第20课定积分的概念与微积分基本定理

第二十课 定积分的概念与微积分基本定理
一．目标要求
1、 了解以直代曲求曲边梯形面积的思想；
2、 理解定积分的概念；
3、 理解定积分的几何意义；
4、 掌握定积分的性质和计算方法； 二．知识点归纳 1.连续函数概念：
一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I 上的连续曲线。

2.
二.以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤: ①分割,②近似代替,③求和,④取极限. 3.
定积分的定义：
如果函数
f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[a,b]等分成n 个小区间。

在每个小
区间[]1,i i x x -上任取一点(1,2,
,)i i n ξ=作合式
1
1
()()n
n
i i i i b a
f x f n
ξξ==-∆=∑
∑
当 n →∞时，上述和式无限趋近某个常数，这个常数叫做函数在区间[a,b]上的定积分。

记作:
()b
a
f x dx ⎰
即 ()b
a
f x dx ⎰ = 1
lim ()n
i n i b a
f n
ξ→∞
=-∑
其中f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式，b,a 分别叫做积分上限和下限，区间[a,b]叫做积分区间。

“ ⎰
”称为积分号。

4.定积分
()b
a
f x dx ⎰
的实质：
（1）当()f x 在区间[,]a b 上大于0时
()b
a
f x dx ⎰
表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=
和曲线()y f x = 所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义；如图（1） （2）当()f x 在区间[,]a b 上小于0时，
()b
a
f x dx ⎰
表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=
和曲线()y f x = 所围成的曲边梯形的面积的相反数。

如图（2） （3）当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时，
()b
a
f x dx ⎰
表示介于,()x a x b a b ==≠之间x
轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和。

如图（3）
4.微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式):
一般地，如果()y f x =是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么
()b
a
f x dx ⎰
=()()F b F a -这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿―莱布尼兹公式，
可以把()()F b F a -记作()|b a
F x ,
即()b
a
f x dx ⎰
=()|b a F x =()()F b F a - .
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。

5.定积分的性质: （1）()b
a kf x dx ⎰
=()b
a
k f x dx ⎰ （k 为常数）；
（2）[()()]b
a f x g x dx ±=
⎰()()b
b
a
a
f x dx
g x dx ±⎰
⎰
（3）
()b
a
f x dx ⎰
＝()()c b a
c
f x dx f x dx +⎰⎰ （ 其中a c b << ）。

6.利用函数的奇偶性求定积分: 若f(x)是[-a,a]上的奇函数,则()a
a f x dx -⎰=0;
若f(x)是[-a,a]上的偶函数,则()a
a
f x dx -⎰
=20()a
f x dx ⎰
7.定积分的求法:
方法1：定义法(用微分思想求曲边梯形的面积, 分割,近似代替,求和,取极限); 方法2：牛顿-莱布尼兹公式法;
方法3：几何意义法:若y=f(x) ,x 轴,与直线x=a,x=b 之间的各部分区域是可求面积的规则
图形,则可直接求其面积.比如求
1
-⎰
方法4：利用奇、偶函数的性质求. 8. 定积分的简单应用
1.定积分在几何中的应用:如图曲线y=f(x), y=g(x)与直线x=a,x=b 围成的曲边梯形面积
S=
[()()]b
a
f x
g x dx -⎰
（如图(4)）
2.定积分在物理中的应用：
(1）变速直线运动的路程:运动速度为V(t),则在t=a 到t=b 时间内物体的位移为 S=
()b
a
v t dt ⎰
（2）变力作功:力F 是位移s 的函数,则在s=a 到s=b 时间内力所做的功为 W= ()b
a
F s ds ⎰
三．课前练习
1． 12(1)lim
(sin sin sin )n n n n n πππ-++⋅⋅⋅+写成定积分形式，可记为 （ ） A ．0sin xdx π⎰ B ．10sin xdx ⎰ C ．01sin xdx π
π⎰ D ．0sin dx x
π⎰
【答案】C
【解析】注意区间长度是π，等分为n 份，故选C
2. 3
f x x x f x dx =+⎰
2
-2
设（）
，则（）的值等于 （ ）
A ．0
B ．8
C ．2
()f x dx ⎰
D ．2
2()f x dx ⎰
【答案】A
【解析】注意f （x ）是奇函数，故选A 3. 下列式子中正确的是( ) A ．
()()()b
a
f x dx f b f a C =-+⎰
B.
''()()()b
a
f x dx f b f a =-⎰
C.
'
()()()b
a
f x dx f b f a =-⎰
D. '
()()b
a f x dx f x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎰
【答案】C
【解析】由牛顿—莱布尼兹定理可得 4.
6
20
(1)x dx +⎰
的值等于 （ ）
A ．6 B.18 C.78 D.32 【答案】C 5.
⎰
271
3
1dx x
的值等于 ( )
A.24
B.36
C.12
D.27
【答案】C
四．范例精讲
题型一：利用微积分基本定理、定积分的性质求定积分 例1. 计算下列定积分： （1）
2
(1)x x dx +⎰
； （2）2211
()x e dx x
+⎰
思路分析：
求出被积函数的原函数，用微积分基本定理进行求解，计算
()b
a
f x dx ⎰
的关键是找到满足
()()F x f x '=的函数()F x ，其中()F x 可由基本初等函数的导数公式逆向使用得到。

