蒙特卡洛模拟正常晶粒长大的实时-温度模型

蒙特卡洛模拟正常晶粒长大的实时-温度模型
JINHUA GAO and R. G . THOMPSON
摘要
两种不同的模型，在金属和合金中模拟晶粒正常生长被提出来了。

这些模型的实际应用证明了时间-温度基于蒙特卡洛(MC ）模拟材料加工。

一个变形晶界迁移模型加上蒙特卡洛(MC)模拟耦合的第一原则变形晶界迁移模型。

这个模拟的结果显示与在等温条件下晶粒生长的正常长大部分实验结果相关联。

基于模型的实验数据加上蒙特卡洛(MC)模拟晶粒生长的实验数据。

模拟的实验结果显示与钛合金在持续加热的条件下晶粒生长相关联。

1.介绍
晶粒尺寸大小可以说是材料最重要的微观特性。

它影响着材料的强度、脆性、韧性、耐腐蚀性、耐热性以及其他性质。

由于它的重要性,晶粒生长在大多材料科学工程研究中成为一个关键科学问题。

Beck 等人[l]提出了等温条件下晶粒生长动力学关系式：
n
t C D 1= （1）
式中：D 是晶粒尺寸半径，1C 是一个系统常数，t 表示时间，n 是动力学时间指数。

后来Burke 和Turnbull [2]
推导出等温晶粒生长抛物线关系式：
t RT Q C D D ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-exp 22
02 （2）
式中：0D 是t=0时刻时初始晶粒尺寸半径，2C 是一个系统常数，Q 是晶粒生长活化能，R 是气体常数，T 表示温度。

有许多关于各种金属和合金等温晶粒生长模拟的文献报道。

大多数实验结果表明时间指数n 的理论值
在0.5左右[3-7]。

一些实验表明温度和时间指数n 有一定的关系[8-l1]。

Anderson 等人[12]提出了用计算机模拟技术观察晶粒生长，这种方法被叫成为蒙特卡洛(MC ）模拟。

在很多关于蒙特卡洛(MC)模拟晶粒生长的出版文献中，模拟晶粒生长动力学被作为真实晶粒生长的动力学，但是在真实时间-温度和模拟时间当中，向前的相关联性的重要性已经被认可。

Ling and Anderson [13]指出蒙特卡洛模拟时间转换到真实时间需要一种隐含的活化能的因素⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
RT W exp ,和原子的跳跃频率相对应。

通过比较肥皂泡沫实验和蒙特卡洛模拟的结果，Ling 等人
[14]
推出蒙特卡洛模拟时间（MC t ）和真实时间（r t ）的转换公式：
()204432.0min ==MC r t t 。

Radhakrishnan 和Zacharia [15]推出蒙特卡洛模拟时间和真实时间-温度公式：
t RT Q K K MCS M ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=exp 0
21
式中：MCS 表示蒙特卡洛模拟时间，K 1和K 2是系统常数，M Q 是变形晶界迁移活化能，R 是气体常数，T 表示温度，t 表示真实时间。

Thompson 等人
[16]
通过公式：
t RT Q v MCS ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=exp
将蒙特卡洛模拟步数和真实时间-温度联系在一起，式中v 表示原子振动频率，Q 是活化能，R 是气体常数。

在上面所有蒙特卡洛模拟模型中，涉及的蒙特卡洛模拟时间与真实时间是成线性关系的。

然而，没有足够的证据表明，在所有材料系统中，模拟时间与真实时间是成线性关系的。

在本研究中，在蒙特卡洛模拟不同代数和真实时间-温度动力学中，通过蒙特卡洛模拟结合两种不同关系来模拟晶粒生长。

因此，两种不同的模型被提出来了，即晶界迁移模型和基于实验数据模型。

2.蒙特卡洛模拟
使用一个二维矩阵模拟三角格点单元分布。

随机取向数字r S ，481≤≤r S ，被分配到每个格点矩阵中。

格点的数字再次取向由前后改变的能量差 ΔE 开关语句概率来决定[12]，即：
()
()0001>∆≤∆=
E E P （3）
其中
()
∑-=∆n i i S S S S J E δδ0 (4)
式中S 0是格点内出始单元取向数，i S 表示其邻近的6个单元取向数，n S 表示另一新的随机取向数，J 为晶界能，δ为Kronecker 函数。

