北京市顺义区2022-2023学年第一学期初三数学期末试卷及解析

北京市顺义区2022-2023学年第一学期初三数学期末试卷
一．选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．将41000用科学记数法表示应为( ) A ．50.4110⨯
B ．34110⨯
C ．54.110⨯
D ．44.110⨯
2．已知34(0)x y y =≠，那么下列比例式不成立的是( ) A ．
34
x y = B ．
43
x y = C ．
43
x y = D ．
34y x
= 3．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，则cos B 的值为( ) A ．
45
B ．35
C ．
43
D ．
34
4．在平面直角坐标系中，将抛物线2y x =平移，可以得到抛物线221y x x =++，下列平移的叙述正确的是( )
A ．向上平移1个单位长度
B ．向下平移1个单位长度
C ．向左平移1个单位长度
D ．向右平移1个单位长度
5．如图，为测楼房BC 的高，在距楼房50米的A 处，测得楼顶的仰角为a ，则楼房BC 的高为( )
A ．50tan a 米
B ．
50
tan a
米 C ．50sin a 米 D ．
50
sin a
米 6．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若
1
2
AE ED =，3AB =，则AF 的长为( )
A ．1
B ．
23
C ．
32
D ．2
7．如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的23
，折扇张开的角度为120︒，则两把扇子扇面面积较大的是( )
A ．折扇
B ．圆扇
C ．一样大
D ．无法判断
8．下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y 与一边长x ； ②矩形的面积为20，矩形的宽y 与矩形的长x ．
其中变量y 与变量x 之间的函数关系表述正确的是( ) A ．①是反比例函数，②是二次函数 B ．①是二次函数，②是反比例函数 C ．①②都是二次函数 D ．①②都是反比例函数 二.填空题（共16分，每题2分） 9．分解因式：24x y y -= ．
10．对于二次函数22(3)1y x =-+-，当x 的取值范围是 时，y 随x 的增大而减小．
11．某一时刻，小明测得一高为1m 的竹竿的影长为0.8m ，小李测得一棵树的影长为9.6m ，那么这棵树的高是 ．
12．将二次函数243y x x =-+化为2()y a x h k =-+的形式，则h = ，k = ． 13．如图，点A ，B ，C 都在O 上，如果AOC ABC ∠=∠，那么A C ∠+∠的度数为 ．
14．若抛物线221y x x k =++-与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ．
15．如图，在等腰直角ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是AC 上一点，如果6CD =，3
sin 5
CBD ∠=，那么AB 的长为 ．
16．如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 都在O 上，且CD 边与O 相切于点E ，如果O 的半径为1，那么正方形ABCD 的边长为 ．
三.解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：02sin 4518cos60(31)︒+-︒+-． 18．解不等式组：32547332
x x x x ->-⎧⎪
⎨-<⎪⎩．
19．如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且满足2CA CD CB =⋅．请找出图中的一对相似三角形，并证明．
20．已知：在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)k
y k x
=≠的图象与直线(0)y mx m =≠都经过点
(2,2)A ．
（1）分别求k ，m 的值；
（2）若点P 的坐标为(n ，0)(0)n >，过点P 作平行于y 轴的直线与直线y mx =和反比例函数k
y x
=的图象分别交于点C ，D ，若点D 在点C 的上方，直接写出n 的取值范围．
21．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若2AB =．请你添加一个条件： ，设计一道解直角三角形的题目（不用计算器计算），并画出图形，解这个直角三角形．
22．如图，A 是O 的直径CD 延长线上的一点，点B 在O 上，30A C ∠=∠=︒． （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若23BC =，求AC 的长．
23．如图，将等边三角形ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处（不与B 、C 重合），折痕为EF ． （1）求证：BDE CFD ∆∆∽；
（2）若6BD =，2DC =，分别求BDE ∆，CFD ∆的周长； （3）在（2）的条件下，求BE 的长．
24．在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O 在ACB ∠的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证
明．小亮说：当圆心O在ACB