解：（1）
2(1)x x x x +=+且32211
(),()32
x x x x ''==
22
2
2
2
2
3222
000
3211(1)()||32
1114
(20)(20).323
x x dx x x dx x dx xdx x x +=+=+=
+=⨯-+⨯-=⎰⎰⎰⎰
（2）1(ln )x x '=
，又222()(2)2x x x e e x e ''=⋅= ，得：221()2x
x e e '= 所以22222222
11111111()|ln |2
x x x e dx e dx dx e x x x +=+=+⎰⎰⎰
42421111
ln 2ln1ln 2.2222
e e e e =-+-=-+ 点拨：
计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿―莱布尼兹公式求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值。

变式题：计算下列定积分（1）
⎰
271
3
1dx x
；（2）1
(2)e
x e
dx x
-⎰
【答案】（1）12；（2）
22ln 2ln 2
e e -- 解：
（1）122
27
27
3
331
133:|(271)1222
x dx x -
===-=⎰解原式
（2）11112222|ln |ln 2ln 2ln 2
x e e x e e e
e dx dx e x e x =-=
-=--⎰⎰原式 题型二：用定积分的几何意义求定积分 例2.
用定积分的几何意义求值:
10
)x dx ⎰
思路分析：某些被积函数的原函数不好求，注意从几何意义的角度考虑。

解：
1
)x dx -⎰=0
⎰
1
xdx -⎰
前者的被积函数y =≤x ≤1)恰是一个位于x 轴上方的半圆,其面积为2
π
，而
后者可用公式求得
12，故10)x dx ⎰=2π+12
点拨：根据定积分的几何意义，可将一些特殊函数的定积分转化为利用平面几何知识求某些规则图形的面积。

变式题：求
⎰
的的值。

答案：π
题型三：定积分的上（下）限含有变量问题与函数的最值 例3.
已知f(x)= 0
(12)x x t dt ++⎰, 求f(x)的最小值。

思路分析：求积分后即转化为求二次函数的最值,注意到隐含条件x ≥0。

解: f(x)=
(12)x
x t dt ++⎰
=(t+xt+20
)
x t =x+2x +2x = 22
x +x (x ≥0)
=2
11
2()4
8
x +-
(x ≥0)
∴f(x)≥0.所以f(x)的最小值是0。

点拨：解决此类问题应注意积分式中的积分变量是什么,切忌混淆，要注意积分上限的限制。

变式题：函数1
20
()(64)f x x ax a dx =
++⎰
的最小值为 。

答案：1
题型四：定积分与其他知识的综合 例4.
（2008年山东德州）若函数2
()(0)f x ax
bx c a =++≠且(1)4,(1)1f f '==
1
1
()36
f x dx =⎰
，求函数()f x 的解析式。

思路分析：由题设条件列出关于,,a b c 的方程组进行求解，即可得结论。

解：由题意知(1)4f a b c =++= ①， (1)21f a b '=+= ②，再由
1
120
01()()36f x dx ax bx c dx =++=⎰
⎰ 得到1
3326
a b c ++= ③
联立①②③，解得：1,3,2a b c =-== ，
从而所求的函数()f x 的解析式为：2
()32f x x x =-++
点拨：类似于此种类型的题目，应先根据题设条件求出定积分的值，将问题转化为关于,,a b c
的方程组，再进行求解。

变式题：设()f x ax b =+，且
1
21
()1f x dx -=⎰
，求()f a 的取值范围。

解：由
1
21
()1f x dx -=⎰
得22263b 22
a b +=-
≤≤且，
于是2
1
1919()3(),()6
12212
f a b f a =--+∴-≤≤ 五．误区防范 若
(21)6,t
x dx -=⎰则t= 。

