必修2 第2章 点线面的位置关系

§2.1.1 平面
学习目标
1. 了解平面的描述性概念；
2. 掌握平面的表示方法和基本画法；
3. 掌握平面的基本性质；
4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P40~ P43，找出疑惑之处）
引入：平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢?
二、新课导学
※探索新知
探究1：平面的概念与表示
问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.
问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？
新知2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母,,
αβγ来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面α,平面ABCD,平面AC等.
规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；
③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.
问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线
和平面呢?
新知3：⑴点A 在平面α内，记作A α∈；点A 在平面α外，记作A α∉.⑵点P 在直线l 上，记作P l ∈，点P 在直线外，记作P l ∉.⑶直线
l 上所有点都在平面α内,则直线l 在平面α
内(平面α经过直线l ),记作l α⊂；否则直线
就在平面外，记作l α⊄.
探究2：平面的性质
问题：直线l 与平面α有一个公共点P ,直线l 是否在平面α内?有两个公共点呢?
新知4：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为：
,,A l B l ∈∈且,A B l ααα∈∈⇒⊂
问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？
新知5：公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如上图,三点确定平面
ABC .
问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三
角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于
点B ?为什么?
新知6：公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线.如下图所示：
平面α与平面β相交于直线l ，记作l α
β=.
公理3用集合符号表示为
,P a ∈且P β∈⇒l α
β=,且P l ∈
※典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
例2 如图在正方体''''
下列命题是否正确，并说明理由：
⑴直线AC在平面ABCD内；
⑵设上下底面中心为,O O'，
则平面AA C C
''与平面BB'
D D'的交线为OO'；
⑶点,,
A O C'可以确定一平面；
⑷平面AB C''与平面AC D'
重合.
※动手试试练用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
⑴点A在平面α内，但点B在平面α外；
⑵直线a经过平面α外的一点M；
⑶直线a既在平面α内，又在平面β内.
三、总结提升
※学习小结
1. 平面的特征、画法、表示；
2. 平面的基本性质(三个公理)；
3. 用符号表示点、线、面的关系.
※知识拓展
平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.
O'
O B'
C'
D'
A'
D
C
B
A
其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 下面说法正确的是（）.
①平面ABCD的面积为2
10cm②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示.
A.①
B.②
C.③
D.④
2. 下列结论正确的是（）.
①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.
A.在直线DB上
B.在直线AB上
C.在直线CB上
D.都不对
4. 直线
12
,l l相交于点P，并且分别与平面 相交于点,A B两点，用符号表示为____________________.
5. 两个平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定平面_______个.
1. 画出满足下列条件的图形：
⑴三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜；
⑵ ,,,l AB CD αβαβ=⊂⊂AB ∥l ，CD ∥l .
2.如图在正方体中，A 是顶点，,B C 都是棱的中点，请作出经过,,A B C 三点的平面与正方体的截面.
§2.1.2空间直线与直线之间的位置关
系
学习目标
1. 正确理解异面直线的定义；
2. 会判断空间两条直线的位置关系；
3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；
4. 会求异面直线所成角的大小.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P 44~ P 47，找出疑惑之处） 复习1：平面的特点是______、 _______ 、_______.
复习2：平面性质(三公理) 公
理
1___________________________________； 公
理
2___________________________________；
公理
3___________________________________.
二、新课导学 ※ 探索新知
探究1：异面直线及直线间的位置关系 问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?
观察：如图在长方体中，直线A B '与CC '的位置关系如何？
结论：直线A B '与CC '既不相交，也不平行.
新知1：像直线A B '与CC '这样不同在任何一
个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).
试试：请在上图的长方体中，再找出3对异
面直线.
问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？
新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b 异面)：
试试：请你归纳出空间直线的位置关系.
探究2：平行公理及空间等角定理
问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?
观察：如图2-1,在长方体中，直线C D ''∥
A B ''，AB ∥A B ''，那么直线AB 与C D ''平行
吗?
图2-1
新知3: 公理4 (平行公理)平行于同一条直
线的两条直线互相平行.
问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角
的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?
观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?
b
a
α
b
a
α β
α
a
b
新知4: 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
探究3：异面直线所成的角
问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?
图2-2
新知5: 如图2-2,已知两条异面直线,a b，经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b，把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线,a b 所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a b
⊥.
