人教版八年级上册数学 期末试卷综合测试卷(word含答案)

人教版八年级上册数学 期末试卷综合测试卷（word 含答案）
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．已知,如图A 在x 轴负半轴上，B （0，-4），点E （-6,4）在射线BA 上，
(1) 求证：点A 为BE 的中点
(2) 在y 轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°，求点F 的坐标.
(3) 如图，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN=NB=MA ，点I 为△MON 的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点, IH⊥ON 于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证：C △POQ=2 HI.
【答案】（1）证明见解析；（2）22(0,
)7
F ；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）过E 点作E
G ⊥x 轴于G ，根据B 、E 点的坐标，可证明△AEG ≌△ABO ，从而根据全等三角形的性质得证；
（2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ，过D 作DK ⊥x 轴于K ，然后根据全等三角形的判定得到△AEG ≌△DAK ，进而求出D 点的坐标，然后设F 坐标为（0，y ），根据S 梯形EGKD =S 梯形EGOF +S 梯形FOKD 可求出F 的坐标；
（3）连接MI 、NI ，根据全等三角形的判定SAS 证得△MIN ≌△MIA ，从而得到
∠MIN=∠MIA 和∠MIN=∠NIB ，由角平分线的性质，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI ，作IS⊥OM 于S, 再次证明△HIP ≌△SIC 和△QIP ≌△QIC ，得到C △POQ 周长.
试题解析：（1）过E 点作EG⊥x 轴于G ，
∵B （0，-4），E （-6,4），∴OB=EG=4，
在△AEG 和△ABO 中，
∵90EGA BOA EAG BAO EG BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AEG ≌△ABO （AAS ），∴AE=AB
∴A 为BE 中点
（2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ，
过D 作DK⊥x 轴于K ，
∵∠FEA=45°，∴AE=AD ，
∴可证△AEG≌△DAK，∴D（1,3），
设F （0，y ），
∵S 梯形EGKD =S 梯形EGOF +S 梯形FOKD ，
∴
()()()111347463222
y y +⨯=+⨯++ ∴227y = ∴220,7F ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
（3）连接MI 、NI
∵I为△MON内角平分线交点，∴NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，在△MIN和△MIA中，
∵
MN MA
NMI AMI
MI MI
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△MIN≌△MIA（SAS），
∴∠MIN=∠MIA，
同理可得∠MIN=∠NIB，
∵NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，∠MON=90°，
∴∠MIN=135°∴∠MIN=∠MIA =∠NIB=135°，
∴∠AIB=135°×3-360°=45°，
连接OI，作IS⊥OM于S, ∵IH⊥ON，OI平分∠MON，
∴IH=IS=OH=OS，∠HIS=90°，∠HIP+∠QIS=45°，
在SM上截取SC=HP，可证△HIP≌△SIC，∴IP=IC，
∠HIP=∠SIC，∴∠QIC=45°，
可证△QIP≌△QIC，
∴PQ=QC=QS+HP，
∴C△POQ=OP+PQ+OQ=OP+PH+OQ+OS=OH+OS=2HI.
2．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；
（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1
）的结论是否成立，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）作DF∥BC 交AC 于F ，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC 是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF 是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF ，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD ，由AAS 证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论；
（2）作DF∥BC 交AC 的延长线于F ，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论.
试题解析：（1）证明：如图，作DF ∥BC 交AC 于F ，
则△ADF 为等边三角形
∴AD=DF ，又∵ ∠DEC=∠DCB ，
∠DEC+∠EDB=60°，
∠DCB+∠DCF=60° ，
∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD ，
在△DEB
和△CDF 中，
120EBD DFC EDB DCF DE CD ，，
∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DEB ≌△CDF ，
∴BD=DF ，
∴BE=AD .
(2). EB=AD 成立；
理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示：
同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ，
又∵∠DBE=∠DFC=60°，
∴△DBE ≌△CFD （AAS ），
∴EB=DF ，
∴EB=AD.
点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.
