电磁场理论3-1

B d l I 0
l
安培环路定律总结了恒定磁场与场源电流间的依赖关系。
如图所示, 电流的代数和
B d l0 I0 I I I 1 2 3
C

根据斯托克斯定理
l
B d l B d S
磁位和磁感应强度。 分析：
xoz
图 3.3 磁偶极子磁场 的计算
［解］ 圆环上的电流元Idl在场点P产生的矢量磁位可表示为
2 I a c o s 0 A e d 4 0 R
式中
2
1 / 2 / 1 a 2 r r 2 2 / 2 Rr ( a2 r r ) r 1 2 r r
m 0 B r A r 3 e 2 c o s e s i n r 4 r


3. 磁偶极子的磁场 1） 磁偶极子的磁力线是没有头尾的闭合曲线。


令
B 0 1 4 C

Id R 1 l 1 R
3

单位：特斯拉(T)
/ 若电流不是线电流，而是具有空间分布的 J r
/ Jr R / 0 B r d V 3 4 V R
/ 如果是面电流 JS r 产生的磁场，有
2
r>a时，
A 1 2 A 2 r 0 r r r
2
2 I r 0 A 2 Cn 1r C 1 1 2 4 a
A Cn 1r C 2 3 4
由于
r0
处磁矢位不应是无穷大，所以可以定出：
C1 0
A z 将磁矢位代入公式 B ，得 A e r
2 A J 0
对于无源区矢量磁位满足的拉普拉斯方程为：
2 A 0
在直角坐标系中，有：
2 2 2 2 A e A e A e A x x y y z z
从而可以得到矢量磁位A(r)满足的泊松方程的分量形式：
Ax 0J x
矢量磁位解的形式隐含着一个重要的性质 , 就是恒 定电流分布在有限空间的条件下, A的散度是零, 即
A ( r ) 0
另外，引入矢量磁位可以简化磁通量的计算：
B d S ( A ) d S A d l
S S l
例 3 – 1 用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。 解：
cos d
式中，S是细导线圆环的面积，而IS是载流回路磁矩 的模值。
§3.4 磁偶极子
1. 磁偶极子定义：一个载有恒定电流的小型闭合回路。
2. 磁偶极子的磁矩 m IS m r 0 A r 3 4 r
对上式取旋度，有：
r a
S V
由V的任意性，可得微分形式：
B0
磁通连续性原理说明：磁感应强度 B
是一个无源场。
2. 真空中恒定磁场的旋度, 安培环路定律
安培根据毕奥 —萨伐定律总结出磁感应强度与电流 的一般规律 : 真空中磁感应强度沿闭合路径的线积分等 于该闭合路径包围电流的代数和乘以 μ0, 取与回路成右 螺旋关系的电流为正, 反之为负。 数学表示式为
2 2 2
Ay 0J
y
类似于
Az 0J z
2 0
与静电场中电位满足的泊松方程进行对比，可以得到磁矢
位分量的解为：
0 Ax ( x , y , z ) 4 0 Ay ( x , y , z ) 4 0 Az ( x , y , z ) 4
F q v B
如果空间还存在外电场E，电荷q受到的力还要加上电场力。 这样，就得到带电q以速度v运动的点电荷在外电磁场(E，B)中受 到的电磁力为
Fq ( Ev B )
上式称为洛仑兹力公式。
3.2 恒定磁场的基本方程
1. 磁场的散度 1） 磁通量：磁感应强度在有向曲面上的通量简称 为磁通量，单位为Wb，
式中A称作为矢量磁位(或称磁矢位)，单位为：特斯 拉·米。
为确保矢量磁位的唯一性，引入库仑规范：
A 0
又由于
B J 0
可以得到：
A J 0
根据矢量恒等式
2 A A A
对于有源区矢量磁位满足的泊松方程为：
Bd S
S
若S是一个封闭曲面：
d S B
S
现在以载流回路
个闭曲面上的通量，
产生的磁感应强度为例，计算恒定磁场在一
' ' 0I I d l R d l R d S 0 B d S d S 3 3 S S C C S 4 R 4 R
I ez a
r a
从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐 标r的函数，即
A eAr z ( )
设在导线内磁位是A1, 导线外磁位是A2， r<a时，
I A 1 0 1 A r 2 1 r r r a
Az B e r
可以求出导线内、 外的磁场分别为
0 Ir B 1 e 2 2 a C3 B 2 e r
由边界条件可得：
0I C3 2
导体外部的磁感应强度为
0 Ir B2 e 2 r
例 3.2 试计算小电流环（磁偶极子）在远处产生的矢量
上式中


