2020版高考理数学一轮练习23解三角形

课时规范练23 解三角形
基础巩固组
1.(2018山西吕梁一模,4)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,c=3,cos A=,则b=
()
A.3
B.1
C.1或3
D.无解
2.在△ABC中,已知a cos A=b cos B,则△ABC的形状是()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
3.(2018湖南长郡中学四模,11)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B+sin
A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则角C=()
A. B.
C. D.
4.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()
A. B.
C.-
D.-
5.(2018湖南长郡中学五模,11)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=-,则角A的最大值为()
A. B.
C. D.
6.(2018河北衡水中学三模,14)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a sin B=b cos A,则sin B-cos C的最大值是.
7.(2018北京,文14)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;的取值范围是.
8.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.
9.(2018河北唐山一模,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若S△ABC=,则的最大值
是.
10.在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
综合提升组
11.(2018河北衡水中学考前仿真,11)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
a=5,△ABC的面积S△ABC=,且b2+c2-a2=ac cos C+c2cos A,则sin B+sin C=()
A.3
B.
C.
D.3
12.(2018河北衡水中学月考,12)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(a2+b2-
c2)·(a cos B+b cos A)=abc,若a+b=2,则c的取值范围为()
A.(0,2)
B.[1,2)
C. D.(1,2]
13.(2018河北衡水中学九模,14)如图,为了测量河对岸A、B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从点C可以观察到点A、B;找到一个点D,从点D可以观察到点A、C;找到一个点E,从点E可以观
察到点B、C;并测量得到一些数据:CD=2,CE=2,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则A、B两点之间的距离为.其中cos 48.19°取近似值
14.
(2018湖南长郡中学三模,17)在△ABC中,∠B=,BC=2,
(1)若AC=3,求AB的长;
(2)若点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足,ED=,求角A的值.
创新应用组
15.(2018江苏,13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC 于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.
16.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?
参考答案
课时规范练23 解三角形
1.C由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,即b2-4b+3=0,解得b=1或b=3.故选C.
2.D∵a cos A=b cos B,
∴sin A cos A=sin B cos B,
∴sin 2A=sin 2B,
∴A=B,或2A+2B=180°,
即A+B=90°,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.
3.B∵sin B+sin A(sin C-cos C)=0,
∴sin(A+C)+sin A sin C-sin A cos C=0⇒cos A sin C+sin A sin C=0
⇒cos A+sin A=0⇒A=,
由正弦定理得=⇒sin C=,C∈⇒C=,选B.
4.C(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.
结合题意知BD=AD,DC=2AD,
所以AC==AD,AB=AD.由余弦定理,得cos∠BAC=
==-.
故选C.
(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,
由题意知∠BAD=.
设∠DAC=α,则∠BAC=α+.
∵BC=3AD,BD=AD.
∴DC=2AD,AC=AD.
∴sin α==,cos α==.∴cos∠BAC=cos=cos αcos-sin αsin=(cos α-sin α)=×=-,故选C.
5.A由题意结合正弦定理得=-,
所以tan C=-3tan B,因此B,C中有一钝角,角A必为锐角,
∵tan A=-tan(B+C)=-=>0,
∴tan B>0,tan A≤=⇒0<A≤,即角A的最大值为,选A.
6.1由a sin B=b cos A,得sin A sin B=sin B cos A,tan A=1.所以在△ABC中,A=.sin B-cos
C=sin-cos C=sin C,C∈,所以sin C max=1.
7. (2,+∞)由题意,得S△ABC=(a2+c2-b2)= ac sin B,即=sin B,∴cos B=sin B,∴tan B=.∴B=.∴
A+C=,C=-A>,∴0<A<.
由正弦定理,得====+.∵0<A<,∴tan A∈.∴>+,即∈(2,+∞).
8. 在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.
由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,
即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),
解得cos α=,则sin α=,
所以tan α==.
9.2∵S△ABC== (a2+b2-2ab cos C)= ab sin C,
∴a2+b2=2ab(sin C+cos C).
+==2(sin C+cos C)=2sin≤2,当且仅当C=时取等号.
10.解 (1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,
所以由正弦定理得sin C==×=.
(2)因为a=7,所以c=×7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).
所以△ABC的面积S=bc sin A=×8×3×=6.
11.C(方法一)∵b2+c2-a2=ac cos C+c2cos A,
∴cos A==,
∴cos A===,A=.S△ABC=bc sin A=,bc=25.
∵a2=b2+c2-2bc cos A,
∴b2+c2=a2+bc=50,则(b+c)2=100,b+c=10,
∴b=c=5,∴△ABC为等边三角形,
∴sin B+sin C=.
(方法二)∵b2+c2-a2=ac cos C+c2cos A,
∴b2+c2-a2=ac·+c2·
===bc,
∴cos A==,A=.
S△ABC=bc sin A=,bc=25.
∵a2=b2+c2-2bc cos A,
∴b2+c2=a2+bc=50,
则(b+c)2=100,b+c=10,∴b=c=5,
∴△ABC为等边三角形,
∴sin B+sin C=.
12.B由题意可得:×=,
且cos C=,===1,
据此可得:cos C=,
即=,a2+b2-c2=ab,
据此有:c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4-3ab≥4-3=1,
当且仅当a=b=1时等号成立;
三角形满足两边之和大于第三边,则c<a+b=2,
综上可得:c的取值范围为[1,2).
13. 依题意知,在△ACD中,∠A=30°,由正弦定理得AC==2.
在△BCE中,∠CBE=45°,由正弦定理得BC==3.
在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos∠ACB=10,∴AB=.
14.解 (1)设AB=x,则由余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B,
即32=x2+22-2x·2cos,
解得x=+1,所以AB=+1.
(2)因为ED=,
所以AD=DC==.
在△BCD中,由正弦定理可得:=,
因为∠BDC=2∠A,所以=.
所以cos A=,所以A=.
15.9由题意可知,S△ABC=S△ABD+S△BCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得ac sin
120°=a×1×sin 60°+c×1×sin 60°,化简得ac=a+c, +=1.因此4a+c=(4a+c)=5++≥5+2=9, 当且仅当c=2a=3时取等号,故4a+c的最小值为9.
16.
解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.
又由正弦定理得sin∠ABC===,
所以∠ABC=38°.
又∠BAD=38°,所以BC∥AD.
故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.。