完全平方数
完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式
1. 完全平方公式：
完全平方公式是一个用于计算平方数的公式，它的形式为：
(a + b)²= a²+ 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。
这个公式的意思是，如果你想求出一个由两个实数a和b相加的数的平方，那么你可以使用这个公式。
首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相加。
接着，你需要计算2ab，这个2ab的意思是a和b的乘积的两倍。
最后，将这些结果相加就得到了(a + b)²的值。
2. 平方差公式：
平方差公式是一个用于计算两个实数之差的平方的公式，它的形式为：
(a - b)²= a²- 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。
这个公式的意思是，如果你想求出两个实数a和b之间的差的平方，那么你可以使用这个公式。
首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相减。
接着，你需要计算-2ab，这个-2ab的意思是a和b的乘积的两倍的相反数。
最后，将这些结果相加就得到了(a - b)²的值。
这两个公式在数学中非常有用，它们可以帮助我们在计算中快速求出平方数和差的平方。
了解它们的含义和用法可以帮助我们更好地理解数学的基本概念。
完全平方数
完全平方数（一）完全平方数的性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,48 4,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m^2=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
完全平方数大全.
完全平方数目录一、定义二、基础性质及推论三、重要结论四、区别五、特殊的完全平方数六、范例1.例12.例23.例34.例45.例56.例67.例78.例8七、讨论题一、定义及表达式1、定义：若一个数能表示成某个整数的平方，则称这个数为完全平方数，也叫平方数。
1.1例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529，…2、标准分解式：大于1的平方数n 的标准分解式如下：1222212kl l l kn pp p =（1）其中12121,,,,k k k p p p p p p ≥<<<是质数，12,,,k l l l 是自然数。
2.1例如：2222422223623,10025,14423,900235,=⨯=⨯=⨯=⨯⨯二、基础性质及推论观察0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529，…完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 1、性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9. （此为完全平方数的必要不充分条件）证明：设2()n n N ∈为完全平方数，0n 是n 的个位数，则2n 的个位数与20n 的个位数相同。
利用整数同余的知识有如果0(mod10)n n ≡，那么220(mod10)n n ≡又0n 的全体是集合{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，20n 的全体是{}0,1,4,9,16,25,36,49,64,81，20n 的个位数全体是{}0,1,4,5,6,9。
所以平方数末位数只能是0,1,4,5,6,9.2、性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。
五年级春季第8讲——完全平方数
二、完全平方数的特征
有些题目需要判断一个或几个数是否是平方数，能用的方法有下面 3 个，但一定要记住，尾数和余数特征是多用来判断数不是平方数的，也就 是说满足了这些特征只能说这个数有可能是平方数，不满足就一定不是平 方数；而因数特征才是判断一个数是完全平方数的根本方法！也就是说， 满足因数特征的就一定是平方数，不满足的就一定不是。
3. 范围判断
在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数，这个判断方法需要大家 多背一些平方数。
1
五年级春季知识点总结
吴超超
4. 因数特征——偶指奇约
⑴完全平方数分解质因数：每一个质因数的指数都必须是偶数！ ——判断一个数是完全平方数的根本方法 ⑵完全平方数的因数个数：奇数个。 （反之，其他数的因数一定有偶数个）
三、练习题
【练习 1】 1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是______的平方．
【练习 2】写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数．
【练习 3】从 1 到 100 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少 个？
五年级春季知识点总结
吴超超
第八讲 完全平方数
完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约 数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯 赛和小升初试卷中的一个热点。
一、完全平方数的定义
完全平方数：自然数的平方，也简称为平方数。 注意：完全平方数一定是自然数，也一定可以拆分成两个相同自然 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数， 则 a 的最小值是________．
【练习 5】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上 述条件的最小的正整数．
小学数学精讲解析：完全平方数
完全平方数完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
完全平方数的一般性质①完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；②奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数；③如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数；⑤平方数除以3余0或者余1；⑥平方数除以16余0或者余1或者余4或者余9；⑦平方数除以余0或者1或者4；⑧在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数；⑨一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是有奇数个因数(包括1和n本身)。
