圆的内接四边形
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一道由江泽民主席出的特殊的数学试题，引起湖北社会各界人士 浓厚的兴趣。自《武汉晚报》2000年刊登此题并向读者征求答案 后，截至2001年4月4日，编辑部共收到有效答卷216份，答题人 既有正在刻苦攻读的中学生，也有风华正茂的中青年教师，还有 离退休老工人、老干部、老专家等。其中年龄最大的69岁，最小 的只有13岁。
B
C
D
4.在⊙O 中，A、B、C、D 都在同一个
圆上．
A
①请指出图中圆内接四边形的外角． ②因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB
O.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的 互补，我们把∠A叫做∠DCE的内对角 B 。 ∠ADC 是哪一个角的内对角，∠DCB
CE
呢？
③ ∠A与∠DCE有什么关系？
∠A ＋∠BCD＝ 180° ，
A5
6
2.如下图3，在⊙O 中，AB 为直径，直线 l 与⊙O 交于点 C 、D，BE⊥l 于 点 E，连接 BD、BC． 求证：∠CBE =∠ABD．
3.已知：如图1，四边形
ABCD是圆的内接四边形并 且ABCD是平行四边形。 求证：四边形ABCD是矩形
DC AOB
AO B
AB
O
DC
D CE l
学教过书，与你们是同行，教师的职业是非常高尚的。”他兴
致勃勃地给大家出了一道几何题，请大家解答。他说，学习几
何能锻炼一个人的思维。
江泽民主席在澳门视察时给濠江中学老师出的一道几何题，
近日成了全国中小学的热门话题。
在任意五角星AJEIDHCGBF 中，△AFJ、△JEI、△IDH、 △HCG和△GBF各自的外接圆 顺次相交的交点分别是K、O、 N、M、L。 求证：K、O、N、M、L五点 共圆。
圆的内接四边形
A
D O
B
英山县金铺中学
C
金明
• 学习目标： 1．掌握圆内接四边形的概念和性质； 2．会运用圆内接四边形的性质证明和 计算与圆相关的问题．
• 学习重点： 圆内接四边形的概念和性质．
• 学习难点： 圆内接四边形的性质的应用．
第一次层次学习（圆的内接四边形的概念及其性质）
1. 先阅读课本P87—88学习内容，然后完成如下的自学参考提
圆的内接四边形的对角互补．
第二次层次学习（圆的内接四边形的性质的应用） A
1、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知
∠BOD=100°，则∠BAD= ， ∠BCD= ____
O
2.在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、
B
D
∠C的度数之比是2：3：6，求这个四边形各
C
角的度数。
解：设∠A、∠B、∠C的度数分别是2x、3x、6x
特殊到一般的方法!
猜想：圆内接四边形的对角有什么关系？
思路：在一般的圆内接四边形中，如果把圆心O与一组
对顶点A、C分别相连，能得到什么结果呢?
证明猜想
D
1 D= 2
x°
,
1 B= 2 y°
y°O x°
C
A
∴∠D+∠B=
1 (x 2
y ) 1 360 2
B
180
圆内接四边形的性质：
线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B点的直线EF 与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE//DF.
