三角变换与三角函数性质问题

三角变换与三角函数性质问题（一）
1. 已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12
sin2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值；
(2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间．
2. 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12
. (1)若0<α<π2，且sin α＝22
，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
3. 已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12
(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤0，π4上的函数值的取值范围．
4. 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤0，π2上的值域．
参考答案：
1. 已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12
sin2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值；
(2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间．
审题破题 (1)由x ＝x 0是y ＝f (x )的对称轴可得f (x 0)取到f (x )的最值；(2)将h (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．
解 (1)f (x )＝12⎣
⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，
所以2x 0＋π6＝k π (k ∈Z )，即2x 0＝k π－π6
(k ∈Z )． 所以g (x 0)＝1＋12sin2x 0＝1＋12sin ⎝
⎛⎭⎫k π－π6，k ∈Z . 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝1－14＝34
. 当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54
. (2)h (x )＝f (x )＋g (x )
＝12[1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6]＋1＋12
sin2x ＝12⎝⎛⎭⎫32cos2x ＋12sin2x ＋32
＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2
(k ∈Z )， 即k π－5π12≤x ≤k π＋π12
(k ∈Z )时， 函数h (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32是增函数． 故函数h (x )的单调递增区间为
⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12 (k ∈Z )．
2. 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22
，求f (α)的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22
， 所以cos α＝
22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12
. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12
＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12
＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin(2x ＋π4
)， 所以T ＝2π2
＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2
，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8
，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8
]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12
＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12
＝12sin2x ＋12
cos2x ＝22sin(2x ＋π4
)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4
， 从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12
. (2)T ＝2π2
＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2
，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8
，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8
]，k ∈Z .
3. 已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12
(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤0，π4上的函数值的取值范围． [审题视点] 将三角函数化为标准型，利用周期公式求解，再利用三角函数的性质求值域． 解 (1)因为f (x )＝32sin 2x －12
cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故f (x )的最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，故所求的值域为⎣⎡⎦
⎤－12，32. 4. 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤0，π2上的值域． 解 (1)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4 ＝12cos 2x ＋32
sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32
sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.∴T ＝2π2
＝π. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦
⎤－π6，5π6 ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6max ＝1，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6min ＝－12
即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦
⎤－12，1.。