' I d l 1 0 B d S d S S C4 S R
再由矢量恒定式：
V
R 1 3 R R
，故可将其改写为
A d V A d S
如果
r a 时，
1 1 a 1 R r r
2
/ 1/2 / 12 2 rr 1 2 rr 2 1 2 r r r / 1 rr 1 2 r r
由图可知：
r r e i n e o s , xs zc / r a o s e i n e xc ys
S

上式中S是由闭合路径包围的任一曲面, 设J为体电流
面密度.
再由： 可得：
I J d S
S
l S
B d l B d SJ d S 0
S

同样基于S的任意性：
B J 安培环路定理的微分形式 0
J ( r ' ) 0 s A () r d S ' ' 4 S R
I d l' 0 Ar ( ) 4 l R
如果电流分布在细导线回路中, 则得
说明：以上三个计算磁矢位的公式，均假定电流分布在 有限区域，且磁矢位的零点取在无穷远处(与静
电位的积分公式类似)。
的函数，且只有
分量。
取积分路径为以
r
为半径的圆，依据安培环路定理：
B d l 2 r B J d S 0
C S

由电流的分布为：
I ez 2 J r a 0
当
r a r a
r a 时，有：
Ir 2 rB 0 2 a
将其写为矢量形式，有：

V

V
V
J x ( x ', y ', z ') dv ' R J y ( x ', y ', z ') dv ' R J z ( x ', y ', z ') dv ' R
Jr (' ) ' 0 A () r d V 4 V R
如果电流分布在表面S上, 则
S
则有：
' I d l 1 0 B d S d V S C4 V R
因梯度场为无旋场：
1 0 R
所以有：
Bd S 0
S
磁通连续性原理
应用高斯定理
B d S B d V 0
安培环路定理的微分形式说明：磁场是有旋场，其 漩涡源就是电流。 对于对称分布的电流，可以采用安培环路定律的积 分形式，从电流计算出磁场。
例3.1 半径为a的无限长直导线，载有电流
导线内外的磁感应强度。
I
，计算
解：取导线中轴线与Z轴重合，建立圆柱坐标系，由对称性可 知，磁场的分布与 z

无关，只是
r
0 F 1 2 C 2 C 1 4
I d l I d l R 2 2 1 1


3 R
F12
应理解为第一条回路在空间产生磁场，第二条回路在
这一磁场中受力，即公式可改写为：
Id l R 1 1 0 F Id l 1 2 2 2 3 C C 2 1 4 R
2
可以得到：
2 Ir B 0 e 2 2ra
当
r a 时，有：
2 rB0I
可以得到：
I B 0 e 2r
§3.3 恒定磁场的矢量磁位
3.4.1 矢量磁位A 根据场论恒等式
( A ) 0
用另一个矢量函数A的旋度来表示B，就有：
B A
/ J r R/ S 0 B r d S 3 4 S R
电流元 I d l 在外磁场 B 中的受力可统一表示为：
d FI d l B
可以用上式计算各种形状的载流回路在外磁场中受到的力 和力矩。对以速度v运动的点电荷q，其在外磁场B中受的力是
0 2 Ia c o s A d 4 0 R 0 Ia 2 1 a 1 s in c o s 4 0 r r 0 Ia 2 a 2 s i n c o s d 2 4 0 r 2 2 c o s 2 1 0 Ia s in d 2 0 4 r 2 0I a 2 0 IS s in s in 2 2 4 r 4 r
/ rr 11 1 a 1 2 1 s i nc o s Rr r rr
2 I a c o s 0 A e d 4 0 R 2 I a c o s a 0 e 1 s i n c o s d 4 0 r r
Id l Id R 1l 1 0 2 2 d F 1 2 3 4 R


d l1 到 d l2
的
这里：I 1 d l 1 与 I 2 d l 2 称为电流元矢量， R 是
距离矢量，可以表示为： Rr r 2 1
回路
C
2
受到回路 C
1
的作用力为：
第三章 恒定电流的磁场
3.1 磁感应强度
3.2 恒定磁场的基本方程 3.3 磁矢量位 3.4 磁偶极子
3.5 磁介质中的场方程
3.6 恒定磁场的边界条件
3.7 标量磁位
3.1 磁感应强度
1. 毕奥-萨伐尔定律
在真空中载有电流 I 1 的回路 C
上任一线元d l 2 的作用力表示为：
1
上
任一线元 d l 1 对另一载有电流 I 2 的回路