菜篮子数学建模

1
1 问题
1.1 问题 农业部于 1988 年提出建设“菜篮子工程” ，用以缓解我国副食品供不应求的矛盾. 一期工程建立了中央和地方的肉、蛋、奶、水产和蔬菜生产基地及良种繁育、饲料加工 等服务体系，以保证居民一年四季都有新鲜的副食品供应. 蔬菜作为“菜篮子工程”中 的主要产品，备受各级政府的重视。到 1995 年，蔬菜种植的人均占有量已达到世界人 均水平. 在部分中小城市中，蔬菜种植采取以郊区和农区种植为主，结合政府补贴的方式来 保障城区蔬菜的供应. 以求提高城区蔬菜供应的数量和质量，同时带动了郊区和农区菜 农种植蔬菜的积极性. JG 市的人口近 90 万，该市在郊区和农区建立了 8 个蔬菜种植基地，承担全市居 民的蔬菜供应任务，每天将蔬菜运送到市区的 35 个蔬菜销售点. 市区有 15 个主要交通 路口，在蔬菜运送的过程中从蔬菜种植基地可以途径这些交通路口再到达蔬菜销售点. 如果蔬菜销售点的需求量不能满足，则市政府要给予一定的短缺补偿. 同时市政府还按 照蔬菜种植基地供应蔬菜的数量以及路程，发放相应的运费补贴，以此提高蔬菜种植 的积极性，运费补贴标准为 0.04 元/（1 吨.1 公里）. 本题以上述 JG 市情况提出以下 4 个问题. “蔬 菜 种 植 基 地 日 蔬 菜 供 应 量” 、 “蔬 菜 销 售 点 日 蔬 菜 需 求 量 及 日 短 缺 补 偿 标 准” 、 “道路交通情况及距离”由题目附件 1—附件 3 给出.
1.2
的问题
1. 针对下面两个问题，分别建立数学模型，并制定蔬菜运送方案. (a) 为 JG 市设计从蔬菜种植基地至各蔬菜销售点的蔬菜运送方案，使政府的短缺 补偿和运费补贴最少； (b) 若规定各蔬菜销售点的短缺量都不超过需求量的 30%，重新设计蔬菜运送方 案. 2. 为满足居民的蔬菜供应，JG 市决定扩大蔬菜种植基地规模，以增加蔬菜种植面积. 建立问题的数学模型，确定 8 个蔬菜种植基地的新增蔬菜种植量，并重新设计蔬 菜运送方案，使总短缺补偿和运费补贴最少. 3. 为了提高居民的生活质量，市政府要求蔬菜种植基地不仅要保证蔬菜供应总量，还 要满足居民对蔬菜种类的需求. 每个蔬菜种植基地可种植 12 种蔬菜，各个蔬菜销 售点对每种蔬菜的需求量见附件 4. 在问题 2 得到的各个蔬菜种植基地日蔬菜供应 量的基础上，建立数学模型，给出问题的求解算法，确定每个蔬菜种植基地的种植 计划，并重新设计蔬菜运送方案，使总短缺补偿和运费补贴最少. 4. 根据你们所能收集到的信息，政府如何进一步完善和制定相应的扶持政策，使得 菜农有种植蔬菜的积极性，居民可以得到质优价低的新鲜蔬菜，同时还能够逐渐 减少或者不用政府投入补贴。此问题可以专注一点或几点，在小范围内试点运行， 形成问题的描述，并建立数学模型，给出数值结果.
4 问题
由题意知，有 8 个蔬菜种植基地，15 个交通路口，35 个蔬菜销售点，运费补贴标 准为 0.04 元/（1 吨.1 公里） ，设计运送方案，使得短缺补偿和运费补贴之和最少.