反思：思考下列问题.
⑴作异面直线夹角时，夹角的大小与点O的位置有关吗?点O的位置怎样取才比较简便?
⑵异面直线所成的角的范围是多少?⑶两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?
⑷异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想?
※典型例题
例1 如图2-3,,,,
E F G H分别为空间四边形ABCD各边,,,
AB BC CD DA的中点，若对角线2,
BD=
4
AC=，则22
EG HF
+的值为多少?(性质：平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和).
图2-3例2 如图2-4，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴BA'和CC'⑵B D''和C A'
图2-4
※动手试试
练正方体ABCD A B C D
''''
-的棱长为a，求异面直线AC与A D''所成的角.
三、总结提升
※学习小结
1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法；
2. 空间直线的位置关系；
3. 平行公理及空间等角定理.
※知识拓展
异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.
如图，,,,
a A B B a
ααα
⊂∉∈∉，则直线AB与直线α是异面直线.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. ,,
a b c为三条直线，如果,
a c
b c
⊥⊥，则,a b 的位置关系必定是（）.
A.相交
B.平行
C.异面
D.以上答案都不对
2. 已知,a b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）.
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线 3. 已知l α
β=,,a b αβ⊂⊂，且,a b 是异面
直线，那么直线l （ ）. A.至多与,a b 中的一条相交
B.至少与,a b 中的一条相交
C.与,a b 都相交
D.至少与,a b 中的一条平行
4. 正方体ABCD A B C D ''''-的十二条棱中，与直线AC '是异面直线关系的有___________条.
5.
长
方
体
1111
ABCD A B C D -中,3AB =,2,BC =1AA
=1，异面直线AC 与11A D 所成角的余弦值是______.
课后作业
1. 已知,E E '是正方体AC '棱AD ，A D ''的中
点，求证：CEB C E B '''∠=∠.
2. 如图2-5，在三棱锥P ABC -中，PA BC ⊥，
E 、
F 分别是PC 和AB 上的点，且
3
2
PE AF EC FB ==，设EF 与PA 、BC 所成的角分别为,αβ， 求证：90αβ+=°.
图2-5
§2.1.3空间直线与平面之间的位置关
系
§2.1.4平面与平面之间的位置关系
学习目标
1. 掌握直线与平面之间的位置关系，理解直线在平面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；
2. 掌握两平面之间的位置关系，会画相交平面的图形.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P48~ P50，找出疑惑之处）
复习1：空间任意两条直线的位置关系有_______、
_______、_______三种.
复习2：异面直线是指________________________
的两条直线,它们的夹角可以通过______________ 的方式作出,其范围是___________.
复习3：平行公理：__________________________________________；空间等角定理：____________
______________________________________ _____.
二、新课导学
※探索新知
探究1：空间直线与平面的位置关系
问题：用铅笔表示一条直线，作业本表示一个平面，你试着比画，它们之间有几种位置关系?
观察：如图3-1,直线A B 与长方体的六个面有几种位置关系?
图3-1
新知1：直线与平面位置关系只有三种：
⑴直线在平面内——
⑵直线与平面相交——
⑶直线与平面平行——
其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.
反思：
⑴从交点个数方面来分析，上述三种关系对应的交点有多少个？请把结果写在新知1的——符号后面
⑵请你试着把上述三种关系用图形表示出来，并想想用符号语言该怎么描述.
探究2：平面与平面的位置关系
问题：平面与平面的位置关系有几种？你试着拿两个作业本比画比画.
观察：还是在长方体中，如图3-2，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?
图3-2
新知2：两个平面的位置关系只有两种：
⑴两个平面平行——没有公共点
⑵两个平面相交——有一条公共直线
试试：请你试着把平面的两种关系用图形以及符号语言表示出来.
※典型例题
例1 下列命题中正确的个数是（）
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l ∥α.
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平
行，那么另一条也与这个平面平行.
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A.0
B.1
C.2
D.3
例 2 已知平面,αβ，直线,a b，且α∥β,aα
⊂，
bβ
⊂，则直线a与直线b具有怎样的位置关系?
※动手试试
练 1. 若直线a不平行于平面α，且aα
⊄，则下列结论成立的是（）
A.α内的所有直线与a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内存在唯一的直线与a平行
D.α内的直线与a都相交.