求和指三角格点邻近的所有6个单元的总和。

3.晶粒生长模拟的两种模型
3.1.晶界迁移（GBM ）模型
在模拟矩阵晶界存在，两个相邻格点单元的取向数值不同。

格点单元的取向数的重新定位可看成晶界的部分迁移。

晶界迁移速率（v ）可用下列公式表达[17]：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=
r RT Q R S RT N AZvV
v a a m
γ2exp exp 2
(5)
式中A 表示调节概率，Z 表示在原子晶界处每单元面积内的平均原子数，可看成封闭的单元内原子堆积的密集度，v 表示振动频率，a N 是阿伏伽德罗常数，R 是气体常数，T 表示绝对温度，a S ∆表示活化熵，Q 是活化能，γ是晶界能，r 是晶界曲率半径。

假设： (1)晶界曲率半径r 等于平均周长[2]。

(2)晶界迁移速度可用晶粒平均周长的增长率表示：
dt
dL dt dr v ==
式中L 表示晶粒的平均周长。

(3)由于晶界结构和液体的相似性，晶界迁移的活化熵a S ∆等于材料的融化熵f S ∆。

(4)晶界能λ和晶粒尺寸大小以及晶粒取向无关。

(5)原子振动频率v 和温度关系可用下列公式表示[2]
：
h
N RT h
kT v a ==
式中h 是普朗克常数，k 是波尔兹曼常数。

方程(5)可以写成：
dt RT Q R S h
N AZV LdL f a m
⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆=
exp exp 22
2
γ (6) 结合方程(6)得出：
t RT Q R S h
N AZV L L f a m
⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆=
-exp exp 422
2
2
γ (7) 式中L 0是t=0时刻时初始晶粒尺寸大小。

模拟的晶粒尺寸和蒙特卡洛模拟迭代次数关系需要生成一个特定的晶粒尺寸来模拟晶粒生长动力学。

模拟晶粒生长动力学通过蒙特卡洛模拟生成的下列表格数据回归分析：
()1
1n MCS
K L λ= (8)
式中L 表示模拟的晶粒平均周长，K 1和n 1都是模型常数，λ是格点单元的间距，MCS 是蒙特卡洛模拟迭代次数。

由方程(7)和方程(8)中晶粒平均周长的等同可得出：
t RT Q R S hK N AZV K L MCS f a m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=exp exp 4)
(22122
2
1021
λγλ (9) 在连续加热或冷却过程中要应用方程(9)进行晶粒生长模拟，晶粒生长时间t 需要被分割成一系列的微小时间间隔i t (i =1,2,……，x)，此时方程(9)可改写成：
()
∑⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∆+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=i i f a m
n
t RT Q R S hK N AZV K L MCS exp exp 422122
2
102λγλ (10) 式中的求和是从i =1到i =x ，i T 表示微小时间间隔i t 时的实时温度。

在GBM 模型中，方程(9)和方程(10)的关系式可用于真实时间-温度模拟。

3.2.基于实验数据(EDB)模型
根据恒温条件下晶粒生长实验数据进行多种回归分析，可以得出晶粒尺寸(L)和保温时间(t)、温度(T)之间的关系：
t RT Q K L L n
n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-exp 0 (11)
将方程(8)代入方程(11)可以得到等温条件下蒙特卡洛模拟晶粒生长时间和真实时间、温度之间的关系式：
()()t RT Q K K K L MCS n n
nn
⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=exp 1101
λλ (12) 方程(12)可以直接适用于等温过程，但它必须被整合在整个热循环用于持续加热或冷却过程中。

可以通过总结在不同温度下较短时间间隔内晶粒生长得出方程(13)：
()
()∑⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i i n
nn t RT Q K K K L MCS exp 1101
λλ (13) 式中i T 表示较短时间间隔i t 时的温度。

方程(12)和方程(13)也就是EDB 模型中蒙特卡洛模拟迭代次数和真实时间-温度之间的关系。

4.材料加工模型的应用
该蒙特卡洛模拟使用一个500×500大小的矩阵和一个周期性边界条件。

该蒙特卡洛模拟给出模拟晶
粒生长的动力学表达式：
()48.014.0MCS L λ= (14)
式中L 表示晶粒周长，λ表示格点单元间距。

方程(14)有两个模拟模型常数，即K 1=0.14和n 1=0.48。

4.1.提纯的锡金属在等温条件下晶粒生长的GBM 模型应用
把下面的参数K 1=0.14，n 1=0.48,λ=0.164J ∕m
2[18]
，A=1，2
181015.3m Z ⨯=，
mol m V m 351066.1-⨯=，1
23
10
02.6-⨯=mol
N a ，K
mol cal S f 4.3=∆[19]
，Js h 3410624.6-⨯=，00=L ，mol
cal Q 6000=[20]
，
K mol cal R 2=，m 4
102-⨯=λ 代入方程(9)可以得出方程(15)：
()()t MCS T
300096.0exp 16500-
= (15)
等温条件下模拟晶粒结构过程如图1所示。

