江西省宜春市荷湖中学高三数学文上学期期末试题含解析

江西省宜春市荷湖中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则?U（A∪B）=（）A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}
参考答案：
D
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求．
【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，
变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，
解得：1＜x＜4，
∴B={2，3}，
∵A={1，2}，
∴A∪B={1，2，3}，
∵集合U={0，1，2，3，4，5}，
∴?∪（A∪B）={0，4，5}．
故选D．
2. 若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）
A．B．C．1 D．
参考答案：
D
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵，
∴，则z的虚部为，
故选：D．
3. 函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，下列说法错误的是（）
A． B．
C．若关于的方程恰有三个不同实根，则必有一个取值为
D．若关于的方程恰有三个不同实根，则取值唯一
参考答案：
D
4. 已知等比数列{}的前项和为,且，则数列的公比的值为（）
A．2 B．3 C．2或-3 D．2或3
参考答案：
C
略
5. 已知矩形tanA=3tanC，E、F分别是BC、AD的中点，且BC=2AB=2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A﹣FEC的外接球的体积为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】由题意，三棱锥A﹣FEC外接球是正方体AC的外接球，由此三棱锥A﹣FEC外接球的半径是
，由求的体积公式可得．
【解答】解：由题意，三棱锥A﹣FEC外接球是正方体AC的外接球，由此三棱锥A﹣FEC外接球的半径是，
所以三棱锥A﹣FEC外接球的体积为=．
故选：B．
6. 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．
A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
参考答案：
D
7.
已知两条直线∶ax＋by＋c＝0，直线∶mx＋ny＋p＝0，则an＝bm是直线的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
答案:C
8. 下列函数中，为偶函数且有最小值的是
A.f(x) =x2 +x
B.f(x) = |lnx|
C.f(x) =xsinx
D.f(x) =e x+e-x
参考答案：
D
9. 甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（）
A．甲和乙不可能同时获奖B．丙和丁不可能同时获奖
C．乙和丁不可能同时获奖D．丁和甲不可能同时获奖
参考答案：
C
10. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）．A． B．13 C．33 D．123
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则
的最小值为________．
参考答案：
因为a>0，b>0，所以由可行域得，当目标函数z＝ax＋by过点(4,6)时取最大值，则4a＋6b＝10.a2＋b2的几何意义是直线4a＋6b＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么最小值是点(0,0)到直线
4a＋6b＝10距离的平方，即a2＋b2的最小值是.
12. 函数
的定义域为
参考答案：
13. 圆x2+y2﹣2y﹣3=0的圆心坐标是，半径．
参考答案：
（0，1），2．
【考点】J2：圆的一般方程．
【分析】通过配方把圆的一般式转化成标准式，进一步求出圆心坐标和半径．
【解答】解：已知已知圆x2+y2﹣2y﹣3=0的方程转化为：x2+（y﹣1）2=4．
∴：圆心坐标为（0，1），半径r=2．
故答案为：（0，1），2．
14. 已知，分别为双曲线，的左、右焦点，若在右支上存在点，使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
参考答案：
略
15. 设x ，y满足
，令z ＝x ＋y ，则z 的取值范围为 .
参考答案：
16. ．已知函数是偶函数，时恒成立（其中是函数的导函数），
且，则不等式的解集为
参考答案：
略
17. 函数f（x）=e x?sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．
参考答案：
y=x
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导
函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵f（x）=e x?sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），（2分）
f′（0）=1，f（0）=0，
∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为
y﹣0=1×（x﹣0），
即y=x（4分）．
故答案为：y=x．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知
识，考查运算求解能力．属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

（1）求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积.
参考答案：
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,
因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA AD=A,所以CE⊥平面PAD…………5分
(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.
又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以
==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四
棱锥P-ABCD的体积等于………….12分
19. 已知向量，函数．
（1）求函数f（x）的对称中心；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，且a＞b，求a，b 的值．
参考答案：
【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】（1）通过向量的数量积以及二倍角的余弦函数，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的对称性求函数f（x）的对称中心；
（2）通过，求出C的大小，以及余弦定理求出a，b的值．
【解答】解：（1），
=．…
令得，，
∴函数f（x）的对称中心为．…
（2），
∵C是三角形内角，∴即：…
∴即：a2+b2=7．
将代入可得：，解之得：a2=3或4，…
∵a＞b，∴．…
∴或2，∴．
20. 在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，，且
AD∥BC，AD＝AE＝1，∠ABC＝60°，EF=AC，且EF∥AC. （Ⅰ）证明：AB⊥CF；
（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．
参考答案：
（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由EA⊥平面ABCD得BA⊥AE．由四边形ABCD为等腰梯形，，且，∠ABC＝60°，得AB⊥AC，进而推出AB⊥平面ACFE．即可得AB⊥CF．
（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BEF的一个法向量，平面DEF的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角的余弦值即可．
【详解】（Ⅰ）由题知EA⊥平面ABCD，BA平面ABCD，∴BA⊥AE．
四边形ABCD为等腰梯形，，且，AD＝1，所以BC=2，∠ABC＝60°，
过点A作AH⊥BC于H，在RT△ABH中，，∴AB＝1，
在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcos60°＝3，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，
且AC∩EA＝A，∴AB⊥平面ACFE．又∵CF?平面ACFE，∴AB⊥CF.
（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
EF=AC，且EF AC，AD＝AE＝1，则，
设为平面BEF的一个法向量，则令
，得
，
设为平面DEF的一个法向量，则令，得，
∴，二面角B﹣EF﹣D的余弦值为.
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，向量法求二面角的平面角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
21. （14分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上．
（1）求证：BC⊥平面ACEF；
（2）当FM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）由已知可得△ADC是等腰三角形，且∠BDC=∠ADC=120°，解得BC⊥AC，又平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，即可证明BC⊥平面ACEF；
（2）在Rt△ACB解得AC=a，AB=2a，在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接EN，有：CN：NA=1：2，
又ACEF是平行四边形，FM=a，可得EF=AC=，且FM：ME=1：2，从而证明四边形EMAN为平行四边形，AM∥NE，即可得证AM∥平面BDE．
【解答】解：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=a，∠ABC=60°，
∴△ADC是等腰三角形，且∠BDC=∠ADC=120°，
∴∠DCA=∠DAC=30°，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACEF；…7分
（2）当FM=a，AM∥平面BDE，
证明：在Rt△ACB，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=a，
∴AC=a，AB=2a，
∴在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接EN，
则有：CN：NA=1：2，
又∵ACEF是平行四边形，FM=a，
∴EF=AC=，且FM：ME=1：2，
∴EM=AN，又EM∥AN，
∴四边形EMAN为平行四边形，AM∥NE，
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE…14分
理论证能力，属于基本知识的考查．
22. 随着教育制度和高考考试制度的改革，高校选拔人才的方式越来越多.某高校向一基地学校投放了
一个保送生名额，先由该基地学校初选出10名优秀学生，然后参与高校设置的考核，考核设置了难
度不同的甲、乙两个方案，每个方案都有M(文化)、N(面试)两个考核内容，最终选择考核成绩总分
第一名的同学定为该高校在基地校的保送生.假设每位同学完成每个方案中的M、N两个考核内容的
得分是相互独立的.根据考核前的估计，某同学完成甲方案和乙方案的M、N两个考核内容的情况如
下表：
已知该同学最后一个参与考核，之前的9位同学的最高得分为125分.
(I)若该同学希望获得保送资格，应该选择哪个方案？请说明理由，并求其在该方案下获得保送资
格的概率；
(II)若该同学选用乙方案，求其所得成绩X的分布列及其数学期望EX.
参考答案：
略。