例1如从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？例2有一个四位数的个位数字与千位数字相等，且正好等于其十位数字的5倍与1的和的完全平方，求这个四位数。
例3在2500以内所有完全平方数中，能被9整除的有多少个？例4(04浙江五年级夏令营)袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球…依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下()个球。
例5能不能找到一个自然数n，是完全平方数，且n＋1999也是完全平方数？例6有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是()。
测试题1．从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？2．请说明任意两个相邻的正整数的积不是平方数。
3．有一个由不同数字组成的四位数A，2；已知A的千位数字是2，十位数字是1，且A各个位数上的数A B字相加的和为3的倍数。
那么这个四位数是几？4．所有六位数中，末四位是2004的完全平方数有多少个?它们的和是多少？答案1．【解析】因为327223=⨯，而根据一个完全平方数的分解质因数形式中所有质因数的个数都必须是偶数的特征，可以得出与72相乘的这个正整数一定是2的倍数，还要再乘以一个完全平方数，这样得到的结果还是完全平方数，乘数应该是221⨯、222⨯、223⨯、 、22n ⨯。
完全平方数
完全平方数(一)完全平方数的性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
完全平方数
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为
，则
= 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)2 是8n+1型的数；由k2为奇数或偶数可得(2k)2为8n型或8n+4 型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类： 3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得
(3m)2=9m2=3k (3m+1)2=9m2+6m+1=3k+1 (3m+2)2=9m2+12m+4=3k+1
[例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这 四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与 百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个 矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。
解：设矩形的边长为x,y，则四位数
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数， 因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
完全平方数
完全平方数什么是完全平方数在数学中，完全平方数是指可以表示成某个整数的平方的数字。
简单来说，完全平方数是一个整数乘以自己得到的结果。
例如，4、9、16和25都是完全平方数，因为它们分别是2、3、4和5的平方。
完全平方数的特点完全平方数具有一些独特的特点：1.所有正整数的平方根都是无限循环的小数。
不完全平方数的平方根是无限不循环的小数。
2.完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6和9。
如果一个数字的个位数不是这些数字中的任何一个，那么它就不是完全平方数。
3.完全平方数可以通过对一个整数的平方根进行取整来判断。
如果一个整数的平方根是一个整数，那么它就是完全平方数。
完全平方数的判断方法确定一个数字是否是完全平方数有多种方法：1. 数字求平方根的整数部分这是最简单的方法之一。
如果一个数字的平方根的整数部分等于原始数字，那么它就是完全平方数。
例如：import mathdef is_perfect_square(num):sqrt = int(math.sqrt(num))return sqrt * sqrt == numprint(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False2. 利用完全平方数的规律完全平方数的规律是，完全平方数是连续奇数之和，也可以表示为从1开始的连续奇数的和。
例如：def is_perfect_square(num):i =1while num >0:num -= ii +=2return num ==0print(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False这种方法的思想是，我们从1开始不断地减去连续的奇数，直到结果为0。
如果最终结果为0，那么原始数字就是完全平方数。
3. 二分查找我们可以利用二分查找的思路来判断一个数字是否为完全平方数。
完全平方数
完全平方数的性质及推论一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1) 2=100a 2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3) 2=100a 2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5) 2=100a 2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7) 2=100a 2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9) 2=100a 2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4) 2=100+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6) 2=100+(12n+3)x10+6即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
