陕西省城固县第一中学届高三下学期第一次月考 (2).docx

陕西省城固县第一中学2016届高三下学期第一次月考
数学试卷(理科)
时间:120分钟,满分:150分 第I 卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集为R ，}0|{2≤-=x x x A ，}1)21
(|{>=x x B ，则B C A R ⋂=( )
A.∅
B.{0}
C.[0,1]
D. ]0,(-∞
2．若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B ．2 C ． 2
D ． 3
3．已知命题p ：存在x R ∈，使得10lg x x ->；命题q ：对任意x R ∈，都有20x >，则（ ）
A ．命题“p 或q ”是假命题
B ．命题“p 且q ”是真命题
C ．命题“非q ”是假命题 D.命题“p 且‘非q ’”是真命题 4．执行如图所示的算法框图，输出的M 值是 ( ) A ．2 B ．－1 C ．1
2
D ．－2
5．一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.16π
B.12π
C.14π
D.17π
6．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若
a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝( )
A ．8
B ．15
C ．64
D ．136
7．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a ＝( )
A ．3
B.5
3
C ．5 D.73
8.已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 9．若曲线()sin 1f x x x =+在2
x π
=
处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实
数a 等于( ).
A. 2-
B. 1-
C. 1
D. 2
10.如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0,—1)，B (π,—1)，C (π,1)，
D (0,1)，正弦曲线f (x )=sin x 和余弦曲线g (x )=cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )
A ．π
21+ B ．π
221+
C ．π
1 D ．π
21
11.设m ∈R ，实数x ，y 满足23603260
x m x y x y -+--⎧⎪
⎨⎪⎩≥≥≤，若| x +2y|≤18，则实数m 的取值范
围是( )
A ．-3≤m ≤6
B ．m ≥-3
C ．- 687≤m ≤6
D ．-3≤m ≤3
2
12.设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋5
2在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范
围是( )
A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞ D.⎝
⎛
⎦⎥⎤－∞，12
第II 卷(非选择题，共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为_______．
14．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－1
2，〈a －c ，b
－c 〉＝60°，则|c |的最大值等于______．
15．已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 2
5
＝1的右焦点重合，抛物
C
B
x y O
A
E D
F
f (x )=sin x
g (x )=cos
线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为 16.已知函数1
1
)(+=
x x f ，点O 为坐标原点，点*,)),(,(N n n f n A n ∈向量)1,0(=ι，n
θ
是向量n OA 与ι的夹角，设n s
为数列}sin cos {n
n θ
θ的前n 项和，则2016
s = 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）
已知函数()2cos 3cos sin 222x x x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．
(Ⅰ)设⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈22ππ，x ，求()x f 的值域；
(Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知c =1，
()31f C =+，且△ABC 的面积为3
2
，求边a 和b 的长．
18. （本小题满分12分）如图1，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，O 为CD 的中点，沿AO 将三角形AOD 折起，使DB ＝3，如图2. (1)求证：平面AOD ⊥平面ABCO ；
(2)求直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值．
图1 图2
19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙约定两人面试都合格就
一同签约，否则两个人都不签约．设甲面试合格的概率为1
2，乙、丙面试合格的
概率都为1
3
，且面试是否合格相互不影响．
(1)求至少有一人面试合格的概率； (2)求签约人数的分布列和数学期望．
20. （本小题满分12分）如图，已知椭圆O ：x 2
4
＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，
C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．
（1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；
（2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值；
②求PB PM ⋅u u u r u u u u r
的取值范围．
21. （本小题满分12分）已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2.
(1)如果函数g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－13，1，求函数g (x )的解析式；
(2)在(1)的条件下，求函数y ＝g (x )的图像在点P (－1,1)处的切线方程； (3)若不等式2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围．
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .
