广东省湛江市雷州北和中学2018年高三数学理模拟试卷含解析

广东省湛江市雷州北和中学2018年高三数学理模拟试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，
则图中空白框内应填入（）
A. q= B q=
C q= D.q=
5.
参考答案：
D.
根据第一个条件框易知M是及格的人数，N是不及格的人数，而空白处是要填写及格率的计算公式，所以.故选D.
2. 已知函数，则=
、、、
、
参考答案：
B
3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为
A．B．C．D．16
参考答案：
B
4. 已知m，n是两条不同的直线，为平面，则下列命题正确的是
(A)若m∥，n∥，则m∥n
(B)若m⊥，n⊥．则m⊥n
(C)若m⊥，n∥，则m⊥n
(D)若m与相交，n与相交，则m，n一定不相交
参考答案：
C
略
5.
已知椭圆与为端点的线段没有公共点，则的取值范围是
A．B．或
C．或 D．
参考答案：
答案:B
6. 如图所示，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，
,直角顶点在曲线上，的横坐标为，记，则数列的前120项之和为
（）
（A）10 （B）20 （C）100 （D）200
参考答案：
A
如图所示，联立，解得，所以，所以，
直线的方程为，
联立，解得，所以，
依次类推可得，即，
所以，
所以数列的前120项的和为
，故选A.
7. 已知函数若则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
8. 若实数满足，则的最小值为（）
A. B. C.
D.
参考答案：
B
9. 设，则的大小关系为
A. B. C. D.
参考答案：
A
由换底公式得，，而,即0<a<b<1, 故a<b<c.
10. 设集合，集合，则M∪N=（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
求解出集合，根据并集的定义求得结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已函数，则f(x)在点处的切线方程为______.
参考答案：
【分析】
先求得切点坐标，然后求得函数导数，由此求得切线的斜率，根据点斜式求得切线方程. 【详解】依题意，故切点为，
，所以.由点斜式得
.
【点睛】本小题主要考查在某点处切线方程的求法，考查导数的运算，考查直线点斜式方程，属于基础题.
12. 已知点为抛物线上一点，若点到抛物线焦点的距离为
，则直线的斜率为 .
参考答案：
略
13. 甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时，回答如下：甲说：我没有去过；乙说：丙游览过；丙说：丁游览过；丁说：我没游览过．在以上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山．根据以上条件，可以判断游览过华山的人
是．
参考答案：
甲
考点：进行简单的合情推理．
专题：综合题；推理和证明．
分析：假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．
解答：解：假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．所以填甲去过．
故答案为：甲．
点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
14. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图是圆心角为直角的扇形，则该几何体的体积为．
参考答案：
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥的一部分，结合三视图中的数据，求出几何体的体积．
解答：解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是圆锥的一部分，
且底面是半径为2的圆面，高为2，
∴该几何体的体积为：
V几何体=×π?22×2=．
故答案为：．
点评：本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，解题的根据是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．
15. .函数，且，，则的取值范围
是__________．
参考答案：
由题得：，如图表示的可行域：
则可得
，又b=1,a=0成立，此时，可得
点睛：此题解题关键在于要能将其转化为线性规划的问题来理解，然后将目标函数变形整理为所熟悉的表达形式，从而轻松求解.
16. 在△ABC中，，则A的最大值是______.
参考答案：
【分析】
利用三角形内角和定理与诱导公式化简可得，即
，可得为锐角，为钝角，展开代入利用基本不等式的性质即可得出的最大值，结合的范围即可得解．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，可得为锐角，为钝角．
∴
，
当且仅当时取等号，
∴的最大值是，
∵A为锐角，∴A的最大值是，故答案为．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17. 用小立方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示,这样的几何体至少要____▲个小立方体,最多只能用____▲ _个小立方体.
参考答案：
9, 14
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 选修4-5：不等式证明选讲
已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．
（1）求证：2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．
参考答案：
【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；
（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，
∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，
∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，
∴a+=1，2a+b=2；
法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，
显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（）=a+，
∴a+=1，2a+b=2．
（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，
=+=（+）（2a+b ）?=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，
∴≥t，即实数t的最大值为；
方法二：∵a+2b≥tab恒成立，
∴≥t恒成立，
t≤=+恒成立，
+=+≥=，
∴≥t，即实数t的最大值为；
方法三：∵a+2b≥tab恒成立，
∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，
∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，
∴（3+2t）2﹣326≤0，
∴≤t≤，实数t的最大值为．
19. 已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，
为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线与其对称轴垂直时，的面积为18.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）记，若t值与点M位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.
参考答案：
（1）由题意，，
，抛物线的标准方程为. （4分）
（2）设，设直线的方程为，联立得
..
由对称性，不妨设.
①当时，同号，
又
，
不论取何值，均与有关，即时，不是“稳定点”.
②当时，异号.
又，
当且仅当时，与无关，此时的点为“稳定点”.（12分）
20. （本小题满分14分）
记．对数列（）和U的子集T，若，定义；
若，定义．例如：时，．
现设（）是公比为3的等比数列，且当T={2,4}时，S T=30．⑴求数列{a n}的通项公式；
⑵对任意正整数k（1≤ k ≤100），若，求证：；
⑶设，，，求证：．
参考答案：
（1）由已知得.
于是当时，.
又，故，即.
所以数列的通项公式为.
（2）因为，，
所以.
因此，.
（3）下面分三种情况证明.
①若是的子集，则.
②若是的子集，则.
③若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由（2）知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，
即.
综合①②③得，.
21. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且
，
（Ⅰ）求△ABC的面积．
（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求
{}的前n项和S n．
参考答案：
【考点】数列的求和；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理得，由此能求出△ABC的面积．
（Ⅱ）数列{a n}的公差为d且d≠0，由a1cosA=1得a1=2，由a2，a4，a8成等比数列，得
d=2，从而，由此利用裂项求和法能求出{}的前n项和S n．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，且，
∴由正弦定理得：，即：b2+c2﹣a2=bc，
∴由余弦定理得：，
又∵0＜A＜π，∴，…（3分）
∵且，即：5acosC=﹣5，即：，
与联立解得：c=12，…
∴△ABC的面积是：；…（6分）
（Ⅱ）数列{a n}的公差为d且d≠0，由a1cosA=1，得a1=2，
又a2，a4，a8成等比数列，得，解得d=2…（8分）
∴a n=2+（n﹣1）×2=2n，有a n+2=2（n+2），
则…（10分）
∴
=．…（12分）
【点评】本题考查三角形面积的求法，考查数列前n项和的求法，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、裂项求和法的合理运用．
22. （本小题满分10分）已知.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若不等式对一切实数a，b，c恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：。