＋1＝x 3＋x 2＋2x ＋1x 2＋1＝x 3＋2x
x 2＋1＋1(x ∈[－2，2])，
设 g (x )＝x 3＋2x
x 2＋1
，则f (x )＝g (x )＋1，
∵ g (－x )＝－x 3－2x
x 2＋1
＝－g (x )，
∴ g (x )为奇函数，g (x )在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0，故M ＋N ＝2， ∴ (M ＋N －1)2022＝(2－1)2022＝1．
34. (2023 春·河南·高三河南省淮阳中学校联考阶段练习)已知函数 f (x )＝⎝
⎛⎭⎪⎫2e x ＋1－1sin ⎝
⎛⎭⎫x ＋3π2－3，则f (x )在[－π，π]上的最大值与最小值之和为 ______．
【答案】－6
【解析】由题意，得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x ＋1－1sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x ＋1－1cos x －3， 把 f (x ) 的图象向上平移3个单位长度，可得函数g (x )＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2
e x
＋1－1cos x 的图象． 当 x ∈[－π，π]时，g (－x )＝－⎝
⎛⎭⎪⎫2e －x
＋1－1cos(－x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2
e x
＋1－1cos x ＝－g (x )，即g (x )为奇函数， 则在[－π，π]上，g (x ) 的最大值与最小值之和为0， ∴ f (x )在[－π，π]上的最大值与最小值之和为－6．
35. (2023·河南·河南省淮阳中学校联考模拟预测)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2e x ＋π
＋1－1sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋3π
2－3，则f (x )在[－2π，
0]上的最大值与最小值之和为 ______．
【答案】－6 【解析】f (x )＝⎝⎛
⎭⎫2e x ＋π
＋1－1sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2－3＝⎝⎛⎭
⎫2
e x ＋π＋1－1·(－cos x )错误!未定义书签。

－3＝
⎝⎛⎭
⎫2e x ＋π＋1－1·cos(x ＋π)错误!未定义书签。

－3； 令 t ＝x ＋π，当x ∈[－2π，0]时，t ∈[－π，π]， ∴ f (t )＝⎝⎛
⎭
⎫2
e t
＋1－1·cos t －3， 令 g (t )＝f (t )＋3＝⎝⎛
⎭
⎫2
e t
＋1－1·cos t ，t ∈[－π，π] ∴ g (－t )＝⎝⎛⎭⎫2
e －t ＋1－1·cos(－t )＝e t
－1e t ＋1·cos t ＝－g (t )，
∴ g (t )为定义在[－π，π]上的奇函数，∴g (t )max ＋g (t )min ＝0，
∴ f (t )max ＋3＋f (t )min ＋3＝0，∴f (t )max ＋f (t )min ＝－6， ∴ f (x )在[－2π，0]上的最大值与最小值之和为－6.
36. (2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考阶段练习)已知函数f (x )＝log 3(x ＋x 2
＋1)＋2e x
e x ＋1
在(－k ，
k )(k ＞0)上的最大值与最小值分别为M 和m ，则函数g (x )＝(M ＋m )x ＋[(M ＋m ) x －1]－
3的图象的对称中心是 ________．
【答案】⎝⎛⎭
⎫1
2，1
【解析】已知f (x )＝log 3(x ＋x 2
＋1)＋2e x
e x ＋1
，
f (－x )＝lo
g 3(－x ＋x 2
＋1)＋2e －x e －x ＋1＝log 3(－x ＋x 2＋1)＋2
1＋e x
，
则f (x )＋f (－x )＝2，故函数f (x )在定义域内为非奇非偶函数， 令h (x )＝f (x )－1，
则h (x )＋h (－x )＝f (x )－1＋f (－x )－1＝0， ∴ h (x )为定义域内的奇函数， ∴ h (x )max ＋h (x )min ＝0，
∴ M ＋m ＝f (x )max ＋f (x )min ＝h (x )max ＋1＋h (x )min ＋1＝2．则g (x )＝2x ＋1
(2x －1)3
，
∴ g (x )＋g (a －x )＝2x ＋1(2x －1)3＋2a －2x ＋1
(2a －2x －1)3＝2a ＋[2(a －x )－1]3＋(2x －1)3(2x －1)3•[2(a －x )－1]3
＝2a ＋[2(a －x )－1＋2x －1]•{[2(a －x )－1]2－[2(a －x )－1]·(2x －1)＋(2x －1)2}
(2x －1)3·[2(a －x )－1]3
＝2a ＋2(a －1) •{[2(a －x )－1]2－[2(a －x )－1]·(2x －1)＋(2x －1)2}
(2x －1)3·[2(a －x )－1]3
当a ＝1时，g (x )＋g (1－x )＝2，
∴ g (x )关于点⎝⎛⎭⎫12，1中心对称．即函数g (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫1
2，1．
37. (2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )＝2018ln(x ＋x 2＋1)＋2019sin x ＋2020，x ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π
2的最大
值为 M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝___________.
