完全平方数

一、 求任一整数约数的个数

一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为

32257⨯⨯，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)

2、 求任一整数的所有约数的和

一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为

2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=

二、完全平方数常用性质

1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

5、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-

例题精讲

知识点拨

例1、数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?

百炼成钢1、

1、126共有几个约数？全部约数和是多少？

2、240共有几个约数？全部约数和是多少？

3、324共有几个约数？全部约数和是多少？

例2、写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

百炼成钢2、

1、写出从1到200的自然数中有奇数个约数的数．

2、 1～500中有奇数个约数的数有哪些？

例3：求只有8个约数且不大于40的自然数。

百炼成钢3：

1、共有8个不同约数，且小于120的自然数有哪些？

2、有12个不同约数的最小自然数是多少？

3、有10个不同约数的最小自然数是多少？

例4：某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？

百炼成钢4：

1、某自然数是9和2的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少

2、某自然数是9和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少

3、一本故事书，如果每天读70页，5天读不完，6天又有余。如果每天读65页，6天读不完，7天又有余。如果每天读k页（k是整数），正好k天读完。这本书有多少页？

例5、从1到1998的所有自然数中，有多少个乘以72后是完全平方数？

百炼成钢5：

1．240乘以一个自然数a，积是一个整数的平方，求最小的a及这个整数。

2、祖孙三人，孙子年龄与爷爷年龄之积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人年龄之积是完全平方数，则父亲年龄是多少岁？

3、13500除以一个最小的数使商成为一个完全平方数，这个最小的数是。

例6：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元（n为整数），全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？

百炼成钢6：

1、甲、乙两同学按先后顺序把多米诺骨牌，要求摆成一个正方形。由于每人手中一次只能拿10块，故每次每人摆10块。现已知最后一次甲摆了10块，而乙摆了不足10块。如果他们一共要摆3000多块，那么他们摆的准确数是（）块。

2、甲、乙两人共买a只皮球，每只皮球a元，付款时，甲先付10元，乙再付1 0元，照此轮流付下去，当最后余下的所要付的钱不足10元时，轮到乙付。当全部付完款后，乙应再付多少钱给甲，才能使两人所付的钱同样多？

例7：求一个最小自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是完全五次方数。

百炼成钢7：

1、有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．

2、有3个连续自然数，它们的和为一个立方数，中间数是平方数，则这3个数中最小数的最小值为．

例8：一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？

百炼成钢8：

1、一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？

2、两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？

3、两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？

解题我最牛：

1、求420的约数个数有多少个？它的全部约数和是多少？

2、小于200的有14个约数的自然数有哪些？

3．小于300的9个约数的自然数有哪些？

4、1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．

5、从1到2011的所有自然数中，乘以60后是完全平方数的数共有多少个？

6、自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数有（）个。

.7、求一个能被180整除的最小完全平方数.

8、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。