3．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等.（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．
【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或3
2
（3）9s
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出
∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
（3）因为V Q＜V P，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
【详解】
（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，
又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP 与△BPQ 中，AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACP ≌△BPQ （SAS ），
∴∠ACP=∠BPQ ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，
∠CPQ=90°，
则线段PC 与线段PQ 垂直.
（2）设点Q 的运动速度x,
①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，
912t t xt =-⎧⎨=⎩
， 解得31t x =⎧⎨=⎩
， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，
912xt t t =⎧⎨=-⎩
解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩
， 综上所述，存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩
使得△ACP 与△BPQ 全等. （3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，
设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，
∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点；
∴EB=EA=18cm.
当V Q =1时，
依题意得3x=x+2×9，
解得x=9；
当V Q =32
时， 依题意得3x=
32x+2×9， 解得x=12.
故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.
4．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．
（1）求出AFC ∠的度数；
（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）
（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;
（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；
（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，
∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，
∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，
∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，
∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°
（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．
理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD ，
∵CE 是∠BCA 的平分线，
∴∠DCF＝∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
CG CD
DCF GCF
CF CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG
由（1）∠AFC＝120°得，
∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝60°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
AFE AFG
AF AF
EAF GAF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF＝GF，
∴DF＝EF；
（3）结论：AC＝AE+CD．
理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，
同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-
1
2
(∠BAC+∠BCA)=180°-
1
2
×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD＝CG，
∴AC＝AG+CG＝AE+CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．
5．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．
（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；
（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求
2HK+EF的值．
【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8
【解析】
【分析】
（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,
根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；
（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得
OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．
【详解】
解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0
∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0
∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0
∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0
∴a＝b＝4
过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，则AN ＝AM ∴OA 平分∠MON
即OA 是第一象限的角平分线
（2）过A 作AH 平分∠OAB ，交BM 于点H
∴∠OAH ＝∠HAB ＝45°
∵BM ⊥AE
∴∠ABH ＝∠OAE 在△AOE 与△BAH 中
OAE ABH OA AB
AOE BAH ＝＝∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ）
∴AH ＝OE
在△ONE 和△AMH 中
OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ）
∴∠AMH ＝∠ONE
设BM 与NE 交于K
∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA
∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°
（3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于
M 、N 可证：△FMH ≌△FNH （SAS ）
∴FM ＝FN
同理：NE ＝EK
∴OE+OF ﹣EF ＝2HK
过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q
可证：△APF ≌△AQE （SAS ）
∴PF ＝EQ
∴OE+OF ＝2OP ＝8
∴2HK+EF＝OE+OF＝8
【点睛】
本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.
6．如图①，在ABC中，90
BAC
∠=︒，AB AC
=，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD AE
⊥于D，CE AE
⊥于E.
（1）求证：BD DE CE
=+.
（2）若将直线AE绕点A旋转到图②的位置时（BD CE
<），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明.
【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；
（2）根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为
AD+AE=BD+CE，所以BD=DE-CE．
【详解】
解：（1）∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
BDA AEC
ABD CAE
AB AC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）BD与DE、CE的数量关系是BD=DE-CE，理由如下：
∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ，
∴∠ABD=∠CAE ，
∵AB=AC ，
在△ABD 和△CAE 中，
BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△CAE （AAS ），
∴BD=AE ，AD=CE ，
∴AD+AE=BD+CE ，
∵DE=BD+CE ，
∴BD=DE-CE ．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，HL 等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．
7．如图1，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边的中点连接AD ，则易证AD ＝BD ＝CD ，即AD ＝12
BC ；如图2，若将题中AB ＝AC 这个条件删去，此时AD 仍然等于12
BC ． 理由如下：延长AD 到H ，使得AH ＝2AD ，连接CH ，先证得△ABD ≌△CHD ，此时若能证得△ABC ≌△CHA ，
即可证得AH ＝BC ，此时AD ＝
12
BC ，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．
（1）请你先证明△ABC ≌△CHA ，并用一句话总结题中的结论；
（2）现将图1中△ABC 折叠（如图3），点A 与点D 重合，折痕为EF ，此时不难看出△BDE 和△CDF 都是等腰直角三角形．BE ＝DE ，CF ＝DF ．由勾股定理可知DE 2+DF 2＝EF 2，因此BE 2+CF 2＝EF 2，若图2中△ABC 也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE 、CF 、EF 还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．
（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF 绕着点D 旋转（如图5），射线DE 、DF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF 也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．
【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.