【答案】4040
【解析】令g (x )＝2018ln(x ＋x 2＋1)＋2019sin x ，x ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π
2，
∵ 2018ln(x 2＋1－x )＋2018ln[(－x )2＋1＋x ]＝2018ln1＝0， 2019sin(－x )＋2019sin x ＝0，
故g (x )＋g (－x )＝0，∴函数g (x )为⎣⎡⎦
⎤－π2，π
2上的奇函数，
∴ g (x )max ＋g (x )min ＝0．
∴ M ＋N ＝g (x )max ＋2020＋g (x )min ＋2020＝4040．
38. (2023·全国·高三专题练习)函数f (x )＝2e x
e x ＋e －x ＋sin x (e 为自然对数的底数) 在区间[－1，1]上的最大值和
最小值之和等于____________．
【答案】2
【解析】f (x )＝2e x
e x ＋e －x ＋sin x ⇒
f (x )－1＝e x －e －
x e x ＋e －x ＋sin x ，
设h (x )＝f (x )－1，x ∈[－1，1]，
则h (－x )＝e －
x －e x e －x ＋e x ＋sin(－x )＝－e x －e －
x
e x ＋e －x －sin x ＝－h (x )，∴h (x )为奇函数，
h ′(x )＝f ′(x )＝4e 2x
(e 2x ＋1)2
＋cos x ＞0，
∴ 函数h (x )在[－1，1]上单调递增． ∴ h (x )max ＋h (x )min ＝h (－1)＋h (1)＝0，
∴ f (x )max ＋f (x )min ＝h (x )max ＋1＋h (x )min ＋1＝2．
39. (2023·全国·高三阶段练习)设函数f (x )＝(x ＋1)2＋ax 13
2x 2＋2，a ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m
＝________________．
【答案】1
【解析】f (x )＝(x ＋1)2
＋ax 1
3
2x 2＋2＝x 2
＋2x ＋1＋ax 13 2x 2＋2＝12＋2x ＋ax 13
2x 2＋2
，
令g (x )＝f (x )－12＝2x ＋ax 13
2x 2＋2
，
则g (x )＋g (－x )＝2x ＋ax 13
2x 2＋2＋－2x －ax 13
2x 2＋2＝0
∴ g (－x )＝－g (x )，g (x )为奇函数，
g (x )max ＋g (x )min ＝M －12＋m －1
2＝M ＋m －1＝0, ∴M ＋m ＝1．
40.已知函数f (x )＝－ln 3－x x ＋3＋4e x ＋3
e x ＋1
在区间[－a ，a ](a ＞0)上最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝____.
【答案】7
【解析】f (x )＝－ln 3－x x ＋3＋4e x ＋3e x ＋1＝－ln 3－x x ＋3＋4e x ＋4－1e x ＋1＝－ln 3－x x ＋3＋4－1
e x ＋1
＝－ln 3－x x ＋3＋12－1e x ＋1＋7
2
，
记g (x )＝－ln 3－x x ＋3＋12－1
e x ＋1
，x ∈(－3，3)
则g (x )＋g (－x )＝－ln 3－x x ＋3＋12－1e x ＋1－ln 3＋x 3－x ＋12－1
e －x ＋1
＝－ln 3－x x ＋3＋ln 3－x x ＋3＋1－1e x ＋1－11e x ＋1＝1－1e x ＋1－e x
e x ＋1
＝0，
∴g (x )为区间(－3，3)上的奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0， ∴M ＋m ＝g (x )max ＋72＋g (x )min ＋7
2＝7.。