练2. 已知,,
a b c为三条不重合的直线，,,
αβγ为三个不重合的平面：
①a∥c,b∥c⇒a∥b；
②a∥γ,b∥γ⇒a∥b；
③a∥c,c∥α⇒a∥α；
④a∥γ,a∥αα
⇒∥γ；
⑤aα
⊄,bα
⊂,a∥b⇒a∥α.
其中正确的命题是（）
A.①⑤
B.①②
C.②④
D.③⑤
三、总结提升
※学习小结
1. 直线与平面、平面与平面的位置关系；
2. 位置关系用图形语言、符号语言如何表示；
3. 长方体作为模型研究空间问题的重要性.
※知识拓展
求类似确定空间的部分、平面的个数、交线的条数、交点的个数问题,都应对相应的点、线、面的位置关系进行分类讨论，做到不重不漏.分类讨论是数学中常用的重要数学思想方法，可以使问题化难为易、化繁为简.
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 直线l在平面α外，则（）.
A.l∥α
B.l与α至少有一个公共点
C.l A
α= D.l与α至多有一个公共点2. 已知a∥α，bα
⊂，则（）.
A.a∥b
B.a和b相交
C.a和b异面
D.a与b平行或异面
3. 四棱柱的的六个面中，平行平面有（）.
A.1对
B.1对或2对
C.1对或2对或3对
D.0对或1对或2对或3对
4. 过直线外一点与这条直线平行的直线有____条；过直线外一点与这条直线平行的平面有____个.
5. 若在两个平面内各有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是______.
1. 已知直线,a b及平面α满足: a∥α,b∥α,则
直线,a b的位置关系如何?画图表示.
2. 两个不重合的平面，可以将空间划为几个部分？三个呢？试画图加以说明.
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置
关系（练习）
1. 理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；
2. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；
3. 会判断异面直线，掌握异面直线的求法；
4. 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.
一、课前准备
（预习教材P40~ P50，找出疑惑之处）
复习1：概念与性质
⑴平面的特征和平面的性质(三个公理)；
⑵平行公理、等角定理；
⑶直线与直线的位置关系
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
平行
相交
异面
⑷直线与平面的位置关系
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
在平面内
相交
平行
⑸平面与平面的位置关系⎧⎨
⎩
平行
相交
复习2：异面直线夹角的求法：平移线段作角，解三角形求角.
复习3：图形语言、符号语言表示点、线、面的位
置关系
⑴点与线、点与面的关系；
⑵线与线、线与面的关系； ⑶面与面的关系.
二、新课导学 ※ 典型例题
例 1 如图4-1,ABC ∆在平面α外，
AB P α=，BC
Q α=，AC R α=，求证：P ,Q ,R 三点共
线.
图4-1
小结：证明点共线的基本方法有两种 ⑴找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面的公共点，由公理3可推知这些点都
在交线上，即证若干点共线.
⑵选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也都在这条直线上.
例2 如图4-2,空间四边形ABCD 中，E ,F 分
别是AB 和CB 上的点，G ,H 分别是CD 和AD
上的点，且EH FG 与相交于点K .求证：
EH ,BD ,FG 三条直线相交于同一点.
图4-2
小结：证明三线共点的基本方法为：先确定
待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理3得证这三线共点.
例 3 如图4-3,如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面
直线多少对?
图4-3
反思：分析清楚几何特点是避免重复计数的关键，计数问题必须避免盲目乱数，分类时要不重不漏.
※动手试试
练1. 如图4-4,是正方体的平面展开图,
图4-4
则在这个正方体中：
①BM与ED平行②CN与BE是异面直线
③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线
其中正确命题的序号是（）
A.①②③
B.②④
C.③④
D.②③④
练2. 如图4-5，在正方体中，E,F分别为AB、AA'的中点，求证：CE,D F',DA三线交于一点.
图4-5
练 3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少?
小结：分类讨论的数学思想
三、总结提升
※学习小结
1. 平面及平面基本性质的应用；
2. 点、线、面的位置关系；
3. 异面直线的判定及夹角问题.
※知识拓展
异面直线的判定方法：
①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内.
②定理法：利用异面直线的判定定理说明.
③反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后根据题设条件推出矛盾.
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 直线
1
l∥
2
l,在
1
l上取3个点，在
2
l上取2个点，由这5个点确定的平面个数为（）.