【解析】
【分析】
（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．
【详解】
（1）证明：如图2中，
∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，
∴△ADB≌△HDC（SAS），
∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，
∴AB∥CH，
∴∠BAC+∠ACH＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACH＝∠BAC＝90°，
∵AC＝CA，
∴△BAC≌△HCA（SAS），
∴AH＝BC，
∴AD＝DH＝BD＝DC，
∴AD＝1
2 BC．
结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（2）解：有这样分关系式．
理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．
∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，
∴△EDB≌△HDC（SAS），
∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠HCD＝90°，
∴∠FCH＝90°，
∴FH2＝CF2+CH2，
∵DF⊥EH，ED＝DH，
∴EF＝FH，
∴EF2＝BE2+CF2．
（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．
证明方法类似（2）．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
8．操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：如图1中，设AC交BE于O．
∵∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABO＝∠ECO，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠BAO＝70°，
即∠BEC＝70°．
（3）解：如图2中，
∵∠CAB＝∠EAD＝120°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，
同理可证∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠FEC＝60°，∵CF⊥EF，
∴∠F＝90°，∴∠FCE＝30°，
∴EF＝1
2
EC＝2.
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，
△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出MCN90
∠=︒,因此有BM⊥AN；
(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；
(3)取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.
【详解】
解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM ，△PBN 都是等边三角形
∴∠APM ＝∠BPN ＝60°，PB ＝PN
∵点C 是PB 的中点，且PN ＝2PM ，
∴2PC ＝2PA ＝2PM ＝PB ＝PN ，
∵∠APC ＝60°，
∴△APC 为等边三角形，
∴∠PAC ＝∠PCA ＝60°，
又∵CA ＝CB ，
∴∠CAB ＝∠ABC ＝30°，
∴∠PAB ＝∠PAC +∠CAB ＝90°．
【点睛】
本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.
10．综合与实践：
我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.
（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.
如图，已知ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ∆∆≌.
（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.
【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形.
【解析】
【分析】
（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出
∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出
BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出
△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．
（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证.
【详解】
（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，
则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒.
在BDC ∆和111B D C ∆中，
1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，
∴111BDC B D C ∆∆≌，
∴11BD B D =.
在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中，
11AB A B =，11BD B D =，
∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌，
∴1A A ∠=∠.
在ABC ∆和111A B C ∆中，
1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，
∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.
（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，
∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠︒.
∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆（HL ）；
∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；
如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，
与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌，得到11BD B D =，
再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌，得到1A A ∠=∠，
再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌；
∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；
故答案为：钝角三角形或直角三角形.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.
二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （﹣2，1）．
（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB 的长；
（2）若Rt △ABC 中，点C 在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C 后不用计算写出你能写出的点C 的坐标；
（3）在x 轴上是否存在点P ，使PA =PB 且PA +PB 最小？若存在，就求出点P 的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．
【答案】（1）AB =52）C 2（0,7），C 4（0，-4），C 5（-1,0）、 C 6（1,0）；（3）不存在这样的点P ．
【解析】
【分析】
（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；
（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；
（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．
【详解】
解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，
由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=25
（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．
②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．
③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．
（3）不存在这样的点P．
作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，
作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，
由图可以看出两线交于第一象限．
∴不存在这样的点P．
【点睛】
本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．
12．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．
(1)求证：∠BAD =∠EDC ；
(2)若点E 关于直线BC 的对称点为M (如图2)，连接DM ，AM ．求证：DA =AM ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC =∠ACB =60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.
（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA ，然后结合（1）可得∠MDC =∠BAD ，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.