图2所示是由Holmes 等人[4]模拟晶粒尺寸和实验进行比较的结果。

4.2.钛合金热处理(持续加热)基于实验数据模型的应用
Semiatin 等人[21]分析了β晶粒快速生长的动力学，继续加热一个常见的由6.4%的Al ，3.3%的Mo ，1.6%的Zr ，0.28%的Si 和Ti 成分平衡组成α-β钛合金。

该合金以10,25,100和300℃／s 的常数变化率用电阻加热，使温度达到1050℃到1200℃范围内，然后立即放入水中淬火。

所有的处理完全退火后制作β微观结构。

根据他们的分析，晶粒生长动力学在β相时可以表示为：
t RT L L ⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯=-251000exp 10
02.212
202 (16)
式中L 表示晶粒尺寸，L 0是初始晶粒尺寸(3.5m μ),R 是气体常数，t 表示时间，T 表示温度。

将方程(16)代入方程(13)，并且注释n 1=0.48，k 1=0.14[来自方程(14)]可得出：
()
∑
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+
=
i i t RT MCS 251000exp 10
03.1625
2
14
2
96
.0λ
λ
(17) 式中λ表示格点单元间距(单位：μm),R 是气体常数(8.31J/mol/K)。

方程(17)反映的是蒙特卡洛模拟步数和真实时间-温度之间的关系。

基于这种关系，晶粒生长模拟的结
果如图3所示。

在模拟过程中，当加热变化率为10,25,100和300℃／s 时，λ取值分别为5,3.25,1.7和1μm 。

当加热变化率为25℃／s 时，晶粒结构如图4所示。

5.讨论
在GBM和EDB模型中，材料中的每个格点单元在物理学里被看成一小块(二维空间)。

一般来说，两种模式都可以不考虑晶粒尺寸因素来模拟晶粒生长。

通过这些模型为了有效的模拟晶粒生长，两种因素必须要考虑。

一种是在冶金过程中所要求的蒙特卡洛模拟迭代次数，另一种是模拟的准确性。

每一微小的格点间距在这些方面扮演着一个重要组成部分。

在目前用于模拟研究晶粒长大迭代次数的范围内，从1000带50000迭代，单片机对真实时间和温度关系可准确地用方程（14）表示。

格点的间距应进行仔细调整，以确保数量的MCS就在这个范围内。

如果所选的格点间距过大，MCS的数目太少，和方程（14）的晶粒尺寸吻合。

另一方面，如果选择格点间距过小，在计算机上运行所需MCS的数目可能过大。

在GBM和EDB模型中，模拟晶粒长大动力学总是依靠模拟中总共随机取向数字。

图5显示的就是这种依赖关系。

我们知道一个晶粒是指一组相邻格点具有相同数目方向，晶粒边界只存在两个晶格点，不同的方向的数字。

晶核凝聚和晶粒长大要用到少数的方向数字。

如果模拟模型不考虑晶粒生长动力学，模拟晶粒尺寸相当，在不同模拟中使用不同的随机数的方向。

在方程（9）和（12）中，目前模拟晶粒生长动力学模型通过模型常数K1和n1表示。

因此，在模拟中无论有多少随机取向数字，选择了的模拟结果将是相似的。

当等温材料的晶粒生长动力学可用，EDB模型可以用来模拟晶粒等温过程，持续加热或冷却过程与实验结果相吻合。

晶粒生长动力学用于单相或纯金属材料中是没有必要的。

只有该系统有足够的晶粒生长数据，EDB模型可以用来模拟其晶粒生长。

当材料中晶粒生长数据不充分，GBM是一个晶粒生长模拟的好方法。

在这里，材料系统和其物理性质都是有用的。

一个缺点应用在此模型中，在GBM模型中材料系统其晶粒生长时间指数n被假定为0.5。

但是，已发现0.5指数只有在少数系统中。

对于绝大多数的文献实验数据，n为0.3。

因此，GBM模型应用到的材料系统，其晶粒生长指数为0.5左右，模拟结果可能会显示不同的实验结果。

6.结论
实时温度的MC模拟技术成功地应用在等温过程模拟和连续加热过程晶粒生长正常。

当等温晶粒生长动力学的实验数据可用，根据模型给出了实验数据的模拟结果良好。

在实验数据的情况下是不够时，却对物理性能数据可用，晶界迁移模型可以作为一个替代模拟晶粒生长。