3
对于问题一（a） ，先列出 58 ∗ 58 的关联加权矩阵，然后求出最短路径. 为了简单， 只需要求 8 个种植基地到 35 个销地的最短路径即可，列出 35 ∗ 8 的最短路径矩阵 D. 并根据所给数据，列出目标函数和约束条件，用 LINGO 即可求出运送方案，使得总短 缺补偿和运费补贴之和最少. 对于问题一（b） ，根据题设条件，共增加 35 个约束条件， 即蔬菜销售点的短缺量都不超过需求量的 30%，再运用与（a）问一样的方法解出最优 的运送方案. 对于问题二，为了达到更优的结果，不能局限于使得每个种植基地的面积增加，而 是首先满足目标: 满足蔬菜供应，使得总短缺补偿和运费补贴最少. 题目中没有限定蔬 菜种植规模，使得每个销售点都可以满足需求. 由所给数据可知短缺补偿远远大于运费 补贴，通过增大运费补贴来减少短缺补偿，可以使两个量之和减少. 对于问题三，是个大型的线性规划问题，共是 8 ∗ 12 ∗ 35 个变量，思路与第一问 类似，仅将原问蔬菜分散为 12 种蔬菜，且要求种植基地供应量立足于第二问结果，用 LINGO 求解得每个蔬菜种植基地的种植计划和蔬菜运送方案. 对于问题四，对于政府扶持政策进行完善和制定，使得其完成以下三个目标： 1. 菜农有种植蔬菜的积极性; 2. 居民可以得到质优价低的新鲜蔬菜; 3. 逐渐减少或者不用政府投入补贴. 方案一，采用蛛网模型使供给和需求曲线达到动态平衡，我们改变 βS (截距)，使得平衡 点右移，带动蔬菜产量增大，即菜农生产积极性提高，并带动价格低廉，即居民可以得 到质优价低的新鲜蔬菜，所改变的 αS （斜率） ，即使平衡点右移，效果相同。方案二是 采用增加路径的方法，通过改变最短路径矩阵以达到目的.
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5.1 问题 (a) 对于该问求解，我们先通过 Dijkstra 算法求解种植基地到销地的最短路，列出 58 ∗ 58 的关联加权矩阵，然后求出最短路径，为简便起见，只需求解 8 个种植基地到 35 个销地的最短路径即可，列出 35 ∗ 8 的最短路径矩阵 DT . 再列出目标函数和约束条 件，并用 LINGO 即可求出运送方案，使得总短缺补偿和运费补贴最少. 即针对问题一 进行以下 2 步建立模型： 1. 基于 Dijkstra 算法求解最短路径； 2. 线性规划求解最优运输方案.
4
如果存在一条从 vi 到 vj 的最短路径 (vi · · · vk · · · vj )，vk 是 vj 前面的一顶点. 那 么 (vi · · · vk ) 也必定是从 vi 到 vk 的最短路径. 为了求出最短路径，Dijkstra 就提出了 以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法. 即对于源顶点 v0 ，首先选择其直接 相邻的顶点中长度最短的顶点 vi ，那么当前已知可得从 v0 到达 vj 顶点的最短距离 distj = min{distj , disti + wij }. 假设存在 G =< V, E >，源顶点为 v0 ,U = {v0 },disti 记录 v0 到 vi 的最短距离，算 法步骤如下： 1. 从 V − U 中选择使 disti 值最小的顶点 pi ，将 pi 加入到 U 中； 2. 更新与 vi 直接相邻顶点的 dist 值. 3. 直到 U = V ，停止. 采用 Dijkstra 算法不仅能求出从起点到终点的最短路径，而且最后所得到的实际上是 从起点到各顶点的最短路径. 对于用 Dijkstra 算法实现求解最短路径问题的只有边权， 没有包含等级. 因此模型一求解出的最佳路径是基于路长的，即使得相同点之间的路 程对应的运费补贴最小. 用 Matlab 软件求解出 8 个种植基地到 35 个销地的最短路径 DT ，列出 35 ∗ 8 的最短路径矩阵 D(运行结果见附录表).
2
2
表 2.1: 符号系统 文字说明 第 i 产地, 路口, 销售地 第 i 个节点（节点包括基地, 路口, 销售点） 从第 i 个节点到第 j 个节点的距离 从第 1 个节点到第 i 个节点记录的距离 使 disti 值最小的前一个节点 从第 1 个节点到第 i 个节点记录的路径 从第 i 个基地到第 j 个销售点的最短距离 路径距离 dij 形成的矩阵 从第 i 个基地供给到第 j 个销售点销售的蔬菜运量（吨） 蔬菜运量矩阵 第 i 个基地的蔬菜的种植量, 充足供应量（吨） 第 i 个基地对于第 t 种蔬菜的种植量（吨） 供应量 Si 形成的矩阵 短缺补偿与运费补贴之和 每单位（吨）蔬菜补贴 蔬菜的第 i 期产量, 销售量 蔬菜的价格, 数量 蔬菜的产量随价格变化的变化率 当价格为 0 时，蔬菜的产量 蔬菜的需求量随价格变化的变化率 当价格为 0 时，蔬菜的需求量
5.1.1 Dijkstra
首先，在最短路选择过程中，经过一系列的资料查阅，我们发现 Dijkstra 算法 [1] 可以求解种植基地到销地最短路径选择模型，它可以计算出给定点到图中所有点的最 短距离，从而确定出最优路线. Dijkstra 算法是由著名的数学家 E•W•Dijkstra 于 1959 年首先提出来的，其具有 最短路径的最优子结构性质. 它是一种按路径长度递增的次序产生最短路径的算法，该 算法采用了在优化问题中常用的贪心算法：在每一步都选择局部最优解以期望产生一 个全局最优解 [2]. 由于本题中，8 个蔬菜种植基地、35 个蔬菜销售点、15 个主要交通路口形成加权 图的节点. 因此我们在第一个问题前列出 58 ∗ 58 的关联加权矩阵 G =< V, E >，将节 点之间的距离作为每一条边的权值，不存在的路径赋权值为 Inf .