【详解】
解：(1)如图1，
∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠ACB =60°，
∴∠BAD =60°﹣∠DAE ，∠EDC =60°﹣∠E ，
又∵DE =DA ，
∴∠E =∠DAE ，
∴∠BAD =∠EDC ．
(2)由轴对称可得，DM =DE ，∠EDC =∠MDC ，
∵DE =DA ，
∴DM =DA ，
由(1)可得，∠BAD =∠EDC ，
∴∠MDC =∠BAD ，
∵△ABD 中，∠BAD +∠ADB =180°﹣∠B =120°，
∴∠MDC +∠ADB =120°，
∴∠ADM =60°，
∴△ADM 是等边三角形，
∴AD =AM ．
【点睛】
本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.
13．如图，在ABC ∆中，CE 为三角形的角平分线，AD CE ⊥于点F 交BC 于点D （1）若9628BAC B ︒︒∠=∠=，，直接写出BAD ∠= 度
（2）若2ACB B ∠=∠，
①求证：2AB CF =
②若 ,CF a EF b ==，直接写出BD CD
= （用含 ,a b 的式子表示）
【答案】（1）34；（2）①见详解；②
2b a b
- 【解析】
【分析】 （1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；
（2）①证明B BCE ∠=∠，得出BE=CE ，过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠，得出AH=AC ，H EAH ∠=∠，得出AE=HE ，由等腰三角形的性质可得出HF=CF ，即可得出结论；
②证明AHF DCF ≅，得出AH=DC ，求出HF=CF=a ，HE=HF-EF=a-b ，CE=a+b ，由 //AH BC 得出
AH AE a b BC BE a b
-==+，进而得出结论． 【详解】 解：（1）∵9628BAC B ︒︒∠=∠=，，
∴180962856ACB ∠=︒-︒-︒=︒，
∵CE 为三角形的角平分线，
∴1282
ACE ACB ∠=∠=︒， ∵AD CE ⊥，
∴902862CAF ∠=︒-︒=︒，
∴966234BAD ∠=︒-︒=︒．
故答案为：34；
（2）①证明：∵22ACB B BCE ∠=∠=∠
∴B BCE ∠=∠
∴BE CE =
过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，如图所示：
则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠
∴AH=AC ，H EAH ∠=∠
∴AE=HE
∵AD CE ⊥
∴HF=CF
∴AB=HC=2CF ；
②在AHF △和DCF 中，
H DCF HF CF
AFH DFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴AHF DCF ≅
∴AH=DC
∵
,CF a EF b == ∴ HF CF a ==，由①得 AE HE HF EF a b ==-=-， BE CE a b ==+
∵ //AH BC ∴
AH AE a b BC BE a b -==+ ∴
CD a b BC a b -=+ ∴2BD b CD a b
=-． 故答案为：
2b a b -． 【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等，掌握以上知识点是解此题的关键．
14．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，ABC ∆是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC =>，若ABC ∠的角平分线
BD 交AC 于点D ，且BD 是ABC ∆的一条特异线，则BDC ∠= 度．
（2）如图2，ABC ∆中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点E ，求证：AE 是ABC ∆的一条特异线；
（3）如图3，若ABC ∆是特异三角形，30A ∠=，B 为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B 的度数．
【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B 度数为：135°、112.5°或140°.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A ，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；
（2）通过证明△ABE 与△AEC 为等腰三角形求解即可；
（3）根据题意分当BD 为特异线、AD 为特异线以及CD 为特异线三种情况分类讨论即可.