完全平方数的性质及应用
完全平方数的性质及应用完全平方数是指一个数字可以被另一个整数平方得到的数。
例如，4是一个完全平方数，因为2²=4。
完全平方数的性质和应用广泛，并在数学和其他领域中发挥着重要作用。
首先，完全平方数有一些基本的性质。
以下是一些关于完全平方数的重要性质：1. 完全平方数总是非负的。
一个完全平方数可以是0，也可以是一个正整数。
2. 完全平方数的平方根也是一个整数。
例如，16是一个完全平方数，其平方根为4。
这是因为4²=16。
3. 完全平方数可以通过连续奇数相加得到。
例如，1+3=4，4+5+6=16，9+11+13+15=64。
这个性质被称为“差平方数序列”。
4. 完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9。
这是因为一个数字的平方的个位数只能由它本身的个位数决定。
5. 完全平方数除以4的余数只能是0或1。
这是因为一个数字除以4的余数只能是0、1、2、3，而一个完全平方数除以4的余数只会是0或1。
6. 完全平方数的个位数字是0、1、4、5、6、9以外的数字时，其十位数也是个位数的平方根。
完全平方数的应用非常广泛，以下是其中一些重要的应用：1. 质因数分解：质因数分解是将一个正整数表示为质数的乘积的过程。
完全平方数在质因数分解中起到重要作用，因为它们可以分解为两个相同的质数相乘。
例如，16=2²，36=6²。
2. 几何学：完全平方数在几何学中有许多应用。
例如，一个正方形的面积就是一个完全平方数，因为它可以表示为一条边的长度的平方。
此外，完全平方数还可以用来表示一个矩形的面积，其中长和宽都是整数。
3. 数论：完全平方数在数论中起着重要作用。
例如，费马最后定理表明，对于大于2的正整数n，不可能找到整数x、y和z使得x^n + y^n = z^n成立。
然而，如果n=2，则等式x²+ y²= z²可以有解。
这个例子显示了完全平方数在数论中的特殊性质。
完全平方数
完全平方数一、完全平方数的性质最重要的4个性质：1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.除以4只能余0或者余1。
不可能余2或3。
3.完全平方数分解质因数后，指数都是偶数，指数是偶数的数是完全平方数。
4.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
其他性质：性质1：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质2：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数性质3：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质4：如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质5：完全平方数的个位是6，那么它的十位是奇数．性质6：若质数p整除a的平方，则p能被a整除。
例题1：下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【答案】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．例题2：证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。
【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2星【题型】解答【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．例题3：已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。
【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，学而思杯，6年级，第9题【答案】（法1）先将12！分解质因数：1052=⨯⨯⨯⨯，由于12!除以n得到一个12!235711完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042⨯⨯，所以n最小235为104212!2353711÷⨯⨯=⨯⨯231=。
完全平方数的计算方法
完全平方数的计算方法
完全平方数是指能够写成某个整数的平方的数，例如1, 4, 9, 16等。
计算一个数是否是完全平方数有多种方法。
首先，最直接的方法是计算这个数的平方根，如果结果是一个整数，那么这个数就是完全平方数。
例如，对于数字16，它的平方根是4，是一个整数，所以16是完全平方数。
另一种方法是利用数学定理。
根据数论的知识，一个正整数是完全平方数，当且仅当它的各个质因数的幂次均为偶数。
例如，36的质因数分解是2^2 3^2，其各个质因数的幂次均为偶数，因此36是完全平方数。
此外，还可以利用数学运算的性质来判断一个数是否是完全平方数。
例如，一个奇数的平方一定是奇数，一个偶数的平方一定是偶数。
因此，如果一个数字的个位数是2, 3, 7, 8时，它一定不是完全平方数，这可以帮助我们排除一些数字。
最后，还可以利用二分查找的方法来判断一个数是否是完全平方数。
通过不断缩小范围，逐步逼近目标数的平方根，最终确定是
否是一个整数。
综上所述，判断一个数是否是完全平方数有多种方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行计算。
完全平方数
完全平方数若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，简称平方数。
完全平方数有下列性质：（1）平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；（2）偶平方数能被4整除，奇平方数被8除余1；（3）平方数只能是形如3k或3k＋1的数；（4）奇平方数的十位数一定是偶数；（5）若平方数的末位数是奇数时，则其十位数字必为偶数例1、设N＝23x＋92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有对。
因N＝23x＋92y＝23（x＋4y），且23为质数，故x＋4y＝23m2（m为正整数）例2、使n5－5n3＋4n＋7成为完全平方数的自然数n的取值（）A．有且只有一个B．有有限多个，但多于一个C．有无穷多个D．不存在将原式分解因式，分析个位数例3、已知a是正整数，且a2＋2004a是一个正整数的平方，求a的最大值解题思路设a2＋2004a＝m2，其中m是正整数，通过引入参数、配方将问题转化为解不定方程。
