新课标广西2019高考数学二轮复习专题对点练4从审题中寻找解题思路201812242115

专题对点练4从审题中寻找解题思路
一、选择题
x2 y2
1.已知方程- =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是
m2 + n 3m2 - n
()
A.(-1,3)
B.(-1, 3)
C.(0,3)
D.(0, 3)
2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的
图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()
A.6
B.7
C.8
D.9
x2 y2
3.已知F1,F2是双曲线C: - =1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且
a2 b2
△PF1F2最小的内角为30°,则双曲线C的渐近线方程是()
A. 2x±y=0
B.x±2y=0
C.x±2y=0
D.2x±y=0
y2
4.已知双曲线C:x2- =1,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有一个公共点,则满足上述条
4
件的直线l的条数共有()
A.3
B.2
C.1
D.4
a + 2
b + 3c
5.已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c,其中b>a,且对任意x∈R都有f(x)≥0,则M= 的最小
b - a
值为()
5 - 2 3 5 + 2 3 7 - 3 5 7 + 3 5
A. B. C. D.
2 2 2 2
x2 y2
6.(2018河北一模)设双曲线- =1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知
a2 b2
3
原点到直线l的距离为c,则双曲线的离心率为()
4
2 3
A.2
B. 3
C. 2
D.
3
二、填空题
a
7.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知b cos C+c cos B=2b,则=.
b
8.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i行第j列的
数为a i,j(i,j∈N*),则
(1)a9,9=;
(2)表中的数82共出现次.
2 3 4 5 6 7 …
3 5 7 9 11 13 …
4 7 10 13 16 19 …
5 9 13 17 21 25 …
6 11 16 21 26 31 …
7 13 19 25 31 37 …
…………………
1
9.已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b是和2的等比中项,c
2
是1和5的等差中项,则a的取值范围是.
三、解答题
10.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.
(1)求数列{a n}的通项;
(2)设{b n-(-1)n a n}是等比数列,且b2=7,b5=71.求数列{b n}的前n项和T n.
1
11.已知函数f(x)=4sin(ωx- ·cosωx在x= 处取得最值,其中ω∈(0,2).
π
4)π
4
(1)求函数f(x)的最小正周期;
π
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3
36
4
倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若α为锐角,g(α)=3 - 2,求cos α.
12.已知函数f(x)=ln x+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
2
专题对点练4答案
1.A解析因为双曲线的焦距为4,所以c=2,
即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1. 又由方程表示双曲线得
(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,故选A.
2.B解析当0≤x<2时,令f(x)=x3-x=0,得x=0或x=1,根据周期函数的性质,由f(x)的最小正周期为2,
可知y=f(x)在[0,6)上有6个零点,
又f(6)=f(3×2)=f(0)=0, 所以f(x)在[0,6]上与x
轴的交点个数为7.
3.A解析由题意,不妨设|PF1|>|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|+|PF2|=6a, 解得|PF1|=4a,|PF2|=2a. 在△PF1F2中,|F1F2|=2c, 而c>a,所以
有|PF2|<|F1F2|,
所以∠PF1F2=30°,所以(2a)2=(2c)2+(4a)2-2·2c·4a cos 30°,得c=3a, 所以
b=c2 - a2 = 2a,
b
所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x,即2x±y=0.
a
4.D解析当直线l斜率存在时,令l:y-1=k(x-1),
y2
代入x2-=1中整理有(4-k2)x2+2k·(k-1)x-k2+2k-5=0.当4-k2=0,即k=±2时,l和双曲线的4
渐近线平行,有一个公共点.
5 5
当k≠±2时,由Δ=0,解得k=,即k=时,有一个切点.
2 2
直线l斜率不存在时,x=1也和曲线C有一个切点.
综上,共有4条满足条件的直线.
3b2 b 3 b
2
b2
a + 2
b + 3c
a + 2
b +
1 + 2·
a +
4a
5.D解析由题意得a>0,b2-4ac≤0,即c≥,则M=.
b - a ≥ b - a = 4a
b
a - 1 3
3 7 15
1 + 2t +
2 +
4t 4(t - 1) 2(t - 1) +
2
b 3 15 1 7 3 5 7
4
令=t,则t>1,于是M≥(t-1)+,
t - 1 = t - 1 = 4·t -1+ 2 ≥ 2 +
a 4 2
b2 3 + 5
当且仅当t-1=5,即b=(1+5)a,c=a时等号成立.
=
4a
2
a + 2
b + 3
c 7 + 3 5
所以M=的最小值为.
b - a 2
6.A解析∵直线l过(a,0),(0,b)两点,
x y
∴直线l的方程为a + =1,
b
即bx+ay-ab=0.
3
又原点到直线l的距离为c,
4 |ab|
3 a2b2 3
∴= c,即= c2,
a2 + b2 4 a2 + b2 16
3
又c2=a2+b2,∴a2(c2-a2)=c4,
16
3
即c4-a2c2+a4=0,
16
化简得(e2-4)(3e2-4)=0,
4
∴e2=4或e2=.
