黑龙江省哈尔滨市第一一三中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

黑龙江省哈尔滨市第一一三中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如果执行右面的程序框图，如果输出的，则判断框处为（）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
A
略
2. 我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．D．
参考答案：
B
结合三视图，还原直观图，故，故选B．
3. 函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是()
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
参考答案：
C
4. 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=－对称，那么a等于（）
A. B.－ C.1 D.－1
参考答案：
D
略
5. 若将函数f（x）=1+sinωx（0＜ω＜4，ω∈Z）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图
象，且y=g（x）的图象的一条对称轴方程为x=，则分f（x）的最小正周期为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数图象的对称性，求得ω的值，进而利用正弦函数的周期公式即可计算得解．
【解答】解：将函数f（x）=1+sinωx的图象向右平移个单位后，
得到的图象对应的解析式为：y=g（x）=sin[ω（x﹣）]+1=sin（ωx﹣）+1，
∵y=g（x）的图象的一条对称轴方程为x=，
∴ω﹣=kπ+，k∈Z，解得：ω=6k+3，k∈Z，
∵0＜ω＜4，
∴ω=3，可得：f（x）=1+sin3x，
∴f（x）的最小正周期为T=．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数图象的对称性，三角函数周期公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
6. 若，∈R，则“≥2”是“+≥4”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
7. 下列函数中，不是偶函数的是（）A．y=sin（2x﹣） B．y=cos（2x﹣） C．y=10x+10﹣x D．y=ln（x2+1）
参考答案：
B
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
【解答】解：y=sin（2x﹣）=﹣cos2x，为偶函数，
y=cos（2x﹣）=sin2x为奇函数，
f（﹣x）=10x+10﹣x=f（x），则f（x）=10x+10﹣x为偶函数，
f（﹣x）=ln（x2+1）=f（x），则f（x）为偶函数，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义和性质进行判断是解决本题的关键．
8. 函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
9. 设集合，则（）
A．B．C．或
D．
参考答案：
B
10. 设函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0），则f（x）的奇偶性（）
A．与ω有关，且与?有关B．与ω有关，但与?无关
C．与ω无关，且与?无关D．与ω无关，但与?有关
参考答案：
D
根据正弦型函数的图象与性质，知f（x）的奇偶性与φ有关，与ω无关．
解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），
则f（x）的奇偶性与φ有关，与ω无关；
∵φ=kπ，k∈Z时，f（x）为奇函数；
φ=kπ+，k∈Z时，f（x）为偶函数；
否则，f（x）为非奇非偶的函数．
故选：D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截的弦长为_________ 参考答案：
略
12. 一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则. 俯视图
h
4
5
2
正（主）视图
侧（左）视图
参考答案：13. 已知是抛物线的焦点，过且斜率为的直线交于两点．设
<,若，则λ
的值为．
参考答案：
14.
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A的大小为．
参考答案：
或
【考点】正弦定理．
【分析】由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又
b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，
由此可得A的大小．
【解答】解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c?cosA，由正弦定理可得
2sinBcosB=sinAcosC+sinC?cosA，∴sin2B=sin（A+C）．
得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．
A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．
又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3× [cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），
解得 cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．
故答案为A=，或A=
15. 在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高分.
参考答案：
16
16. 在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜
率的最小值为。

参考答案：
17. 已知数列满足：则=；= ．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．
参考答案：
【考点】圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．
【解答】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（），
所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=；
（Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+
（y+）2=4，
圆的圆心坐标为（2，﹣），半径为2，
直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），
方程为y=﹣（x﹣2）=﹣（x﹣2），即x+3y﹣2=0．
圆心到直线的距离为： ==＜2，
所以，直线l与圆C相交．
【点评】本题考查圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．
19. （本题满分15分）已知函数．
（1）求函数的图像在点处的切线方程；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
参考答案：
（1）解：因为，所以，
函数的图像在点处的切线方程；…………5分
（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．…………7分
令，则，……………………8分
令，则，
所以函数在上单调递增．………………………9分
因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，…13分
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．…………14分
所以．故整数的最大值是3．………………………15分
20. （本小题满分13分）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）直线A1F∥平面ADE．参考答案：
【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．G4 G5
【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
解析：（Ⅰ）∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，………………2分
∵AD?平面ABC，∴CC1⊥AD．………………3分
∵AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
∴AD⊥平面BCC1B1．………………4分
∵AD?平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC1B1．……………………………………6分
（Ⅱ）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1．…………7分
∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F ?平面A1B1C1，∴CC1⊥A1F．………………9分
∵CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，∴A1F⊥平面BCC1B1……………10分
由（Ⅰ）知，AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD．………………11分
∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE，∴A1F∥平面ADE．………13分
【思路点拨】（Ⅰ）根据三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．
21. 本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：=2px（P＞0）的准线的距离为。

点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。

（1）求p,t的值。

（2）求△ABP面积的最大值。

参考答案：
（1）由题意得，得.
（2）设，线段AB的中点坐标为
由题意得，设直线AB的斜率为k（k）.
由，得，得
所以直线的方程为，即.
由，整理得，
所以，，.从而得
，
设点P到直线AB的距离为d，则
，设ABP的面积为S，则. 由，得.
令，，则.
设，，则.
由，得，所以，故ABP的面积的最大值为. 22. 已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（φ为参数）．点A，B是曲线C上两点，点A，B的极坐标分别为
（ρ1，），（ρ2，）．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和极坐标方程；
（Ⅱ）求|AB|的值．
参考答案：
【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）消去参数φ，把曲线C的参数方程化为普通方程；
由公式，把曲线C的普通方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）方法1：由A、B两点的极坐标，得出，判定AB为直径，求出|AB|；
方法2：把A、B化为直角坐标的点的坐标，求出A、B两点间距离|AB|．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为，（φ为参数），
消去参数φ，化为普通方程是x2+（y﹣2）2=4；
由，（θ为参数），
∴曲线C的普通方程x2+（y﹣2）2=4可化为
极坐标ρ=4sinθ，（θ为参数）；
（Ⅱ）方法1：由是圆C上的两点，
且知，
∴AB为直径，
∴|AB|=4；
方法2：由两点A（ρ1，），B（ρ2，），
化为直角坐标中点的坐标是A（，3），B（﹣，1），∴A、B两点间距离为|AB|=4．。