例4、若一个整数能够表示成x2＋2xy＋2y2（x，y是整数）的形式，则称该数为“好数”（1）判断29是否为好数（2）写出80，81，…，100中的好数；（3）如果m，n都是好数，证明：mm也是好数解题思路x2＋2xy＋2y2＝（x＋y）2＋y2，即一个好数可表示成两个完全平方数的和，这是好数的特征，亦是解本例的关键。
例5、某正整数的平方，其末三位是非0的相同数字，求具有该性质的最小正整数．解：设所求数为p，p＞0，p2即具有末三位数，则p2至少有三位数，p至少有两位数。
设p ＝10a士b（a，b为正整数，1≤b≤5），则p2=100a2±20ab+b2=100a2+10(±2ab)+b2。
验证知当b＝1，3，4，5时，p2的十位和个位数字奇偶性相反；当b＝2时，p2的末两位数字奇偶性相同．所以所求数必须形如10a±2，而p＝12时，p2＝144，末两位数字为4．又注意（50n士x）2＝2500n2士100nx＋x2＝100（25n2士nx）＋x2。
第2讲 完全平方数
第2讲完全平方数完全平方数的定义：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
完全平方数的一般性质：①完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9；②奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数；③如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
④奇数的平方是8n+1型；偶数的平方是8n或8n+4型；⑤平方数的形式必为下列形式之一：3k，3k+1；⑥平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9;⑦不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型；⑧在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数；⑨一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n本身。
经典回顾：【例】如下图所示，已知长方形的长是宽的2倍，对角线的长是5，则长方形的面积是_________。
例题精讲：【例1】（03甘肃冬令营）祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是几岁。
【拓展】下式中的“香港”，“中国”都代表一个两位自然数，那么香港=（），中国=( )。
（香港）2+1997=（中国）2+1949【例2】（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛五年级决赛）4=2×2，9=3×3，16=4×4，…这时4、9、16这些数叫完全平方数。
前500个自然数中所有完全平方数的和是_______。
【拓展】在12=1，22=4，32=9，42=16，……中，1，4，9，16……叫做“完全平方数”。
从1到500这500个整数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的整数的和是( ).【例3】(2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动五年级初赛)有4 个不同的数字可组成18个的四位数，将这18个不同的四位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数，则这18个数中的最大的数是________。
完全平方数的定义和原理
完全平方数的定义和原理
完全平方数是指一个数能够被另一个整数平方得到的数，也就
是说，如果一个数可以表示为n^2，其中n是一个整数，那么这个
数就是一个完全平方数。
例如，4是一个完全平方数，因为它可以
被2平方得到（2^2=4）。
完全平方数的原理可以从数学角度来解释。
首先，我们知道一
个数的平方是指这个数与自身相乘的结果。
如果一个数是完全平方数，那么它的平方根一定是一个整数。
换句话说，一个数是完全平
方数，当且仅当它的平方根是一个整数。
这是因为，如果一个数的
平方根是整数，那么它就可以被这个整数平方得到，从而符合完全
平方数的定义。
另外，完全平方数还有一些特点。
首先，所有的非负整数都是
完全平方数的平方。
其次，完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6或9。
这是因为完全平方数的最后一位只能是0、1、4、5、6
或9的平方数才能以这些数字结尾。
这些特点可以帮助我们判断一
个数是否是完全平方数。
从几何角度来看，完全平方数也可以表示为一个正方形的面积。
例如，一个边长为3的正方形的面积就是9，而9恰好是一个完全
平方数。
因此，完全平方数也可以被理解为几何概念中的平方面积。
总的来说，完全平方数是一个重要的数学概念，它可以从数学
和几何两个角度来理解和应用。
通过理解完全平方数的定义和原理，我们可以更好地理解数学中的平方数概念，并在实际问题中应用这
一概念。
完全平方数的性质
完全平方数的性质完全平方数及其性质能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289, 324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
一、平方数有以下性质：【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。
（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。
如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。
【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。
【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
完全平方数的判断方法(一)
完全平方数的判断方法(一)完全平方数的判断方法什么是完全平方数？完全平方数是指某个整数可以表示为另一个整数的平方，例如4、9、16等都是完全平方数。
方法一：数学计算法通过数学计算的方法来判断一个数是否为完全平方数。
1.整数平方根法：取待判断的数的平方根，然后将得到的结果向下取整，再平方后与原数进行比较。
如果相等，则是完全平方数，否则不是。
这种方法适用于小范围的数值。
2.二分法：设定上下限，然后在这个范围内进行二分查找，判断平方根的整数部分与原数的大小关系，逐步逼近。
如果找到一个数，它的平方等于原数，那么这个数就是完全平方数。