∠的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在ACB
∠的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：如图，在O中，AB所对的圆周角是ACB
∠，圆心角是AOB
∠．
求证：
1
2
ACB AOB ∠=∠．
25．如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽8
AB=米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE x
=米，EF y
=米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：
x（米)02468
y（米) 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0
（1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为米，并求出满足的函数关系式2
()(0)
y a x h k a
=-+<；
（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图象（图2)．
（3）若如图3的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
26．已知：二次函数221y ax ax a =-++． （1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）若点1(1,)A n y +，2(2,)B n y -在抛物线221(0)y ax ax a a =-++>上，且12y y <，求n 的取值范围． 27．已知：在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，DF 平分ADC ∠，交线段AE 于点F ．
（1）如图1，若AE AD =，延长EA 到点G ，使得AG BE =，连结DG ，依题意补全图形并证明DG AB =； （2）在（1）的条件下，用等式表示线段CD ，AF ，BE 之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若:1:2AE AD =，用等式表示线段CD ，AF ，BE 之间的数量关系，直接写出结果．
28．在平面直角坐标系xOy 中，图形M 上存在一点P ，将点P 先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到点Q ，若点Q 在图形N 上，则称图形M 与图形N 成“斜关联”． （1）已知点(2,1)A -，(2,2)B -，(1,2)C -，(1,1)D -． ①点A 与B 、C 、D 中的哪个点成“斜关联”？
②若线段AB 与双曲线(0)k
y k x
=≠成“斜关联”，求k 的取值范围；
（2）已知T 的半径为1，圆心T 的坐标为(,0)t ，直线l 的表达式为36y x =+，若T 与直线l 成“斜关联”，请直接写出t 的取值范围．
答案与解析
一．选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．解：将41000用科学记数法表示应为44.110⨯． 故选：D ． 2．解：A ．
34
x y =， 43x y ∴=（方程两边乘12)，故本选项符合题意；
B ．
43
x y =， 34x y ∴=（方程两边乘12)，故本选项不符合题意； C ．
4
3
x y =， 34x y ∴=（方程两边乘3)y ，故本选项不符合题意；
D ．
34
y x
=， 34x y ∴=（方程两边乘)xy ，故本选项不符合题意；
故选：A ．
3．解：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =， 5AB ∴=，3
cos 5
BC B AB =
=． 故选：B ． 4．解：
2221(1)y x x x =++=+，
∴平移后抛物线的顶点为(1,0)-，
抛物线2y x =的顶点为(0,0)，
∴点(0,0)向左平移1个单位得点(1,0)-，
∴抛物线2y x =向左平移1个单位可得抛物线221y x x =++，
故选：C ．
5．解：在直角ABC ∆中，sin BC AB α=
，cos AC
AB
α=， ∴
tan BC
AC
α=， tan 50tan BC AC αα∴==．
故选：A ．
6．解：四边形ABCD为菱形，//
AD CB
∴，AB BC AD
==，
1
2
AE
ED
=，
∴
1
3
AE
AD
=，
∴
1
3
AE
CB
=，
//
AD CB，
FAE FBC
∴∆∆
∽，
∴
1
3
AF AE
FB BC
==，
∴
1
33
AF
AF
=
+
，
3
2
AF
∴=，
故选：C．
7．解：折扇的面积
2
2
2
1
120()
1208
3
36036027
a
a
a
π
π
π
⨯
⨯
=-=，
团扇的面积22
1
()
24
a
a
ππ
=⨯=，
∴折扇的面积大于圆扇的面积．
故选：A．
8．解：①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x，可以得到2
(10)10
y x x x x
=-=-+，是二次函数；
②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x，可以得到
20
y
x
=，是反比例函数．
所以①是二次函数，②是反比例函数．
故选：B．
二.填空题（共16分，每题2分）
9．解：24
x y y
-，
2
(4)
y x
=-，
(2)(2)
y x x
=+-．
故答案为：(2)(2)
y x x
+-．