D
A
EO
O
C1
2
B
F
思维拓展:
1、圆内接平行四边形一定是 矩 形。 2、圆内接梯形一定是 等腰梯 形。 3、圆内接菱形一定是 正方 形。
你能用今天学的知识来解释吗？
1、圆内接四边形的定义：所有顶点都在同一个圆上的四边形。
特写：江泽民主席视察澳门濠江中学
2000年12月20日 20:38
中新社记者 耿军
澳门有座被称为“爱国人才摇篮”的学校——濠江中学。
十二月二十日下午，前来澳门出席澳门特区成立一周年庆祝
活动的国家主席江泽民一行，乘车来到这里视察。
创立于1932年的濠江中学是澳门著名的私立学校，现有学生
8500余人，教职工380多人。江主席对教师们说：“我也曾在中
D 7
∠DCE ＋∠BCD＝ 180° 所以∠A＝∠DCE
4 3
O
圆内接四边形的性质的推论： B 2
E 1C
圆内接四边形的外角等于它的内对角．
6.如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点.经过点A的 直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.经过点 B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F.求 证：CE∥DF. 分析：只要证明同旁内角互补即可！并
证明：连接AB． 利用圆内接四边形的性质及其推论．
∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴ ∠BAD＝∠E．
又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形，
D
∴ ∠BAD+∠F=180º．
A
∴ ∠E+∠F=180º． ∴ CE//DF．
C
O１
E
B
O2
F
变式：如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点．过A点的直
纲：
（1）
叫圆内接多边形， ____________
叫多边形的外接圆
（2）
叫做圆内接四边形，
叫四边形
的外接圆；
(3)画一画:画出⊙O的内接七边形和四边形。
G
F
A
A
E
D
O
D
O
B
C
B
C
(4)探究：观察下图，这组图中的四边形都内接于 圆．你能发现这些四边形的共同特征吗？
猜想：圆内接四边形的对角有什么关系？试证明
2、圆内接四边形的性质：
对角互补 外角等于它的内对角
3、解题时应注意两点：
（1）注意观察图形，分清四边形的外__角__和它的内__对__角_ 的位置。
（2）证题时，常需添辅助线-----两圆的__公__共__弦___， 构造_圆__内__接__四__边__形__。
作业
1.如下图2，四边形 ABCD 内接于⊙O， AB 是直径，∠ABD =30°，则∠BCD 的度数为多少？
一道由江泽民主席出的特殊的数学试题，引起湖北社会各界 人士浓厚的兴趣。自《武汉晚报》2000年刊登此题并向读者 征求答案后，截至2001年4月4日，编辑部共收到有效答卷216 份，答题人既有正在刻苦攻读的中学生，也有风华正茂的中
青年教师，还有离退休老工人、老干部、老专家等。其中年 龄最大的69岁，最小的只有13岁。
由于四边形ABCD内接与圆
A+B=180°
2x+6x=180 x=22.5° A=45°,B=67.5°C=135°
D=180°---67.5°=112.5°
3.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,
（1）∠C=_____.
A
（2）梯形ABCD是等腰梯形吗?
D
O
B
C
D
4.在⊙O 中，A、B、C、D 都在同一个
圆上．
A
①请指出图中圆内接四边形的外角． ②因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB
O.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的 互补，我们把∠A叫做∠DCE的内对角 B 。 ∠ADC 是哪一个角的内对角，∠DCB
CE
呢？
③ ∠A与∠DCE有什么关系？
∠A ＋∠BCD＝ 180° ，
A5
6
2.如下图3，在⊙O 中，AB 为直径，直线 l 与⊙O 交于点 C 、D，BE⊥l 于 点 E，连接 BD、BC． 求证：∠CBE =∠ABD．
3.已知：如图1，四边形
ABCD是圆的内接四边形并 且ABCD是平行四边形。 求证：四边形ABCD是矩形
DC AOB
AO B
AB
O
DC
D CE l
学教过书，与你们是同行，教师的职业是非常高尚的。”他兴
致勃勃地给大家出了一道几何题，请大家解答。他说，学习几
何能锻炼一个人的思维。
江泽民主席在澳门视察时给濠江中学老师出的一道几何题，
近日成了全国中小学的热门话题。
在任意五角星AJEIDHCGBF 中，△AFJ、△JEI、△IDH、 △HCG和△GBF各自的外接圆 顺次相交的交点分别是K、O、 N、M、L。 求证：K、O、N、M、L五点 共圆。
圆的内接四边形
A
D O
B
英山县金铺中学
C
金明
• 学习目标： 1．掌握圆内接四边形的概念和性质； 2．会运用圆内接四边形的性质证明和 计算与圆相关的问题．
• 学习重点： 圆内接四边形的概念和性质．
• 学习难点： 圆内接四边形的性质的应用．
第一次层次学习（圆的内接四边形的概念及其性质）
1. 先阅读课本P87—88学习内容，然后完成如下的自学参考提
圆的内接四边形的对角互补．
第二次层次学习（圆的内接四边形的性质的应用） A
1、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知
∠BOD=100°，则∠BAD= ， ∠BCD= ____
O
2.在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、
B
D
∠C的度数之比是2：3：6，求这个四边形各
C
角的度数。
解：设∠A、∠B、∠C的度数分别是2x、3x、6x
特殊到一般的方法!