方法二：编程计算法在编程中，可以利用一些算法来判断一个数是否为完全平方数。
1.暴力法：逐个判断从1到n的数的平方是否等于n，如果找到一个数的平方等于n，则n是完全平方数。
这种方法简单直接，但效率较低。
2.牛顿迭代法：利用牛顿迭代法来逼近方程的根。
在迭代过程中，判断当前迭代点的平方与原数的关系，逐步逼近。
如果找到一个数，它的平方等于原数，那么这个数就是完全平方数。
方法三：数论方法利用一些数论的性质和定理来判断一个数是否为完全平方数。
1.数论性质：平方数的特点是它的质因数的指数都是偶数。
可以对待判断的数进行质因数分解，如果所有质因数的指数都是偶数，则这个数是完全平方数。
2.费马定理：费马定理是指当p为素数且p不能整除n时，n^(p-1)mod p = 1。
基于费马定理，可以用来判断一个数是否为完全平方数。
方法四：位运算法通过位运算的方法来判断一个数是否为完全平方数。
1.位运算性质：任何完全平方数的二进制表示，除了最低位为1，其他位数均为偶数个1。
可以通过统计1的个数来判断一个数是否为完全平方数。
总结以上列举了几种常见的完全平方数的判断方法。
每种方法都有其适用的场景和具体实现方式，具体选择哪种方法可以根据实际需求来确定。
在实际应用中，可以根据数据规模、性能要求等因素综合考虑，选择合适的方法进行判断。
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一、 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为
32257⨯⨯，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。
(包括1和1400本身)
2、 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为
2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=
二、完全平方数常用性质
1.主要性质
1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
5、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
例题精讲
知识点拨
例1、数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
百炼成钢1、
1、126共有几个约数？全部约数和是多少？
2、240共有几个约数？全部约数和是多少？
3、324共有几个约数？全部约数和是多少？
例2、写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
百炼成钢2、
1、写出从1到200的自然数中有奇数个约数的数．
2、 1～500中有奇数个约数的数有哪些？
例3：求只有8个约数且不大于40的自然数。
百炼成钢3：
1、共有8个不同约数，且小于120的自然数有哪些？
2、有12个不同约数的最小自然数是多少？
3、有10个不同约数的最小自然数是多少？
例4：某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？
百炼成钢4：
1、某自然数是9和2的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少
2、某自然数是9和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少
3、一本故事书，如果每天读70页，5天读不完，6天又有余。
如果每天读65页，6天读不完，7天又有余。
如果每天读k页（k是整数），正好k天读完。
这本书有多少页？
例5、从1到1998的所有自然数中，有多少个乘以72后是完全平方数？
百炼成钢5：
1．240乘以一个自然数a，积是一个整数的平方，求最小的a及这个整数。
2、祖孙三人，孙子年龄与爷爷年龄之积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人年龄之积是完全平方数，则父亲年龄是多少岁？
3、13500除以一个最小的数使商成为一个完全平方数，这个最小的数是。
例6：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元（n为整数），全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。
为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？
百炼成钢6：
1、甲、乙两同学按先后顺序把多米诺骨牌，要求摆成一个正方形。
由于每人手中一次只能拿10块，故每次每人摆10块。
现已知最后一次甲摆了10块，而乙摆了不足10块。
如果他们一共要摆3000多块，那么他们摆的准确数是（）块。
2、甲、乙两人共买a只皮球，每只皮球a元，付款时，甲先付10元，乙再付1 0元，照此轮流付下去，当最后余下的所要付的钱不足10元时，轮到乙付。
当全部付完款后，乙应再付多少钱给甲，才能使两人所付的钱同样多？
例7：求一个最小自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是完全五次方数。
百炼成钢7：
1、有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．
2、有3个连续自然数，它们的和为一个立方数，中间数是平方数，则这3个数中最小数的最小值为．
例8：一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
百炼成钢8：
1、一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？
2、两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
3、两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
解题我最牛：
1、求420的约数个数有多少个？它的全部约数和是多少？
2、小于200的有14个约数的自然数有哪些？
3．小于300的9个约数的自然数有哪些？
4、1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
5、从1到2011的所有自然数中，乘以60后是完全平方数的数共有多少个？
6、自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数有（）个。
.7、求一个能被180整除的最小完全平方数.
8、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。