10．解：二次函数2
2(3)1
y x
=-+-，
∴当3x >-时，y 随x 的增大而减小，当3x <-时，y 随x 的增大而增大，
故答案为：大于3-．
11．解：设这棵树的高是x m ，根据题意可得： 1:0.8:9.6x =，
解得：12x =． 故答案为：12m ． 12．解：243y x x =-+ 2441x x =-+-
2(2)1x =--， 故2h =，1k =-． 故答案为：2，1-． 13．解：如图：
1360AOC ∠+∠=︒，12ABC ∠=∠， 2360AOC ABC ∴∠+∠=︒， AOC ABC ∠=∠， 3360AOC ∴∠=︒， 120AOC ABC ∴∠=∠=︒，
360120A C AOC ABC ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒，
故答案为：120︒．
14．解：△24441(1)84b ac k k =-=-⨯⨯-=-， 抛物线221y x x k =++-与x 轴有交点，
∴△840k =-，解得：2k ．
故答案为：2k ．
15．解：在Rt CBD ∆中，6CD =，3sin 5
CBD ∠=
，
6
103
sin 5
CD BD CBD ∴=
==∠，
8CB ∴， ABC ∆是等腰直角三角形，90C ∠=︒，
AB ∴=
故答案为：
16．解：连接EO 并延长交AB 于H ，连接AO ， 四边形ABCD 是正方形，
AB AD CD ∴==，90D DAE ∠=∠=︒， CD 边与O 相切于点E ， HE CD ∴⊥，
HE AB ∴⊥，
1
2
AH AB ∴=
， 90DAE D DEH ∠=∠=∠=︒，
∴四边形AHED 是矩形，
HE AD ∴=，
设OH x =，
1AD AB HE x ∴===+，
1
(1)2
AH x ∴=+，
222AO AH OH =+， 22
211(
)2
x x +∴=+， 解得3
5
x =
（负值舍去）， 8
5AD HE OH OE ∴==+=，
故正方形ABCD 的边长为8
5，
故答案为：8
5
．
三.解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．解：02sin 4518cos60(31)︒+︒+
21232122
=⨯
++ 12322+ 1422
=． 18．解：由3254x x ->-，得：1x >， 由7332
x x -<，得：3x <， 则不等式组的解集为13x <<．
19．解：BCA ACD ∆∆∽．
证明：2CA CD CB =⋅， ∴CA CB CD CA
=， 又C C ∠=∠，
BCA ACD ∴∆∆∽．
20．解：（1）反比例函数(0)k y k x
=≠的图象与直线(0)y mx m =≠都经过点(2,2)A ， 224k ∴=⨯=，22m =，
1m ∴=，
即4k =，1m =；
（2）点P 的坐标为(n ，0)(0)n >，过点P 作平行于y 轴的直线与直线y mx =和反比例函数k y x
=的图象分别交于点C ，D ，点D 在点C 的上方，
02n ∴<<．
21．解：我添加一个条件：1BC =，
如图：
90C ∠=︒，2AB =，1BC =， 2222213AC AB BC ∴=-=-=，
1
sin 2BC A AB ==，
30A ∴∠=︒，
9060B A ∴∠=︒-∠=︒，
3AC ∴=，30A ∠=︒，60B ∠=︒，
故答案为：1BC =．
22．（1）证明：如图，
连接OB，
BD BD
=，
260
BOD C
∴∠=∠=︒，
306090
A BOD
∴∠+∠=︒+︒=︒，
90
ABO
∴∠=︒，
OB AB
∴⊥，
点B在O上，
AB
∴是O的切线；
（2）解：如图2，
连接BD，
CD是O的直径，
90
CBD
∴∠=︒，
2323
4
cos3
BC
CD
A
∴====，
3
tan30232
BD BC
=⋅︒==，
30
A C
∠=∠=︒，
180302120
ABC
∴∠=︒-︒⨯=︒，
1209030
ABD ABC CBD
∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
A ABD
∴∠=∠，
2
AD BD
∴==，
6
AC AD CD
∴=+=．
23．（1）证明：ABC
∆是等边三角形，
60
B C A
∴∠=∠=∠=︒，
由折叠得60
EDF A
∠=∠=︒，
180120
BED B BDE BDE
∴∠=︒-∠-∠=︒-∠，180120
CDF EDF BDE BDE
∠=︒-∠-∠=︒-∠，BED CDF
∴∠=∠，
BDE CFD ∴∆∆∽．
（2）解：6BD =，2DC =，
628AB AC BC ∴===+=，
由折叠得DE AE =，DF AF =，
8BE AE AB ∴+==，8CF AF AC +==，
6814BD BE DE BD BE AE ∴++=++=+=，2810DC CF DF DC CF AF ++=++=+=， BDE ∴∆的周长为14，CFD ∆的周长10．
（3）解：BDE CFD ∆∆∽， ∴147
105BE
BDE DC CFD ∆===∆的周长的周长，
7
7
14
2555BE DC ∴==⨯=，
BE ∴的长为14
5．
24．证明：如图2:
OA OC =，
A ACO ∴∠=∠，
AOD A ACO ∠=∠+∠，
2AOD ACO ∴∠=∠，
同理可得：2BOD BCO ∠=∠，
AOB AOD BOD ∴∠=∠+∠
22ACO BCO =∠+∠
2ACB =∠，
1
2ACB AOB ∴∠=∠；
如图3:OA OC =，
A ACO ∴∠=∠，
AOD A ACO ∠=∠+∠，
2AOD ACO ∴∠=∠，
同理可得：2BOD BCO ∠=∠，
AOB BOD AOD ∴∠=∠-∠
