第11讲 向量及其线性相关性

)0,,0,0,1(1 =e , )0,,0,1,0(2 =e , …, )1,0,,0,0( =n e 线性无关．
证：设 02211=+++n n e k e k e k , 则有
⇒=0),,,(21n k k k 只有0,,0,021===n k k k 故n e e e ,,,21 线性无关．
例4、已知向量组321,,ααα线性无关, 证明向量组
11αβ=, 212ααβ+=, 3213αααβ++=也线性无关．
证：设 0332211=++βββk k k , 则有0)()(332321321=+++++βααk k k k k k
因为321,,ααα线性无关, 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000
3
32321k k k k k k , 即0321
===k k k
故321,,βββ线性无关． 3、简单结论：
1)对于单个向量α：若0=α, 则α线性相关； 若0≠α, 则α线性无关． 2)含0的组T 必线性相关.
3)α与β线性相关⇔βαk =（成比例）. 4)部分组线性相关，则整组线性相关. 5)整组线性无关，则部分组线性无关. 6)无关组添加分量（相同位置上）仍成无关组. 7)相关组减少分量（相同位置上）仍是线性相关组. 四、重要定理
定理1：向量组m ααα,,,21 （2≥m ）线性相关⇔
其中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示．
证：必要性．已知m ααα,,,21 线性相关, 则存在m k k k ,,,21 不全为零, 使得： 02211=+++m m k k k ααα。