(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆； (2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．
23.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为⎝
⎛
⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为
ρcos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；
l
M
P
C
B
F O y x （第20题图）
(2)圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝1＋cos α，
y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的
位置关系．
24．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |． (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；
(2)如果任意x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．
城固一中2016届高三数学试题(理科)答案
选择：1---12：CCDBA,CDBAB,AD
填空：13. 1
6
14. 2 15. 3 16. 2016
2017
解答：
17. 解（Ⅰ）2()23cos 2sin cos 222
x x x f x =-=3(1cos )sin x x +-=π2cos 36x ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭．
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈22ππ，x 时，值域为[]
32,31++-．-------------6分 （Ⅱ）因为(0π)C ∈，，由（1）知π
6
C =．
因为△ABC 的面积为32，所以
31π
sin 226
ab =，于是23ab =. ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b.
由余弦定理得2222π
12cos 66
a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ②
由①②可得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或32.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，-------------------------------------12分 18. (1)证明 在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，
O 为CD 的中点，∴△AOD ，△BOC 为等腰直角三角形， ∴∠AOB ＝90°，即OB ⊥OA .
取AO 中点H ，连接DH ，BH ，则OH ＝DH ＝12AO ＝2
2.
在Rt△BOH 中，BH 2＝BO 2＋OH 2＝5
2
，
在△BHD 中，DH 2
＋BH 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋5
2
＝3，又DB 2＝3.
∴DH 2＋BH 2＝DB 2，∴DH ⊥BH . 又DH ⊥OA ，OA ∩BH ＝H ， ∴DH ⊥平面ABCO .而DH
平面AOD ，
∴平面AOD ⊥平面ABCO .--------------------------6分 (2)解
分别以OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B (0，2，0)，A (2，0,0)，
D ⎝
⎛⎭⎪⎫22，0，22，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22，2
2，0
∴AB →
＝(－2，2，0)，
AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－2
2，0.
设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·AB →
＝0，n ·AD →＝0，
得⎩⎨⎧
－2x ＋2y ＝0，
－22
x ＋2
2z ＝0，
即x ＝y ，x ＝z ，令x ＝1，则y ＝z ＝1，n ＝(1,1,1)． 设α为直线BC 与平面ABD 所成的角．
则 sin α＝
|BC →
·n ||BC →|·| n |
＝23＝6
3.
即直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值为
6
3
.-----------------------12分 19. 解：(1)用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A ，B ，
C 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝P (C )＝13
，所以至少有一人面试合格的概率为1－P (A B C )＝1－⎝
⎛
⎭⎪⎫1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝79.-----------------5分
(2)由题意可知，ξ的可能取值为0,1,2,3.
P (ξ＝0)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝49
；P (ξ＝1)＝P (A B C )＋P (AB C )＋P (A B C )＝49
；P (ξ＝2)＝P (A BC )＝1
18
；P (ξ＝3)＝P (ABC )＝118
.所以ξ的分
布列为 E (ξ)＝0×49
＋1×
49
＋2×
118＋3×118
＝ξ 0 1 2 3 P
49
49
118
118
13
18
.--------------12分 20.解：（1）由题意(0,1),(0,1)B C -，焦点(3,0)F ，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM 的方程为
113x y +
=-，即3
13
y x =-， 联立，2
21,4
31,3x y y x ⎧+=⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
解得83
,71,
7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或0,1x y =⎧⎨=-⎩（舍），即
831
(
,)77
M ． ………………2分 连BF ，则直线BF ：
11
3x y
+=，即330x y +-=， 而2BF a ==，2283123
|
33|
3777271(3)
d +⋅-===
+． ……………………分
故
1133
22277
MBF S BF d =⋅⋅=⋅⋅=V ． ……………………5分
（2）解法一：①设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)1
0k m m
---==--，
则直线PM 的方程为1
1y x m
=--，
联立2211,1,
4
y x m
x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++， ……
分
所以2
2212
412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--， 所以12313
