浙江省温州市2021届新高考第四次模拟数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考第四次模拟数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数21i
z i
=-（i 为虚数单位），则z 等于（ ）
A ．3
B ．
C ．2 D
【答案】D 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解. 【详解】
()()()
()21211111i i i z i i i i i i +=
==+=-+--+，
所以1z i =--，z =， 故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.
2．已知锐角α满足2sin 21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．
12
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可. 【详解】
由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C. 【点睛】
本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.
3．函数()()23
ln 1x f x x
+=
的大致图象是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】
由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10
(3),ln 22727
f =
>， 即()()1?
3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】
本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．
4．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．4711
B ．4712
C ．4713
D ．4715
【答案】B 【解析】 【分析】
计算出3a 的值，推导出(
)3n n a a n N *
+=∈，再由202036731=⨯+，结合数列的周期性可求得数列{}n
a 的
前2020项和. 【详解】
由题意可知128n n n a a a ++=，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，则1238a a a =，312
8
4a a a ∴=
=， 由128n n n a a a ++=，得1238n n n a a a +++=，12123n n n n n n a a a a a a +++++∴=，3n n a a +∴=，
202036731=⨯+Q ，因此，()1220201231673673714712a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++=⨯+=.
故选：B. 【点睛】
本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
5．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）
A ．
16
37
B ．
949
C ．
937
D ．
311
【答案】C 【解析】 【分析】
首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解. 【详解】
因为正方形ABCD 为朱方，其面积为9，
五边形AGFID 的面积为37ABCD BGFE DCI IEF S S S S ∆∆+++=， 所以此点取自朱方的概率为937
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 6．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移
4
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ）
A ．
8
π B ．
4
π C ．
2
π D ．34
π
【答案】B
【解析】 【分析】
根据条件先求出()g x 的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可. 【详解】
将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移
4
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象， 则()cos 2cos 242g x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭， 设22
x πθ=+
， 则当0x a <≤时，022x a <≤，
222
2
2
x a π
π
π
<+
≤+
，
即
222
a ππθ<≤+， 要使()g x 在区间[]0,a 上单调递减， 则22
a π
π+
≤得22
a π
≤
，得4
a π
≤
，
即实数a 的最大值为4
π
， 故选：B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.
7．已知双曲线22
221x y C a b
-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )
A B ．
3
C D ．【答案】B 【解析】
由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为1
3k '=-，即
13b a =，所以e ==，选B. 8．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ）
A ．
23
B ．
43
C ．83
D ．
163
【答案】C 【解析】 【分析】
由题可推断出ABC V 和BCD V 都是直角三角形，设球心为O ，要使三棱锥D ABC -的体积最大，则需满足h OD =，结合几何关系和图形即可求解 【详解】
先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA OB OC ==，
故ABC V 是直角三角形，设,AB x AC y ==，则有222
42x y xy +=≥，又12ABC S xy ∆=
，所以1
42
ABC S xy ∆=≤，当且仅当22x y ==时，ABC S ∆取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高2h OD ==，此时118
42333
ABC D ABC V S h -∆=⋅=⨯⨯=，
故选：C 【点睛】
本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题
9．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,4] B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[2,3]
【答案】D 【解析】 【分析】
易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程
2
30x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4
121
a x x =++
-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】
易知函数1
()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴02n ≤≤，问题转化
为：使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即
223(1)2(1)4412111
x x x a x x x x ++-++===++-+++
在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4
121
y x x =++-+在区间[]
0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤. 故选D ． 【点睛】
本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.