菜篮子工程中的蔬菜种植问题
为缓解我国副食品供不应求的矛盾，农业部于 1988 年提出建设“菜篮子工程”, 我 们以此为背景建立了以下数学模型，提高城区蔬菜供应的数量和质量，带动郊区和农区 菜农种植蔬菜的积极性. 对于问题一，我们采用 Dijkstra 算法求出最短路径，并以短缺补偿和运费补贴为目 标函数建立线性规划模型求解（a）问，用 LINGO 软件得出最优运送方案，最小短缺 补偿和运费补贴之和为 42781.25 元; 而问题一（b） ，仅在（a）问基础上增加约束条件， 即蔬菜销售点的短缺量都不超过需求量的 30%，用 LINGO 软件求解，得到最优运送方 案，最小短缺补偿和运费补贴之和为 50411.27 元. 对于问题二，因扩大蔬菜种植规模，可认为此模型条件为供大于求。假设短缺补偿 远远大于运费补贴，即总短缺补偿为 0. 由于产量过剩，只需约束每个销售地都得到足 够的蔬菜，用 LINGO 软件求解，可得最小短缺补偿和运费补贴之和为 197.4480 元. 总 供给量为 360，需求量总和为 360，恰好达到需求要求. 算得各个种植基地供给量的改 变为：13.7,36.4,-2.5,-18.3,10.2,63.8,14.7,-28(单位：吨). 后对结果进行灵敏度分析，通过 影子价格比较证明该假设的正确性. 对于问题三，在满足蔬菜供应总量的前提下，将第一问的蔬菜分散为 12 种蔬菜， 其余条件不变，方法不变，用 LINGO 求解得最小短缺补偿和运费补贴为 197.4480 元. 对于问题四，我们在观察问题一（a）结果后，依托于中国知网上查到的数据，针 对政府扶助提出了两种优化方案，第一种是查得供求关系数据，建立蛛网模型，结合经 济学知识，由政府补贴资金 R0 和 R1 ，使得供求在几年内趋于动态平衡. 第二种方案是 针对问题一第一问中有 6 个销售地没有蔬菜的缺陷进行改良，所以我们试图以增加 6 条路的想法来解决这个问题，路径可以通过最大路径贪婪算法来解决，然后求解出最短 路径，使用原程序即可解出最小短缺补偿和运费补贴. ;Dijkstra ; ;
5.1.2
ห้องสมุดไป่ตู้
[3]
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在 35 ∗ 8 的最短路径矩阵 DT 的基础上. 进行数学建模，通过目标函数和约束条件 求出运送方案，使得总短缺补偿和运费补贴最少. 目标函数 z 为总短缺补偿 z1 和运费补贴 z2 之和，其要求得出最小值. 即： min z = min z1 + min z2 运费补贴 z1 ，即单位运费补贴、第 i 个基地到第 j 个销售点的蔬菜运量、第 i 个 基地到第 j 个销售点的最短距离的乘积和. 即：
符号 Ui ,Ri ,Vi vi Wij disti pi U dij D xij XT
′ Si ,Si
从第 i 个基地供给到第 j 个销售点销售的第 t 种蔬菜运量（吨） vg (i, j, t)
Sit S Z R SVi , DVi P Vi , QVi αS βS αD βD
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1. 假设每个销地的需求量不随其他因数变化. 2. 假设道路安全, 每一次运送都能准时送到销地. 3. 假设每个产地在没有其他因数干扰下最大产量不变. 4. 假设基地, 路口, 销地之间的路径长时间内不发生变化. 5. 假设蔬菜在运行途中蔬菜无任何品质受损.