【详解】
（1）∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠C ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD=12
∠ABC ， ∵BD 是△ABC 的一条特异线，
∴△ABD 与△BCD 为等腰三角形，
∴AD=BD=BC ，
∴∠A=∠ABD ，∠C=∠BDC ，
∴∠ABC=∠C=∠BDC ，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A ，
设∠A=x ，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x ，
在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
即：x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠BDC=72°，
故答案为：72；
（2）∵DE 是线段AC 的垂直平分线，
∴EA=EC ，
∴△EAC为等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，
∴△EAB为等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条特异线；
（3）
如图3，当BD是特异线时，
如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；
如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；
如果AD=DB，DC=DB，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合题意，舍去；
如图4，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，
则：∠ABC=180°−20°−20°=140°；
当CD为特异线时，不符合题意；
综上所述，∠B度数为：135°、112.5°或140°.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
15．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD
为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线
．．AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有
∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出
△ACD≌△BCE同样可以得出结论．
【详解】
（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．
∵线段AM为BC边上的中线，∴∠CAM
1
2
=∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°．
（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角
形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD ＝∠BCE．
在△ADC和△BEC中，∵
AC BC
ACD BCE
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．理由如下：
①当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°．
∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线，∴AM平分∠BAC，即
11603022
BAM BAC ∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2．
∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ． 在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°．
由（1）得：∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
③当点D 在线段MA 的延长线上时．
∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠ACE ＝∠BCE +∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ．
在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ．
由（1）
得：∠CAM ＝30°，∴∠CBE ＝∠CAD ＝150°，∴∠CBO ＝30°，∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
综上所述：当动点D 在直线AM 上时，∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
16．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1
2
BC，点D为BC的中点，AB =DE，BE∥AC．
（1）求证：△ABC≌△DEB；
（2）连结AD、AE、CE，如图2．
①求证：CE是∠ACB的角平分线；
②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②△ABE是等腰三角形，理由详见解析.【解析】
【分析】
（1）由AC//BE，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=1
2
BC，D是BC中点可得AC=BD，利用
HL即可证明△ABC≌△DEB；（2）①由（1）得BE=BC，由等腰直角三角形的性质可得∠BCE=45°，进而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根据SAS可证明△ACE≌△DCE，可得AE=DE，由AB=DE可得AE=AB即可证明△ABE是等腰三角形.
【详解】
（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC
∴∠CBE=90°
∴△ABC和△DEB都是直角三角形
∵AC=1
2
BC，点D为BC的中点
∴AC=BD
又∵AB=DE
∴△ABC≌△DEB（H.L.）
（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB ∴BC=EB
又∵∠CBE=90°
∴∠BCE=45°
∴∠ACE=90°-45°=45°
∴∠BCE=∠ACE
∴CE是∠ACB的角平分线
②△ABE是等腰三角形，理由如下：
在△ACE和△DCE中
AC DC
ACE BCE
CE CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACE≌△DCE（SAS）.
∴AE=DE
又∵AB=DE
∴AE=AB
∴△ABE是等腰三角形
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判断与性质，熟练掌握判定定理是解题关键.
17．如图，已知ABC
∆()
AB AC BC
<<，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
（1）在边BC上找一点M，使得：将ABC
∆沿着过点M的某一条直线折叠，点B与点C能重合，请在图①中作出点M；
（2）在边BC上找一点N，使得：将ABC
∆沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边AC上的点D处，且ND AC
⊥，请在图②中作出点N.
【答案】（1）见详解；（2）见详解．
【解析】
【分析】
（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即可；
（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即可．
【详解】
（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即为所求．点M如图①所示：
（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即为所求．点N如图②所示：
【点睛】
本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的中垂线和角平分线，是解题的关键．
18．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段
．．．．叫做这个三角形的三分线.
（1）图①是顶角为36︒的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；
（2）图③是顶角为45︒的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.
（3）ABC 中，30B ∠=︒，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=︒，则x 所有可能的值为_________.
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.
【解析】
【分析】
(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；
(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.
(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案.
【详解】
（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）①当AD=AE 时，如图4，
∵DE CE =，c x ∠=︒，
∴∠EDB=x °，
∴∠ADE=∠AED=2x °，
∵AD BD =，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴30+30=2x+x ，
解得：x=20；
②当AD=DE 时，如图5，
∵DE CE =，c x ∠=︒，
∴∠EDB=x °，
∴∠DAE=∠AED=2x °，
∵AD BD =，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴30+30+2x+x=180，
解得：x=40.
③当AE=DE 时，则∠EAD=∠EDA=
1802(90)2
x x -=-， ∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°
又∵∠ADC=30+30=60°，
∴这种情况不存在.
∴x 所有可能的值为20或40.
故答案是：20或40
图4 图5
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.
19．在等边ABC ∆中，点O 在BC 边上，点D 在AC 的延长线上且OA OD =.。