10．设非零向量a r ，b r ，c r
，满足||2b =r ，||1a =r ，且b r 与a r 的夹角为θ，则“||b a -=r r 是“3
πθ=”
的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用数量积的定义可得θ，即可判断出结论． 【详解】
解：||b a -=r r ∴2223b a a b +-=r r r r g ，221221cos 3θ∴+-⨯⨯⨯=，
解得1cos 2
θ=
，[0θ∈，]π，解得3π
θ=，
∴
“||b a -=r r 是“3
πθ=”的充分必要条件．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
11．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2
A π
=
，BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且
1142
CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MB MA ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．4
B ．7
2
-
C ．52
-
D ．12
-
【答案】D 【解析】 【分析】
以AB,AC 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点M 的坐标，进而求得,MB MA u u u r u u u r
，
由平面向量的数量积可得答案. 【详解】
如图建系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，
由1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，易得11,22M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则
31111,,22222MB MA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r . 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
12．设函数()(1)x g x e e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足
2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫
∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数
()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．,2e
⎛⎫+∞
⎪ ⎪⎝
⎭
B ．,)e +∞
C ．,)e +∞
D ．2e
⎡⎫
+∞⎪⎢⎪⎣⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
先构造函数()()2
12
T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】
构造函数()()2
12
T x f x x =-
， 因为()()2
f x f x x -+=， 所以()()()()()()()2
2211022
T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，
当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(]
,0-∞上单调递减， 所以()T x 在R 上单调递减. 因为存在()()01
12x x f x f x x ⎧⎫∈+
≥-+⎨⎬⎩⎭
，
所以()()0001
12
f x f x x +
≥-+， 所以()()()2
20000011111222
T x x T x x x ++≥-+-+，
化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即01
2
x ≤
令()()12x
h x g x x e a x ⎛⎫=-=--≤
⎪⎝
⎭
， 因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在1
2
x ≤
时有一个零点
因为当12
x ≤时，()12'0x h x e e =≤=，
所以函数()h x 在1
2
x ≤时单调递减，
由选项知0a >，10
2<<，
又因为0h e
a e
⎛=-=> ⎝
，
所以要使()h x 在1
2
x ≤时有一个零点，
只需使102h a ⎛⎫=≤
⎪
⎝⎭，解得2
a ≥，
所以a 的取值范围为⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
，故选D. 【点睛】
本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若5
2ax x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为240，则实数a 的值为________.
【答案】－3 【解析】 【分析】
依题意可得二项式展开式的常数项为3
323152C T ax x x +⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭
即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：∵二项式52ax x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3
323152C 80240T ax x a x +⎛⎫=⋅-=-= ⎪⎝⎭
， ∴解得3a =-. 故答案为：3- 【点睛】
本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.
14．已知0m >，若5(1)mx +的展开式中2x 的系数比x 的系数大30，则m =______． 【答案】2 【解析】 【分析】
利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得m 的值． 【详解】
()
5
1mx +展开式通项为：15r r r
r T C m x +=
0m >Q 且()5
1mx +的展开式中2x 的系数比x 的系数大30
221
5530C m C m ∴-=，即：2260m m --=
解得：3
2
m =-
（舍去）或2m = 本题正确结果：2 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 15．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为
45和3
4
；乙笔试、面试通过的概率分别为
23和1
2．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是__________． 【答案】
815
【解析】 【分析】
分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果. 【详解】
甲被录取的概率1433545p =
⨯=；乙被录取的概率2211323
p =⨯=； ∴只有一人被录取的概率()()122132128
11533515
p p p p p =-+-=⨯+⨯=.
故答案为：
8
15
.
【点睛】
本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题.
16．已知实数,x y满足
20
220
1
x y
x y
y
++≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪≤
⎩
，则3
z x y
=+的最小值是______________.
【答案】8
-
【解析】
【分析】
先画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答得解.
【详解】
画出不等式组
20
220
1
x y
x y
y
++≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪≤
⎩
表示的可行域如图阴影区域所示.
由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z的直线系，
平移直线30
x y
+=，
易知当直线3
z x y
=+经过点(3,1)
M-时，直线的纵截距最小，目标函数3
z x y
=+取得最小值，且
min
3(3)18
z=⨯-+=-.
故答案为：-8
【点睛】
本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，三棱柱'''
ABC A B C
-的侧棱'
AA垂直于底面ABC，且90
ACB
∠=︒，30
BAC
∠=︒，1
BC=，'6
A A=M是棱'
CC的中点.
（1）证明：''AB A M ⊥；
（2）求二面角''A MB A --的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）2
3
. 【解析】 【分析】
（1）根据'AA ⊥平面ABC ，四边形''ACC A 是矩形，由M 为'CC 中点，且''6AA CC ==
，利用平
面几何知识，可得''A M AC ⊥，又''B C ⊥平面''ACC A ，所以'''B C A M ⊥，根据线面垂直的判定定理可有'A M ⊥平面''AB C ，从而得证.