猜想：圆内接四边形的对角有什么关系？
思路：在一般的圆内接四边形中，如果把圆心O与一组
对顶点A、C分别相连，能得到什么结果呢?
证明猜想
D
1 D= 2
x°
,
1 B= 2 y°
y°O x°
C
A
∴∠D+∠B=
1 (x 2
y ) 1 360 2
B
180
圆内接四边形的性质：
线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B点的直线EF 与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE//DF.
D
A
EO
O
C1
2
B
F
思维拓展:
1、圆内接平行四边形一定是 矩 形。 2、圆内接梯形一定是 等腰梯 形。 3、圆内接菱形一定是 正方 形。
你能用今天学的知识来解释吗？
1、圆内接四边形的定义：所有顶点都在同一个圆上的四边形。
特写：江泽民主席视察澳门濠江中学
2000年12月20日 20:38
中新社记者 耿军
澳门有座被称为“爱国人才摇篮”的学校——濠江中学。
十二月二十日下午，前来澳门出席澳门特区成立一周年庆祝
活动的国家主席江泽民一行，乘车来到这里视察。
创立于1932年的濠江中学是澳门著名的私立学校，现有学生
8500余人，教职工380多人。江主席对教师们说：“我也曾在中
D 7
∠DCE ＋∠BCD＝ 180° 所以∠A＝∠DCE
4 3
O
圆内接四边形的性质的推论： B 2
E 1C
圆内接四边形的外角等于它的内对角．
6.如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点.经过点A的 直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.经过点 B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F.求 证：CE∥DF. 分析：只要证明同旁内角互补即可！并
证明：连接AB． 利用圆内接四边形的性质及其推论．
∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴ ∠BAD＝∠E．
又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形，
D
∴ ∠BAD+∠F=180º．
A
∴ ∠E+∠F=180º． ∴ CE//DF．
C
O１
E
B
O2
F
变式：如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点．过A点的直
纲：
（1）
叫圆内接多边形， ____________
叫多边形的外接圆
（2）
叫做圆内接四边形，
叫四边形
的外接圆；
(3)画一画:画出⊙O的内接七边形和四边形。
G
F
A
A
E
D
O
D
O
B
C
B
C
(4)探究：观察下图，这组图中的四边形都内接于 圆．你能发现这些四边形的共同特征吗？
猜想：圆内接四边形的对角有什么关系？试证明
2、圆内接四边形的性质：
对角互补 外角等于它的内对角
3、解题时应注意两点：
（1）注意观察图形，分清四边形的外__角__和它的内__对__角_ 的位置。
（2）证题时，常需添辅助线-----两圆的__公__共__弦___， 构造_圆__内__接__四__边__形__。
作业
1.如下图2，四边形 ABCD 内接于⊙O， AB 是直径，∠ABD =30°，则∠BCD 的度数为多少？
一道由江泽民主席出的特殊的数学试题，引起湖北社会各界 人士浓厚的兴趣。自《武汉晚报》2000年刊登此题并向读者 征求答案后，截至2001年4月4日，编辑部共收到有效答卷216 份，答题人既有正在刻苦攻读的中学生，也有风华正茂的中
青年教师，还有离退休老工人、老干部、老专家等。其中年 龄最大的69岁，最小的只有13岁。
由于四边形ABCD内接与圆
A+B=180°
2x+6x=180 x=22.5° A=45°,B=67.5°C=135°
D=180°---67.5°=112.5°
3.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,
（1）∠C=_____.
A
（2）梯形ABCD是等腰梯形吗?
D
O