A.1个
B.3个
C.6个
D.9个
2. 下列推理错误的是（）.
A.A l∈,Aα
∈,B l∈,Bα
∈lα
⇒⊂
B.Aα
∈,Aβ
∈,Bα
∈,Bβ
∈AB
αβ
⇒=
C.lα
⊄,A l Aα
∈⇒∉
D.A,B,Cα
∈, A,B,Cβ
∈,且A,B,C 不共线
αβ
⇒与重合
3. a,b是异面直线,b,c是异面直线，则a,c的位置关系是（）.
A.相交、平行或异面
B.相交或平行
C.异面
D.平行或异面
4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一平面____________.
5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是_____
_____________；两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直线______.
课后作业
1. 如图4-6,在正方体中M ,N 分别是AB 和
DD '的中点，求异面直线B M '与CN 所成的
角.
图4-6
2. 如图4-7,已知不共面的直线a ,b ,c 相交于O 点，
M ,P 点是直线α上两点，N ,Q 分别是直线
b ,
c 上一点.求证：MN 和PQ 是异面直线.
图4-7
§2.2.1 直线与平面平行的判定
学习目标
1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，
了解直线与平面平行的背景；
2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，
并会用其证明线面平行.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P 54~ P 55，找出疑惑之处）
复习：直线与平面的位置关系有______________，
_______________，_________________.
讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？
二、新课导学
※ 探索新知
Q
P
N
M
O
c
b
a
探究1：直线与平面平行的背景分析
实例1：如图5-1，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动的一边l与墙所在的平面位置关系如何？
图5-1
实例2：如图5-2，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？
图5-2
结论：上述两个问题中的直线l与对应平面都是平行的.
探究2：直线与平面平行的判定定理问题：探究1两个实例中的直线l为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一结论表示出来吗？
新知：直线与平面平行的判定定理
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 如图5-3所示，a∥ .
图5-3
反思：思考下列问题
⑴用符号语言如何表示上述定理；
⑵上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思想？
⑶如果要证明这个定理，该如何证明呢？
※典型例题
例 1 有一块木料如图5-4所示，P为平面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内作一条直线与平面ABCD平行，应该如何画线？
图5-4
例2 如图5-5，空间四边形ABCD中，,E F分别是,
AB AD的中点，求证：EF∥平面BCD.
图5-5
※动手试试
练1. 正方形ABCD与正方形ABEF交于AB，M和N分别为AC和BF上的点，且AM FN
=，如图5-6
所示.求证：MN∥平面BEC.
图5-6
练2. 已知ABC
∆,,D E分别为,
AC AB的中点，沿DE将ADE
∆折起，使A到A'的位置，设M 是A B'的中点，求证：ME∥平面A CD
'.
三、总结提升
N
M
F
E
D
C
B
A
※学习小结
1. 直线与平面平行判定定理及其应用,其核心是线线平行⇒线面平行；
2. 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题.
※知识拓展
判定直线与平面平行通常有三种方法：⑴利用定义：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助于反正法来证明.
⑵利用判定定理，其关键是证明线线平行.证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等.
⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到)
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 若直线与平面平行，则这条直线与这个平面内的（）.
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.任意一条直线都不相交
D.无数条直线不相交
2. 下列结论正确的是（）.
A.平行于同一平面的两直线平行
B.直线l与平面α不相交，则l∥平面α
C.,A B是平面α外两点，,C D是平面α内两
点，若AC BD
=，则AB∥平面α
D.同时与两条异面直线平行的平面有无数个
3. 如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC
的位置关系是（ ）.
A.平行
B.相交
C.AC 在此平面内
D.平行或相交
4. 在正方体1111ABCD A B C D -的六个面和六个对角面中，与棱AB 平行的面有________个.
5. 若直线,a b 相交，且a ∥α，则b 与平面α的位置关系是_____________.
课后作业
1. 如图5-7，在正方体中，E 为1DD 的中点，判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.
图5-7
2. 如图5-8，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心.求证：PQ ∥平面ACD .
图5-8
§2.2. 2 平面与平面平行的判定
学习目标
1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平
面与平面的平行问题； 2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用；
3. 进一步体会转化的数学思想.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P 56~ P 57，找出疑惑之处） 复习1：直线与平面平行的判定定理是___________
______________________________________
_____.
复习2：两个平面的位置关系有___种，分别为____
___和_______.
讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点,怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得好证吗?