（2）分别以CA ，CB ，'CC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，得到'
3,0,6A ，62M ⎛ ⎝⎭
，6'B ⎛ ⎝⎭
，63,0,MA =⎭u u u
r ，分别求得平''MA B 和平面'MAB 的法向量，代入二面角向量公式121212cos |cos ,|||||
θ⋅=<>=⋅u r u u r u r u u r
u r u u r n n n n n n 求解. 【详解】
（1）证明：∵'AA ⊥平面ABC ， ∴四边形''ACC A 是矩形， ∵M 为'CC 中点，且''6AA CC ==
，
∴6'2
C M =
， ∵1BC =，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒， ∴''3AC A C ==∴
'''
'''
C M A C A C AA =， ∵''''MC A C A A ∠=∠，∴''MC A ∆与''C A A ∆相似， ∴''''C A M A AC ∠=∠，∴'''90A AC AA M ∠+∠=︒， ∴''A M AC ⊥，
∵90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面''ACC A ， ∴''B C ⊥平面''ACC A ，
∵'A M ⊂平面''ACC A ，∴'''B C A M ⊥， ∴'A M ⊥平面''AB C ，∴''A M AB ⊥.
（2）如图，
分别以CA ，CB ，'CC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
则'3,0,6A ，60,0,2M ⎛ ⎝⎭，6'0,1,2B ⎛ ⎝
⎭，63,0,2MA ⎫=-⎪⎪⎭u u u r 设平面''MA B 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，则1'0MA n ⋅=u u u u r u r ，2'0MB n ⋅=u u u u r u u r
，
解得：126(22
n =--u r ，
同理，平面'MAB 的法向量226
(,1)22
n =-
-u u r
， 设二面角''A MB A --的大小为θ，
则12121213|
1|
222cos |cos ,|3||||
1313
112222
θ--⋅=<>===⋅++⋅++u r u u r u r u u r
u
r u u r n n n n n n . 即二面角''A MB A --的余弦值为23
. 【点睛】
本题主要考查线线垂直、线面垂直的转化以及二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证、运算求解的能力，属于中档题.
18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3
()0,1A .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M.直
线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系.
【答案】（1）2
214
x y +=（2）点M 在以OD 为直径的圆上
【解析】 【分析】
（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆C 的标准方程； （2）设点0(P x ，0)y ，则0
(
2
x M ，0)y ，求出直线AM 的方程，进而求出点N 的坐标，再利用中点坐标公式得到点D 的坐标，下面结合点P 在椭圆C 上证出0OM DM →
→
⋅=，所以点M 在以OD 为直径的圆上． 【详解】
（1
）由题意可知，2221
2b c
a a
b c
=⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪
=⎩，
∴椭圆C 的标准方程为：2214
x y +=. （2）设点0(P x ，0)y ，则0
(
2
x M ，0)y ， ∴直线AM 的斜率为0000
12(1)
02
y y x x --=
-， ∴直线AM 的方程为：002(1)
1y y x x -=
+， 令1y =-得，0
1x x y =
-， ∴点N 的坐标为0
(1x y -，1)-， ∴点D 的坐标为0
0(
2(1)
x y -，1)-，
∴0(2x OM DM →
→
⋅=，222
0000000000
)(,1)22(1)444x x x x y y y y y y ⋅-
+=+-+--， 又Q 点0(P x ，0)y 在椭圆C 上，
∴2
20014
x y +=，220044x y =-，
∴2000004(1)
11(1)04(1)
y OM DM y y y y →
→
-⋅=-
+=-++=-， ∴点M 在以OD 为直径的圆上．
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题． 19．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2220a ab b --=．
（1）若3C π
=
sin B C =． （2）若23C π
=，7c =，求ABC ∆的面积．
【答案】（1）见解析（2 【解析】 【分析】
（1）由余弦定理及已知等式得出,c b 关系，再由正弦定理可得结论； （2）由余弦定理和已知条件解得,a b ，然后由面积公式计算． 【详解】
解：（1）由余弦定理得222222222cos 23c a b ab C a b ab a ab b b =+-=+-=--+， 由2220a ab b --=得到223c b =，由正弦定理得22sin 3sin C B =．
因为B ，()0,C π∈sin B C =． （2）由题意及余弦定理可知2249a b ab ++=，① 由2220a ab b --=得()(2)0a b a b +-=，即2a b =，②
联立①②解得b =a =1sin 2ABC S ab C ∆==
【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形．考查三角形面积公式，由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边．解题时要注意对条件的分析，确定选用的公式．
20．已知函数2()()2ln f x x a x x =--，其导函数为()f x '， （1）若0a =，求不等式()1f x >的解集；
（2）证明：对任意的02s t <<<，恒有()()
1f s f t s t
''-<-.