22BCO ACO =∠-∠
2ACB =∠，
12ACB AOB ∴∠=∠． 25．解：（1）根据二次函数的对称性可知，当4x =时，y 有最大值6.0， 故答案为：6.0；
由题意知，4h =，6k =，
∴隧道满足的关系式为2(4)6y a x =-+，
把0x =，4y =代入解析式得：1664a +=，
解得18
a =-， ∴隧道满足的关系式为21
(4)68
y x =--+； （2）根据题意，以点A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标，画出图象如图所示：
（3）当1x =时，21(14)6 4.8758
y =--+=， 4.8750.35 4.525∴-=（米)，
答：隧道需标注的限高应4.525米．
26．解：（1）221y ax ax a =-++．
2(21)1a x x =-++
2(1)1a x =-+，
∴这个二次函数图象的对称轴是直线：1x =，顶点坐标(1,1)；
（2）0a >，
∴二次函数图象开口向上，
①若1(1,)A n y +在直线1x =的右边，2(2,)B n y -在直线1x =的左边，
由题意可得1121n n +>⎧⎨-<⎩
，
1(2)(1)1n n -->+-， 302
n ∴<<， ②若1(1,)A n y +在直线1x =的左边，2(2,)B n y -在直线1x =的右边，
由题意可得1121n n +<⎧⎨->⎩
， 1(1)21n n -+<--，
∴无解，
综上所述：302
n <<． 27．解：（1）补全图形如图1，
证明：如图1，延长EA 到点G ，使GA BE =，连接DG ，
四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，AB CD =，ADC B ∠=∠，
AE BC ⊥于点E ，
90DAG AEC AEB ∴∠=∠=∠=︒，
DA AE =，
()DAG AEB SAS ∴∆≅∆，
DG AB ∴=；
（2）AF BE CD +=．
证明：DAG AEB ∆≅∆，
DG AB ∴=，ADG EAB ∠=∠，
DG CD ∴=，90GDC ADG ADC EAB B ∠=∠+∠=∠+∠=︒，
90GFD ADF ∠+∠=︒，90GDF CDF ∠+∠=︒，且ADF CDF ∠=∠，
GFD GDF ∴∠=∠，
FG DG CD ∴==，
FG AF GA AF BE =+=+，
AF BE CD ∴+=．
（3）12
CD AF BE =+． 证明：如图，延长EA 到点M ，使2AM BE =，连接DM ，
四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，B ADC ∠=∠，CD AB =，
AE BC ⊥，
AE AD ∴⊥，
90BEA MAD ∴∠=∠=︒，
又1
2
BE AM =，12AE AD =， AEB DAM ∴∆∆∽，
BAE MDA ∴∠=∠，
18090MDC MDA ADC BAE B AEB ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒， DF 平分ADC ∠，
ADF CDF ∴∠=∠，
90MFD ADF ∠=︒-∠，90MDF MDC CDF CDF ∠=∠-∠=︒-∠，
MFD MDF ∴∠=∠，
MF MD ∴=，
111111()222222
CD AB MD MF AF AM AF AM AF BE ∴====+=+=+． 28．解：（1）将(2,1)A -向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到(1,2)-，
∴点A 与C 点成“斜关联”；
（2）将(2,1)A -向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到(1,2)A '-，将(2,2)B -向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到(1,3)B '-，
∴线段AB 向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到线段A B ''， 当k y x =过(1,2)A '-时，2k =-， 当k y x
=过(1,3)B '-时，3k =-， ∴线段AB 与双曲线(0)k y k x =
≠成“斜关联”， k 的取值范围是32k --； （3）将T 向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到T '，过T '作//T F x '轴交直线36y x =+于F ，过G 作GH T F '⊥于H ，
当T 在直线36y x =+的左侧，T '与直线36y x =+相切于点E 时，t 最小，如图：
设直线36y x =+与x 轴交于G ，与y 轴交于K ，可得(23G -0)，(0,6)K ， 23OG ∴=6OK =，
2243GK OG OK ∴+=
2GK OG ∴=，
30GKO ∴∠=︒，60KGO ∠=︒，
30HGF ∴∠=︒，60T FE '∠=︒，
在Rt HGF ∆中，1HG =，
33HF ∴== 在Rt △T EF '中，1T E '=，60T FE '∠=︒，
233T F '∴=， 33T H T F HF ''∴=-=
， 73(3T '∴-
，1)， 73(13
T ∴--，0)， t ∴最小为7313-
-， 当T 在直线36y x =+的右侧，T '与直线36y x =+相切于点E 时，t 最大，如图：
同理可得23FT '3HF =， 3HT '∴= (3T '∴-1)， (31T ∴--，0)， t ∴最大为31-， t ∴的取值范围是73131t --．。