二、新课导学
※探索新知
探究：两个平面平行的判定定理
问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？
结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.
问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？
试试：在长方体中，回答下列问题
⑴如图6-1，AA AA B B
'''
⊂面,AA'∥面BB C C
''，则面AA B B
''∥面BB C C
''吗？
图6-1
⑵如图6-2，AA'∥EF，AA'∥DCC D''
面，EF ∥DCC D''
面，则A ADD
''
面∥DCC D''
面吗？
图6-2
⑶如图6-3，直线A C''和B D''相交，且A C''、
B D''都和平面ABCD平行(为什么)，则平面A B
C D
''''∥平面ABCD吗？
图6-3
反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？
新知：两个平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
如图6-4所示，α∥β.
图6-4
反思：
⑴定理的实质是什么?
⑵用符号语言把定理表示出来.
⑶如果要证明定理，该怎么证明呢？※典型例题
例1 已知正方体
1111
ABCD A B C D
-，如图6-5，求证：
平面
11
AB D∥
1
CB D.
图6-5
例2 如图6-6，已知,a b是两条异面直线，平面α过
a，与b平行，平面β过b，与a平行，
求证：平面α∥平面β
图6-6
β
α
b
a
小结：证明面面平行，只需证明线线平行，而且这两条直线必须是相交直线.
※ 动手试试
练. 如图6-7，正方体中，,,,M N E F 分别是棱A B ''，
A D ''，
B
C ''，C
D ''的中点，求证：平面AMN
∥
平面EFDB .
图6-7
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 平面与平面平行的判定定理及应用；
2. 转化思想的运用.
※ 知识拓展
判定平面与平面平行通常有5种方法
⑴根据两平面平行的定义(常用反证法)；
⑵根据两平面平行的判定定理；
⑶垂直于同一条直线的两个平面平行(以后学习)；⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(平行的传递性)； ⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，则这两个平面平行(判定定理的推论).
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 平面α与平面β平行的条件可以是
（ ）.
A.α内有无穷多条直线都与β平行
B.直线a与,αβ都平行，且不在α和β内
C.直线aα
⊂,直线bβ
⊂,且a∥β,b∥α
D.α内的任何直线都与β平行
2. 经过平面α外的一条直线a且与平面α平行的平面（）.
A.有且只有一个
B.不存在
C.至多有一个
D.至少有一个
3. 设有不同的直线,a b，及不同的平面α、β，给出的三个命题中正确命题的个数是（）.
①若a∥α,b∥α,则a∥b②若a∥α,α∥β,则a∥β③若,
aαα
⊂∥β,则a∥β.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，则这两个平面的位置关系是________________.
5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条,则这两平面的位置关系是_______________.
课后作业
1.如图6-8，在几何体ABC A B C
'''
-中，1
∠+ 2180
∠=°,34180
∠+∠=°,求证：平面ABC ∥
平面A B C
'''.
图6-8
2. 如图6-9，A'、B'、C'分别是PBC
∆、PCA
∆、PAB
∆的重心.求证：面A B C
'''∥ABC
面.
图6-9
§2.2.3 直线与平面平行的性质
学习目标
1. 掌握直线和平面平行的性质定理；
2. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P58~ P60，找出疑惑之处）
复习1：两个平面平行的判定定理是____________
_____________________________________；它的实质是由__________平行推出__________平行.
复习2：直线与平面平行的判定定理是___________
_____________________________________.讨论：如果直线a与平面α平行，那么a和平面α内的直线具有什么样的关系呢？二、新课导学
※探索新知
探究：直线与平面平行的性质定理
问题1：如图7-1，直线a与平面α平行.请在图中的平面α内画出一条和直线a平行的直线b.
图7-1
问题2：我们知道两条平行线可以确定一个平面(为什么?)，请在图7-1中把直线,a b确定的平面画出来，并且表示为β.
问题3：在你画出的图中，平面β是经过直线,a b的平面，显然它和平面α是相交的，并且直线b是这两个平面的交线，而直线a和b 又是平行的.因此，你能得到什么结论?请把它用符号语言写在下面.
问题4：在图7-2中过直线a再画另外一个平。