【答案】（1）{}|1x x > （2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求出()f x 的导数，根据导函数的性质判断函数()f x 的单调性，再利用函数单调性解函数型不等式；
（2）构造函数()()x f x x ϕ'
=-，利用导数判断()x ϕ在区间(0,2)上单调递减，结合02s t <<<可得结
果. 【详解】
（1）若0a =，则2
()2ln ,()22(1ln )f x x x x f x x x '
=-=-+. 设()22(1ln )h x x x =-+，则2()2h x x
'=-
， 所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.
又当0x →时，()h x →+∞；当1x =时，()0h x =；当x →+∞时，()h x →+∞， 所以()0h x ≥
所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，
又(1)1f =，所以不等式()1f x >的解集为{}|1x x >.
（2）设()()g x f x '=，再令()()22ln 2x g x x x x a ϕ=-=---，
22
22
()1x x x x
ϕ'
-∴=-=， ()x ϕ在(0,2)上单调递减，
又02s t <<<Q ，
()()s t ϕϕ∴<， ()()g s s g t t ∴->-， ()()g s g t s t ∴->-，
0s t ∴-<，
()()1g s g t s t
-∴
<-.
即()()1f s f t s t
''-<-
【点睛】
本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题. 21．已知抛物线C:x 2=4py （p 为大于2的质数）的焦点为F ，过点F 且斜率为k(k ≠0)的直线交C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点E ，抛物线C 在点A ，B 处的切线相交于点G .记四边形AEBG 的面积为S.
（1）求点G 的轨迹方程；
（2）当点G 的横坐标为整数时，S 是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S 的值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）y p =-（2）当G 点横坐标为整数时，S 不是整数． 【解析】 【分析】
（1）先求解导数，得出切线方程，联立方程得出交点G 的轨迹方程；
（2）先求解弦长AB ，再分别求解点,E G 到直线AB 的距离，表示出四边形的面积，结合点G 的横坐标为整数进行判断. 【详解】
（1）设()()()112200,,,,,A x y B x y G x y ，则22
11224,4x py x py ==，
抛物线C 的方程可化为214y x p =
，则12y x p
'=， 所以曲线C 在点A 处的切线方程为1111111
()22y x x x y x x y p p
=
-+=-， 在点B 处的切线方程为()2222211
22y x x x y x x y p p
=
-+=-， 因为两切线均过点G ，所以010112y x x y p =
-，02021
2y x x y p
=- 所以A ，B 两点均在直线上0012y x x y p =
-，所以直线AB 的方程为0012y x x y p
=-， 又因为直线AB 过点F(0，p)，所以0y p =-，即G 点轨迹方程为y p =-； （2）设点G(0x ，p -)，由（1）可知，直线AB 的方程为01
2p x x y p
-=
-，
即01
2y x x p p
=
+， 将直线AB 的方程与抛物线联立，02124y x x p p x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩
，整理得22
0240x x x p --=， 所以1202x x x +=，2124x x p =-
，解得12x x -=
因为直线AB 的斜率01
02k x p
=
≠，所以00x ≠，
且22
0124x p AB x p
+=-=，
线段AB 的中点为M 2
001(,
)2x x p p
+， 所以直线EM 的方程为：2
00021()2p y x x x p x p
=-
-++， 所以E 点坐标为(0，
2
012x p p
+)， 直线AB 的方程整理得2
0220x x py p -+=， 则G 到AB
的距离1d =
=
则E 到AB
的距离2d =
=，
所以121
()2S AB d d =+=，
设0x mp =，因为p 是质数，且0x 为整数，所以1
m p
=
或(0)m Z m ∈≠， 当1m p =时，01x =±
，S =是无理数，不符题意，
当(0)m Z m ∈≠
时，2(4)S m p =+
因为当2m ≥时，2
2
4(1)m m +<+
2m ≥不符题意， 当1m =±
= 综上，当G 点横坐标为整数时，S 不是整数． 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的切线问题通常借助导数来求解，四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题，表示出面积的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 22．等差数列{}(
)*
N n a n ∈中，1
a ，2
a ，3
a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两
个数不在下表的同一列.
（1）请选择一个可能的{}123,,a a a 组合，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）记（1）中您选择的{}n a 的前n 项和为n S ，判断是否存在正整数k ，使得1a ，k a ，+2k S 成等比数列，若有，请求出k 的值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）见解析，44n a n =+或2n a n =；（2）存在，6k =. 【解析】 【分析】
（1）满足题意有两种组合：①18a =，212a =，316a =，②12a =，24a =，36a =，分别计算即可；
（2）由（1）分别讨论两种情况，假设存在正整数k ，使得1a ，k a ，+2k S 成等比数列，即2
12k k a a S +=⋅，
解方程是否存在正整数解即可. 【详解】
（1）由题意可知：有两种组合满足条件：
①18a =，212a =，316a =，此时等差数列{}n a ，18a =，4d =， 所以其通项公式为44n a n =+.