3
c2 b2
又∵0<a<b,∴e2==1+>2,
a2 a2
∴e2=4,即e=2,故选A.
a2 + b2 - c2 a2 + c2 - b2
a 7.2解析(法一)因为
b cos C+
c cos B=2b,所以b·+c·=2b,化简可得=2.
2ab 2ac b (法二)因为b cos C+c cos B=2b,
所以sin B cos C+sin C cos B=2sin B,
a
故sin(B+C)=2sin B,故sin A=2sin B,则a=2b,即=2.
b
3
8.(1)82(2)5解析(1)a9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2,……第9行的公差为9,第9行的首项b1=10,则b9=10+8×9=82.
(2)第1行数组成的数列a1,j(j=1,2,…)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以a1,j=2+(j-
1)·1=j+1;第i行数组成的数列a i,j(j=1,2,…)是以i+1为首项,公差为i的等差数列,所以
a i,j=(i+1)+(j-1)i=ij+1,由题意得a i,j=ij+1=82,即ij=81,且i,j∈N*,所以
81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中82共出现5次.
1 1
9.(2 2, 10)解析因为b是和2的等比中项,所以b==1.
× 2 2
2
因为c是1和5的等差中项,
1 + 5
所以c==3.
2
又因为△ABC为锐角三角形,
12 + 32 - a2 > 0,
{
①当a为最大边时,有
a ≥3,
1 + 3 > a,
解得3≤a<10;
12 + a2 - 32 > 0,
a + 1 > 3,
{
②当c为最大边时,有
a ≤3,
解得2 2<a≤3. 由①②
得2 2<a<10,
所以a的取值范围是(2 2, 10). 10.解
(1)设数列{a n}的公差为d(d≠0),
∵a1=2,且a2,a4,a8成等比数列,
∴(3d+2)2=(d+2)(7d+2),解得d=2, 故
a n=a1+(n-1)d=2n.
(2)令c n=b n-(-1)n a n,设{c n}的公比为q.
∵b2=7,b5=71,a n=2n, ∴c2=b2-a2=3,c5=81,
c5
∴q3==27,q=3,
c2
- 2
∴c n=c2q n =3n-1. 从而
b n=3n-1+(-1)n2n.
T n=b1+b2+…+b n=(30+31+…+3n-1)+[-2+4-6+…+(-1)n2n],
3n + 2n - 1 3n - 2n - 3
当n为偶数时,T n=,当n为奇数时,T n=.
2 2
11.解(1)f(x)=4sin(ωx- π4)·cos ωx
=2 2sin ωx·cos ωx-2 2cos2ωx
=2(sin 2ωx-cos 2ωx)- 2
=2sin(2ωx- π4)- 2,
π
∵f(x)在x=处取得最值,
4
πππ
∴2ω·4 - =kπ+,k∈Z,
4 2
3
∴ω=2k+,k∈Z.∵ω∈(0,2),
2
3 3 1
即0<2k+<2,∴-<k<,
2 4 4
3
又k∈Z,∴k=0,则ω=,
2
∴f(x)=2sin(3x -4)- 2,∴T=.
π2π
3
π
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到
36
h(x)=2sin[3(x +ππ4]- 2
=2sin(3x -6)- 2,
π
4
再将 h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的 3倍,纵坐标不变,得到
g (x )=2sin (x - 6) - 2.
π
故 g (α)=2sin
(α - π6) -
2 = ,
4
3 -
2
sin (α - 6) = .
π
2
3 π π π ∵α 为锐角,∴- <α- 6 < ,
6
3
2
因此 cos
(α - π6
) = 1 -
( .
2
5
3
=
故 cos α=cos
(α - π
6
)=cos (α - 6)·cos 6-sin (α - 6)·sin
π π π
π
π
6 +
6 =
1
15 - 2
2 =
.
6
1 12.解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )= -a. x
若 a ≤0,则 f'(x )>0,
所以 f (x )在(0,+∞)内单调递增. 若 a>0,则当 x ∈(0, 时,f'(x )>0;当 x ∈
时,f'(x )<0.
1
1
所以 f (x )在
(0,1 内单调递增,在 1
内单调递减.
5
3
×
3 2 - 2
3 ×
(2)由(1)知,当 a ≤0 时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 1 当 a>0时,f (x )在 x= 处取得最大值,最大值为
a
f ( =ln +a
=-ln a+a-1.
1
1
1
因此 f
( >2a-2
等价于 ln a+a-1<0.
1
令 g (a )=ln a+a-1,则 g (a )在(0,+∞)内单调递增,
g (1)=0.于是,当 0<a<1时,g (a )<0;当 a>1时,g (a )>0. 因此,a 的取值范围是(0,1).
5。