秦皇岛市卢龙县2016-2017学年高一下期末考试数学试题含答案

2016-2017学年度第二学期期末考试
高一数学
注意：本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，卷Ⅰ由自己保存，只交卷Ⅱ。

卷Ⅰ
一、选择题（每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项选出。

）
1、二进制数()2110011化为十进制数为（ ）
A. 51
B. 52
C. 25223
D. 25004 2、现从编号为131的31台机器中，用系统抽样法抽取3台，测试其性能，则抽出的编
号可能为（ ）
A ．4，9，14
B ．4，6，12
C ．2，11，20
D ．3，13，23 3、不等式(2)(3)0x x -->的解集是（ ）
A. {}
|23x x x <>或 B. {}|23x x <<
C. {}|2x x <
D. {}|3x x > 4、在ABC ∆中，3,2a b c ==
=，那么B 等于（ ）
A. 30
B. 45
C. 60
D.
120
5、执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．7
6、在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“12
1
-1log 2
x ≤+≤（）
1”发生的概率为( ) A ．
34 B ．23 C ．13 D ．1
4
7、下列说法正确的是 ( )
图 1
A ．已知购买一张彩票中奖的概率为1
1000
，则购买1000张这种彩票一定能中奖； B ．互斥事件一定是对立事件；
C ．如图，直线l 是变量x 和y 的线性回归方程，则变量x 和y 相关系数在1-到0之间；
D ．若样本12,,
n x x x 的方差是4，则121,1,1n x x x ---的方差是3。

8、某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在中午12:00至13:00间的销售金额，并用茎叶图表
示如图．则有( )
A ．甲城销售额多，乙城不够稳定
B ．甲城销售额多，乙城稳定
C ．乙城销售额多，甲城稳定
D ．乙城销售额多，甲城不够稳定 9、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若22S =，410S =，则6S =（ ） A ． 12 B ．18 C ． 24 D ．42
10、设变量,x y 满足1,
0,220,x y x y x y +≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≥⎩
则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）
A ．
3
2
B ． 2
C ． 4
D ． 6 11、若函数()()1
22
f x x x x =+
>-在x a =处取最小值，则a = ( )． A
．1 B
．1 C ．3 D ．4 12、在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
，则n a ＝( ) A ．2ln n + B ．()21ln n n +- C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++
2016-2017学年度第二学期期末考试
高 一 数 学
卷Ⅱ（解答题，共70分）
13、已知数列}{n a 中，11=a ，2
1
1+
=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .
14、若函数()24
43
x f x mx mx -=
++的定义域为R ，则实数m 的
取值范围是________．
15、读右侧程序，此程序表示的函数为
16、若对任意0x >，2
31
x
a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 .
三、解答题（本题有6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17、（本题满分10分）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=，C 点的仰角45CAB ∠=以及
75MAC ∠=；从C 点测得60MCA ∠=.已知山高100BC m =，则山高MN 是多少
米？
18、（本题满分12分）为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表和频率分布直方图：
(1) 试由上图估计该单位员工月平均工资；
(2)现用分层抽样的方法从月工资在[)4555，
和[)55,65的两组所调查的男员工中随机选取5人，问各应抽取多少人？
(3)若从月工资在[)2535，
和[)4555，两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．
19、（本题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，2
3269a a a =.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和．
20、（本题满分12分）“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价x 元和销售量y 杯之间的一组数据如下表所示：
通过分析，发现销售量y 对奶茶的价格x 具有线性相关关系． （Ⅰ）求销售量y 对奶茶的价格x 的回归直线方程； （Ⅱ）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？
附：线性回归方程为y bx a =+，其中1
2
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-
21、（本题满分12分）ABC ∆的三个角,,A B C 的对边分别为,,a b c 满足
()2c o s c o s b c A
a C
-=. (1)求A 的值；
(2)若2a =，求ABC ∆面积的最大值．
22、（本题满分12分）在数列{}n a 中，111,21n n a a a +==+ （I ）求证数列{}1n a +是等比数列；
（II ）设()1n n c n a =⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n T .
2017高一数学试题答案
一、选择题 ADBCC ACDCB CA
二、填空题 13、27； 14、3
04
m ≤<
15、()()()
100010x x y x x x -+<⎧⎪==⎨⎪+>⎩
16、1,5⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
三、解答题
17、（本题满分10分）
解：根据题图，AC ＝100 2 m.
在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AM
sin 60°
⇒AM ＝100 3 m.
…………6分
在△AMN 中，
MN
AM
＝sin 60°， ∴MN ＝1003×3
2
＝150(m)．…………10分
18、（本题满分12分）
(1) ()200.1300.2400.3500.2600.1700.143⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=百元
即该单位员工月平均工资估计为4300元.…………………………………………4分 （2）分别抽取3人，2人 …………………………………6分 (3)由上表可知：月工资在[)2535，
组的有两名女工，分别记作甲和乙；月工资在[)4555，组的有四名女工，分别记作A,B,C,D.现在从这6人中随机选取2人的基本事件有如下15组： （甲，乙），（甲，A ），（甲，B ），（甲，C ），（甲，D ）， （乙，A ），（乙，B ），（乙，C ），（乙，D ）， （A ，B ），（A ，C ），（A ，D ）， （B ，C ），（B ，D ）， （C ，D ）
其中月工资差不超过1000元，即为同一组的有（甲，乙），（A ，B ），（A ，C
），（A ，
D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ）共7组， ∴所求概率为7
15
P
……………………………………………………………………12分 19、（本题满分12分）
(1)设数列{a n }的公比为q .由a 23
＝9a 2a 6得a 23
＝9a 24
，所以q 2
＝19
.
由条件可知q ＞0，故q ＝1
3
.
由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，得a 1＝1
3
.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝1
3n . …………6分
(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n
＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋1
2
.
故1
b n
＝－
2n
n ＋1＝－2(1n －1
n ＋1)， 1
b 1＋1
b 2＋…＋1
b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n
n ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1
. …………12分
20、（本题满分12分）
解(1)（Ⅰ）=
=6，=
=8． …………2分
=5×12+5.5×10+6.5×6+7×4=182， …………3分
=52+5.52+6.52+72=146.5， …………4分
==﹣4，=8+4×6=32． …………6分
∴销售量y 对奶茶的价格的回归直线方程为=﹣4+32． …………8分
（Ⅱ）令﹣4+32=13，解得=4.75．
答：商品的价格定为4.75元． …………12分
21、（本题满分12分）
解：(1)由余弦定理得：
2b cos A ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋b 2－c 2
2ab
＝b ， ∴cos A ＝12，由0<A <π，得A ＝π3
. …………6分 (2)∵a ＝2，由余弦定理得：
4＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc .
∴bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号，
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32≤3
4·4＝ 3.
即当b ＝c ＝a ＝2时，△ABC 面积的最大值为 3.
…………12分
22、（本题满分12分）
解：（I ）由()1121n n a a ++=+得11
21
n n a a ++=+，
所以{}1n a +是公比为2的等比数列。

…………4分 （II ）由（I ）知，数列{}1n a +的首项为112a +=，公比为2，
11222n n
n a -+=⋅=，2n n c n =⋅
…………6分 12
1222......2n n T n =⋅+⋅++⋅
所以231
21222......(1)22,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅
两式相减，得121
22......22n n n T n +-=+++-⋅
()11
2(12)212212n n n n n ++-=-⋅=-⋅--
所以()1122n n T n +=-⋅+ …………12分。