②12a =，24a =，36a =，此时等差数列{}n a ，12a =，2d =， 所以其通项公式为2n a n =.
（2）若选择①，2
26n S n n =+.
则()()2
22226221420k S k k k k +=+++=++.
若1a ，k a ，2k S +成等比数列，则2
12k k a a S +=⋅，
即()()
2
2
44821420k k k +=++，整理，得2221710k k k k ++=++，即59k =-，
此方程无正整数解，故不存在正整数k ，使1a ，k a ，2k S +成等比数列. 若选则②，2n S n n =+，
则()()2
222256k S k k k k +=+++=++，
若1a ，k a ，2k S +成等比数列，则2
12k k a a S +=⋅，
即()()
2
2
2256k k k =++，整理得2560k k --=，因为k 为正整数，所以6k =.
故存在正整数6k =，使1a ，k a ，2k S +成等比数列. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及前n 项和，涉及到等比数列的性质，是一道中档题. 23．已知21
()(ln )ln 12
f x x x k x =-
--()k ∈R . （1）若()f x 是(0,)+∞上的增函数，求k 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个极值点，判断函数()f x 零点的个数. 【答案】 (1) (,1]-∞ (2) 三个零点 【解析】 【分析】
(1) 由题意知()0f x '≥恒成立,构造函数()ln F x x x k =--，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当1k >时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证()10f x >，()20f x <. 【详解】
（1）由()()2
1ln ln 12f x x x k x =-
--得()ln x x k f x x
'--=
， 由题意知()0f x '≥恒成立，即ln 0x x k --≥，设()ln F x x x k =--，()1
1F x x
'=-
， ()0,1x ∈时()0F x '<，()F x 递减，()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 递增；
故()()min 110F x F k ==-≥，即1k ≤，故k 的取值范围是(]
,1-∞. （2）当1k ≤时，()f x 单调，无极值； 当1k >时，()110F k =-<， 一方面，()0k k
F e
e
--=>，且()F x 在()0,1递减，所以()F x 在区间()
,1k e -有一个零点. 另一方面，()2k
k
F e
e
k =-，设()2k g k e k =- (1)k >，则()20k g k e ='->，从而()g k
在()1,+∞递增，则()()120g k g e >=->，即()0k
F e
>，又()F x 在()1,+∞递增，所以
()F x 在区间()1,k e 有一个零点.
因此，当1k >时()f x '在(),1k
e -和(
)1,k
e
各有一个零点，将这两个零点记为1
x ，
2x ()121x x <<，当()10,x x ∈时()0F x >，即()0f x '>；当()12,x x x ∈时()0F x <，即
()0f x '<；当()2,x x ∈+∞时()0F x >，即()0f x '>：从而()f x 在()10,x 递增，在()12,x x
递减，在()2,x +∞递增；于是1x 是函数的极大值点，2x 是函数的极小值点. 下面证明：()10f x >，()20f x <
由()10f x '=得11ln 0x x k --=，即11ln k x x =-，由()()2
11111ln ln 12
f x x x k x =--- 得()()()21111111ln ln ln 12f x x x x x x =---- ()2
11111ln ln 12
x x x x =+--， 令()()21ln ln 12m x x x x x =+
--，则()()1ln x x m x x
-'=， ①当()0,1x ∈时()0m x '<，()m x 递减，则()()10m x m >=，而11x <，故()10f x >； ②当()1,x ∈+∞时()0m x '<，()m x 递减，则()()10m x m <=，而21x >，故()20f x <； 一方面，因为(
)2210k
k
f e
e
--=-<，又()10f x >，且()f x 在()10,x 递增，所以()f x 在
()
21,k
e
x -上有一个零点，即()f x 在()10,x 上有一个零点.
另一方面，根据1(0)x
e x x >+>得1k e k >+，则有：
()()
4
442
2
1211121k
k
f e
e
k k k =-->+-- 2
4
37
4044k k k k ⎛⎫=+-+> ⎪⎝
⎭，
又()20f x <，且()f x 在()2,x +∞递增，故()f x 在(
)42,k
x e
上有一个零点，故()f x 在
()2,x +∞上有一个零点.
又()10f =，故()f x 有三个零点. 【点睛】
本题考查函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．。