误解：左=220
()
t
x x t t -=- ，∴26t t -=，得t=-2和3
误解析因：注意t 有隐含限制，0t ≥。

正解：左=220
()
t x x t t -=- ，∴26t t -=，得t=-2和3
因为0t ≥，所以t=3 六．归纳与反思 （1）定积分
()b
a
f x dx ⎰
的值只与被积函数f （x ）及积分区间[],a b 有关，而与积分变量所用
的符号无关，即()b
a
f x dx ⎰
=()b
a
f t dt ⎰。

（2）由积分符号
()b
a
f x dx ⎰
可知，积分变量x 的范围是[],a b 。

（3）运用定积分的性质可以将教复杂的求定积分问题转化为简单的求定积分问题。

七．经典预测
设函数2
()(0),f x ax c a =+≠若1
00
()()f x dx f x =⎰，001,x ≤≤则0x ＝ ．
． 八．达标训练
1．将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p n
n P p
p p p n 表示成定积分 （ ）
A ．
dx x ⎰1
01
B ．
dx x p ⎰
1
C ．
dx x p ⎰1
0)1(
D ．
dx n x p
⎰1
0)(
【答案】B
2．下列等于1的积分是
（ ）
A ．
dx x ⎰
1
B ．dx x ⎰+10
)1(
C ．dx ⎰
1
01
D ．
dx ⎰1
021
【答案】C
3．dx x |4|1
2
⎰
-的值等于
（ ）
A ．
321
B ．322
C ．
3
23
D ．
3
25 【答案】C
4．
dx e e x x ⎰
-+1
)(的值等于
（ ）
A ．e
e 1
+
B ．2e
C ．
e
2
D ．e
e 1-
【答案】D
5.
20
sin xdx π
⎰
的值等于 ( )
A. 2；
B. 0 ；
C. 1；
D.-1 【答案】C
6.
f x x f x x a
b
c
b
()()d d =+⎰
⎰（ ）
． A ．
f x x a
c
()d ⎰
；B ．
⎰
a
c
x x f d )( ； C ．
⎰
c
b
x x f d )(； D ．
⎰
b
a
x x f d )(
【答案】A
7. 设)(x f 连续，且⎰+=1
0)(2)(dt t f x x f ，则)(x f =
【答案】1
2
-
解：记⎰
=
1
)(dt t f a ，则a x x f 2)(+=
两端积分得：
⎰⎰
+=
+=1
1
22
1
)2()(a dx a x dx x f a a 221+=
， 2
1-=a 8.
=
【答案】
等于
圆面积 ：=
点评：本题主要考查利用导数求切线方程，再与数列知识结合起来，解决相关问题。

9.
＝____________________
【答案】 1
法一：分段去绝对值求；法二：积分
是两个三角形的面积和
10. 若1
1(2)3ln 2a
x dx x
+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为 。

【答案】2
11. 计算下列定积分：
(1)2
40
cos 2x dx π
⎰ (2) 1(2)e x e
dx x
-⎰ (3) 221x x dx --⎰
【答案】
(1) （2）
4
040401cos :2
1 (1cos )2
1
(sin )|212
(2422
84
x
dx x dx
x x π
π
π
ππ+==+=+=+=+
⎰⎰解原式
（3）
22
1021222101222303132101
:||()()()111()|()|()|322332116
x x dx
x x dx x x dx x x dx
x x x x x x ----=-+-+-=-+-+-=⎰⎰⎰⎰解
11
11
:22 |ln |ln 222
ln 2ln 2
e x e
x e e
e e
dx dx x
e x e
=-=-=--⎰⎰解原式
12．设)(x f 在]10[，连续且递减，证明：当10<<λ时，⎰⎰
≤λ
λ0
1
)()(dx x f dx x f .
【答案】证：⎰⎰⎰
+=1
1
)()()(λ
λdx x f dx x f dx x f
∴
⎰⎰⎰⎰+-=-1
10
)()()1()()(λ
λλλλλdx x f dx x f dx x f dx x f
0)()1()()1(21≤---=ξλλξλλf f
],0[1λξ∈，]1[2，λξ∈，⎰⎰≤∴λ
λ0
10
)()(dx x f dx x f
又证，作 ⎰⎰-=1
)()(1
)(dx x f dx x f F λ
λλ，]10[，
∈λ 则只需证：0)(≥λF
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=
'⎰⎰λλξλλλλλλλ0202)()(1)()(1)(f f dx x f f F []0)()(1
≤-=ξλλ
f f ， ],0[λξ∈
又0)1(=F ，故当10<<λ，0)(≥λF
⎰⎰≤∴λ
λ0
10
)()(dx x f dx x f。