44
k k m m ⋅=-⋅=-为定值． ……………9分
② 由①知，(,3)PB m =-u u u r ，232222
2841212
(,2)(,)4444
m m m m m PM m m m m m ---+=--+=++++u u u u r ， 所以3242222
12121536
(,3)(,)444
m m m m m PB PM m m m m ++++⋅=-⋅-=+++u u u r u u u u r ， …………………分
令2
44m t +=>，故22(4)15(4)36788
7t t t t PB PM t t t t
-+-++-⋅===-+u u u r u u u u r ，
因为8
7y t t
=-+在(4,)t ∈+∞上单调递增，
所以8
874794
PB PM t t ⋅=-+>-+=u u u r u u u u r
，即PB PM ⋅u u u r u u u u r
的取值范围为(9,)+∞．……12分
解法二：①设点()000(,)0M x y x ≠，则直线PM 的方程为00
1
1y y x x +=-， 令
2y =-，得
0(,2)1
x P y -
-+. …………………分 所以0101
y k x -=
，()020*******
y k x x y +--==-
+， 所以()()()()22
00001222
000031313113
441y y y y k k x x x y --+-=⋅===--（定值）. …………9…分 ②由①知，00(,3)1x PB y =+u u u r ，0000(,2)1
x
PM x y y =+++u u u u r ，
所以()()()
()200000002
00023212311x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫
⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭u u u r u u u u r =
()()
()
()()()
2
000002
0041272321
1y y y y y y y -+-+++=
++． ………………分
令()010,2t y =+∈，则()()818
7t t PB PM t t t
-+⋅=
=-++u u u r u u u u r ， 因为8
7y t t
=-++在(0,2)t ∈上单调递减，
所以88
72792PB PM t t ⋅=-++>-++=u u u r u u u u r ，即PB PM ⋅u u u r u u u u r
的取值范围为(9,)+∞． …
12分
21.解：(1)g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意得3x 2＋2ax －1<0的解集是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，1， 即3x 2＋2ax －1＝0的两根分别是－1
3
，1.
将x ＝1或x ＝－1
3代入方程3x 2＋2ax －1＝0，得a ＝－1.∴g (x )＝x 3－x 2－x
＋2.-----------------------3分
(2)由(1)知，g ′(x )＝3x 2－2x －1， ∴g ′(－1)＝4，
∴点P (－1,1)处的切线斜率k ＝g ′(－1)＝4，
∴函数y ＝g (x )的图像在点P (－1,1)处的切线方程为y －1＝4(x ＋1)，即4x
－y ＋5＝0. -------------------------6分
(3)∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，即2x ln
x ≤3x 2＋2ax ＋1对x ∈(0，＋∞)上恒成立．
可得a ≥ln x －3x 2－1
2x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立．
令h (x )＝ln x －3x 2－1
2x
，
则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)
2x 2.
令h ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1
3(舍)．
当0<x <1时，h ′(x )>0； 当x >1时，h ′(x )<0.
∴当x ＝1时，h (x )取得最大值，
h (x )max ＝h (1)＝－2，
∴a ≥－2.∴a 的取值范围是[－2，＋∞)．--------------------12分 选做题：
22.[解] (1)证明：连接DB ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，
在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ， 又∠ABD ＝∠ACD ， ∴∠ACD ＝∠AFE ，
∴C ，D ，E ，F 四点共圆．----------5分 (2)
⎭
⎬⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2
＝GC ·GD
⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.----------10分 23.解 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2．
所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0．---------------5分
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鑫达捷 (2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，
所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，
因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22
<1， 所以直线l 与圆C 相交．----------10分
24.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，
f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ，x ＜－1，
2，－1≤x ≤1，
2x ，x ＞1.
作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图像．
由图像可知，不等式f (x )≥3的解集为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－32，或x ≥32．-----------5分 (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，
不满足题设条件；
若a ＜1，f (x )＝⎩⎨⎧
－2x ＋a ＋1，x ≤a ，
1－a ，a ＜x ＜1，
2x －(a ＋1)，x ≥1，
f (x )的最小值为1－a ； 若a ＞1，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋a ＋1，x ≤1，
a －1，1＜x ＜a ，
2x －(a ＋1)，x ≥a ，
f (x )的最小值为a －1． ∴对于任意x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，
∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．-----------------------10分。